Правило на Лопитал: решаване за дадена променлива

Дадена ни е интересна задача, или упражнение, ето тук. "Намерете такова число а, за което е изпълнено следното: Границата, когато х клони към 0, е равна на квадратен корен от 4 плюс х минус квадратен корен от 4 минус а по х, и всичко това е върху х, и е равно на 3/4. Както винаги, насърчавам те да спреш видеото и да опиташ да решиш задачата самостоятелно. Предполагам, че вече го направи, а сега нека да я решим заедно. Когато просто се опиташ повърхностно да изчислиш тази граница тук, когато х клони към 0, или просто се опиташ да я изчислиш, когато х е равно на 0, то ще получиш... Добре, нека да се опитам да изчисля границата, когато х клони към 0, от квадратен корен от 4 плюс х, минус квадратен корен от 4 минус а по х, и всичко е върху х. Този израз ето тук ще бъде равен просто на квадратен корен от 4, защото 4 плюс 0 е равно на 4. А този израз ето тук просто ще бъде равен на квадратен корен от 4, защото без значение на какво е равно а, то а по 0 е равно на 0. Следователно ще остане 4 минус 0, или просто ще се получи квадратен корен от 4. Тоест ще се получи 2. Целият този израз ще бъде равен на 2. Ако просто заместим х тук, то целият този израз е равен на 2. Целият този израз ето тук също ще бъде равен на 2. Ще се получи 2 минус 2, и когато х клони към 0, то знаменателят ще е равен на 0. Изглежда, че ще получим... Получава се недефиниран вид. И когато получиш нещо такова, си казваш: "Ще приложа Правилото на Лопитал.". Ако получа 0 върху 0 или безкрайност върху безкрайност... Тази граница ще бъде равна на същото нещо, като границата, когато х клони към 0... Тази граница ще бъде равна на същото нещо, като границата, когато х клони към 0, от производната на числителя върху производната на знаменателя. А на какво е равна производната на числителя? Всъщност първо ще намеря производната на знаменателя. Защото производната на х спрямо... О, може да направя това с различен цвят. Производната на х спрямо х просто ще бъде равна на 1. Нека сега да намеря производната на ето този израз тук отгоре. Производната... Производната на ето този израз тук спрямо х. Първият член е равен на 4 плюс х на степен 1/2. Това е производната на този член и ще бъде равна на 1/2 по 4 плюс х на степен минус 1/2. А производната на ето този член тук... Нека да видим... Тук прилагаме верижното правило и производната на 4 плюс х е просто равна на 1, т.е. просто умножаваме този израз по 1. Когато обаче приложим верижното правило тук, то производната на 4 минус а по х спрямо х ще бъде равна на минус а. Сега умножаваме това по този минус отпред, така че ще се получи плюс а. Плюс а по... по 1/2, по 4 минус а по х, на степен минус 1/2. Просто приложих правилото за намиране производна на степен и верижното правило, за да намеря производната на този израз. Тогава на какво ще бъде равен този израз? Е, ще бъде равен на... Този израз ще бъде равен на нещо върху 1. Когато х клони към 0, тогава тук ще се получи за този израз 4 плюс 0, което е равно просто на 4 на степен минус 1/2. Това ще бъде равно на 1/2. 4 на степен 1/2 е равно на 2. 4 на степен минус 1/2 е равно на 1/2. Тогава, когато х клони към 0, за този израз се получава 4 на степен минус 1/2, което отново ще бъде равно на 1/2. И до какво се опростява този израз? Имаме 1/2 по 1/2, което е равно на 1/4. Това е от този израз тук. Тогава за ето този израз се получава а по 1/2 по 1/2, така че записваме плюс а/4. Тоест този резултат е равен на същото като а плюс 1 върху 4. И знаем, че това трябва да е равно на 3/4. Този израз трябва да е равен на 3/4. Това е нашата първоначална задача. Изразът трябва да е равен на 3/4. И сега може директно да определим на какво трябва е равно числото а. а плюс 1 трябва да е равно на 3, или а е равно на 2. И сме готови.