Правило на Лопитал: пример с граница при безкрайност

Трябва да изчислим границата, когато ь се приближава към безкрайност, на 4x на квадрат минус 5x, всичко това върху 1 минус 3x на квадрат Безкрайността е странно число Не можем просто да заместим с 'безкрайност' и да видим какво става Но ако искате да намерите границата когато този числител се приближава до безкрайност, можете да вземете много големи числа и ще видите приближението към безкрайност на числителя когато x се приближава към безкрайност И ако сложите много големи числа в знаменателя... може би тук няма да е безкрайност - 3x на квадрат се приближава към безкрайност, но го изваждаме - Ако извадим безкрайност от някакво не-безкрайно число, ще получите отрицателна безкрайност Значи, ако просто пресмятахме за 'безкрайност', за числител ще ни се получи положителна безкрайност, а за знаменател – отрицателна безкрайност Ще го запиша ето така Отрицателна безкрайност И това е една от неопределените форми, върху които може да се приложи правилото на Лопитал Сигурно си казвате, 'но Сал, защо изобщо трябва да използваме правилото на Лопитал ? Мога да реша задачата и без правилото на Лопитал !' И вероятно наистина можете, поне би трябвало И ще направим това след секунда Просто исках да ви покажа, че правилото на Лопитал върши работа при такъв тип задачи и ми се искаше да ви дам пример с неопреденена форма безкрайност върху отрицателна или положителна безкрайност Нека приложим правилото на Лопитал тук Ако такава граница существува, или ако границата на производните съществува, тази граница ще е равна на границата когато x се приближава до безкрайност от производната от числителя Значи, производната от числителя е … производната от 4x на квадрат е 8x минус 5 върху – производната на знаменателя е производната на 1, което е 0 Производната на минус 3x на квадрат е минус 6x И ще повторя, че когато изчислихме с безкрайност, числителят се доближава до безкрайност И знаменателят се доближава до минус безкрайност Минус 6 по безкрайност е минус безкрайност Значи, това е минус безкрайност Нека пак приложим правилото на Лопитал Значи ако съществува граница на производните на тези функции – или ако съществува рационална функция на производната на това разделена върху производната на това, то тогава тази граница ще е равна на границата когато x се приближава до безкрайност от (сменям цвета на маркера) 8x минус 5 е 8 Производната на минус 6x е минус 6 И това ни е просто константа Значи, няма значение към каква граница се приближаваме - това винаги ще ни е равно на тази стойност Която е каква ? Ако я представим в най-опростена форма, това е минус 4/3 - Значи, тази граница съществува Това беше неопределена форма И границата на производната на тази функция върху производната на тази функция съществува, значи тази граница трябва е да е равна на минус 4/3 И по същата логика, тази граница също трябва да е равна на минус 4/3 И сега, за всички от вас, които си казаха 'хей, аз вече знаех как да реша задачата' Можехме просто да извадим x на квадрат Съвсем прави сте И сега ще ви покажа това Само за да ви покажа, че правилото на Лопитал не е единственият начин да се реши задачата И, да ви кажа честно, първата ми реакция при такъв тип задача вероятно не би била да използвам правилото на Лопитал Можехме да кажем, че първата ни граница -границата когато x се приближава към верчността от 4x на квадрат минус 5x върху 1 минус 3x на квадрат, е равно на границата когато x се приближава към безкрайност Нека сложа една черта тук, за да ви покажа, че това е равно на това, а не на това нещо там Това е равно на границата когато x се приближава към безкрайност Нека извадим x на квадрат от числителя и от знаменателя Значи, имаме x на квадрат по 4 минус 5 върху x Нали ? x на квадрат по 5 върху x ще бъде 5x Делено на... нека извадим x от числителя Значи, x на квадрат по 1 върху x на квадрат минус 3 И тези x на квадрат се анулират Значи, това ще е равно на границата когато x се приближава към безкрайност от 4 минус 5 върху x върху 1 върху x на квадрат минус 3 И на какво ще е равно това ? Ами, когато x се приближава към безкрайност (5 делено на безкрайност), този член ще е 0 Огромен, безкраен знаменател, това ще е 0 Това ще се приближава към 0 И по същата логика, Това тук ще се приближава към 0 Остана ни само 4 и минус 3 - Значи, това ще ни е равно на 4 върху минус 3, или минус 4/3 Значи, не беше задължително да използваме правилото на Лопитал в тази задача