Правило на Лопитал: предизвикателна задача

Търсим границата при x клонящо към 1 от израза x върху x минус 1 минус 1 върху естествения логаритъм от x Да видим, какво ще стане ако пресметнем с 1 Какво става когато изчислим израза за 1 Тук ще получим 1, върху 1 минус 1 Ще получим нещо като 1 върху 0 минус 1 върху..колко е естествен логаритъм от 1? е на каква степен е равно на 1? Всичко на степен нула е равно на 1, значи е на нулева степен ще е равно на 1 и естественият логаритъм на 1 ще ни е 0 Получава ни се странно, неопределено 1 върху 0 минус 1 върху 0 Тази странно-изглеждаща неопределена форма Но не е същия вид неопределеност, в който прилагахме правилото на Лопитал Не се получава 0 върху 0, нито безкрайност върху безкрайност Може да си кажете – "Ясно, това не е задача за правилото на Лопитал. Ще търсим границата по друг начин" Ще ви кажа, не се предавайте толкова рано Може би можем да разпишем това и да получим неопределената форма на Лопитал и тогава да използваме правилото За да направим това, да видим какво ще стане ако съберем двата израза Ако добавим това, общият знаменател ще бъде x минус 1 по логаритъм от x Просто умножих знаменателите И числителят ще бъде... ако умножа целия този член по логаритъм от x, ще имам x логаритъм от x и ще умножа целия този член по x минус 1 Значи, минус x минус 1 Може да разложите това и ще видите, че този и този изрази са едни и същи От двете страни имаме х върху х минус 1 защото логаритъм от х се съкращава Нека се освободя от това това е същото като 1 върху логаритъм от x защото x минус 1 се съкращава Надявам се видяхте, че досега просто събрах тези два израза Да видим какво става като взема граница за x клонящо към 1 от това нещо Защото те са едно и също Получава ли ни се нещо интересно? Какво имаме тук ? Имаме 1 по логаритъм от 1 Логаритъм от 1 е 0, значи получаваме 0 Минус 1 минус 0, значи още едно 0, минус 0 Имаме 0 за числител А за знаменател имаме 1 минус 1, което е 0 по логаритъм от 1 (= 0), т.е. 0 по 0 - 0 И готово Получихме формата за правилото на Лопитал Като допуснем, че ако вземем производната на това и я разделим на производната на това, то границата съществува Нека го направим Значи, ако границата съществува, това ще е равно на граница при x клонящо към 1 Да вземем тази производна в пурпурен цвят, ще взема производната на този числител За първия член прилагаме правилото за произведение Производната на x е 1, т.е. 1 по логаритъм от x, производната на първия член по втория член И сега имаме плюс производната на втория член плюс 1 върху x по първия член Това е правилото за произведение Значи, 1 върху x по x, това е просто 1 после имаме минус производна на x минус 1 производната на x минус 1 е 1, значи това ще бъде минус 1 Всичко това върху производната на другото Нека вземем производната на това Производната на първия член, x минус 1, е 1 Умножаваме по втория член и получаваме логаритъм от x плюс производна на втория член, тоест за логаритъм от x е 1 върху x,по x минус 1 Мисля, че можем да опростим това малко Това е 1 върху x по x, това е 1 Ще извадим 1 оттук Значи, тези се съкращават Целият израз можем да запишем като граница при x клонящо към 1 числителят е логаритъм от x, (правя това в лилаво),а знаменателят е логаритъм от x плюс x минус 1 върху x Нека опитаме да изчислим тази граница Значи, ако вземем x се приближава до 1 от логаритъм от x, това ни дава, … логаритъм от 1 е 0 И тук получаваме логаритъм от 1, което е 0 И после, плюс 1 минус 1 върху плюс 1 минус 1 върху 1 - това ни е още една 0 1 минус 1 е 0 Имаме 0 плюс 0 Значи пак имаме 0 върху 0 0 върху 0 (0/0)... Нека пак приложим правилото на Лопитал Да вземем производната на това и да я разделим на производната на другото Значи ако изобщо стигнем до граница, тя ще бъде равна на граница при x клонящо към 1 от производната на числителя, 1 върху x, производната на логаритъм от x е 1/x, върху производната на знаменателя Каква е тя ? Производната на логаритъм от x е 1 върху x плюс производната на x минус 1 върху x Можете да си представите това като 1 върху x по x минус 1 производната на x на минус първа,... ще вземем производната на първия член по втория член и после производната на втория член по първия член Значи, производната на първия член, x на минус 1, е минус x на минус 2 по втория член, по x минус 1, плюс производната на втория член просто 1 по първия член, плюс 1 върху x Това е равно на...нещо изведнъж изcкочи на компютъра Извинявайте за този звук ако сте го чули Къде бях ? Да, нека опростим това Използваме правилото на Лопитал Това ще е равно, нека проверим: ако изчислим, че х = 1, то числителят е 1/1 или просто 1 Определено вече нямаме неопределена форма или поне форма 0/0 И знаменателят ще бъде, ако изчислите за 1, това е 1/1, т.е 1, плюс минус 1 на минус 2 Значи, можете да кажете, 1 на минус 2 е 1, но отрицателно Но после умножаваме това по 1 минус 1, което е 0, значи този член се съкращава И имаме още плюс 1 върху 1 Значи, това ще ни е равно на 1/2 Готово С правилото на Лопитал в няколко стъпки, което отначало не изглеждаше като да е 0/0 Събрахме двата члена, получихме 0/0, взехме производните на числителите и знаменателите два пъти и намерихме границата, която търсехме