Наклон на права, пресичаща крива

Нека преговорим понятието наклон (ъглов коефициент), което може би си спомняш от уроците по алгебра. Наклонът е просто скоростта на изменение на права. Или скоростта на изменение на y спрямо x, когато се придвижваме по правата. Може също така да го разглеждаш като мярка за наклона на правата. Колкото по-наклонена е правата, толкова повече положителен ще бъде наклона. Ето това тук има положителен наклон. Функцията нараства с нарастването на x. И ако това би имало дори по-голям наклон от този, то ще нараства дори повече с нарастването на x. Тогава би имало дори още по-голям наклон. Така че това тук е някаква права. Това е някаква права. И само като напомняне, можем да намерим наклона между две точки. Две точки дефинират права. И между тези две точки можем да намерим скоростта на изменение на y спрямо x. Нека да поставим две точки тук. Нека да кажем, че тази точка ето тук, т.е. тази стойност за x, е x нулево или x с долен индекс нула. x нулево е просто начална стойност за x. И когато x e х нулево за тази права, то y е y нулево. Тогава това е точка (x нулево; y нулево). Нека да кажем, че имаме и друга точка чак ето тук. И нека да изберем тази стойност за x тук да е x1 (долен индекс 1). А стойността за y ето тук e y1 (долен индекс 1). И така, това е точката (x1; y1). Само за преговор, наклонът на тази права, а правата по дефиниция има постоянен наклон, независимо кои две точки избираш. Наклонът на тази права, който често се означава с буквата m, е скоростта на изменение на y спрямо x. Друг начин да мислиш за това е, какво е изменението на y при дадено изменение на x. Или изменението за y, разделено на изменението за x, т.е. Δy/Δx. Само напомням за този триъгълник. Това е гръцката буква делта. Представлява означение за изменение на каквото и да е. И така, имаме Δy/Δx. Нека да помислим какво ще получим за дадения пример точно ето тук. Нека първо да помислим за изменението в x. Придвижваме се от x нулево до x1. Ето нашето изменение за x. Ето това е нашето изменение за x точно ето тук. Започваме от x нулево и стигаме до x1. Това е нашето изменение на x. Ще го направя с розов цвят. Това е нашето изменение на x. И на какво е равно то? Ако завършваме тук и сме започнали тук, нека просто да напишем крайна точка минус начална точка. Така че то е (x1 - x0). По този начин, като го записвам така, съм сигурен, че ще имам положителна стойност. Просто приемам, че x1 > x нулево. А какво е изменението на y? Още веднъж, крайна точка, т.е. крайна стойност y минус начална стойност y. y1 - y нулево. Сега може би се питаш: Хей, не можеше ли да го запиша (y нулево - y1) върху (x нулево - x1)? Абсолютно! Можеше да го направиш. Тогава просто щеше да получиш отрицателно число за всяка от тези стойности в числителя и знаменателя, но те взаимно ще се унищожат. Важно е записът да е еднакъв. Ако изваждаш началната стойност от крайната стойност в числителя, следва също така да извадиш началната стойност от крайната стойност в знаменателя. Това тук може би си спомняш от уроците по алгебра. Определението за наклон е: скоростта на изменение на y спрямо x. Или скоростта на изменение по вертикалната ос спрямо това по хоризонталната ос. Или изменението по y, т.е. изменението по вертикалната ос, върху изменението по хоризонталната ос. Сега ще въведа малко една главоблъсканица. Нека ето тук да начертая друга ос. Ще я преместя само малко, за да имаме място за работа. И така, това беше за права. А правата по дефиниция има постоянен наклон. Ако го изчислиш между две произволни точки от правата ще бъде постоянен за тази права. Но какво става, когато започнем да работим с криви? Когато започнем да работим с криви или не-линейни функции. Нека да си представим крива, която изглежда ето така. Изглежда по този начин. Каква е скоростта на изменение на y спрямо x за тази крива? Нека да разгледаме различни точки. Поне може да се опитаме с приближение да видим, как ще изглежда във всеки един момент. Нека да кажем, че това е една точка от кривата. Нека да я наречем x1 и тогава това е y1. И нека това тук да е друга точка от кривата x2. А тази нека да е y2. И така това е точка (x1; y1), а това е (x2; y2). Все още не разполагаме с инструментите. И това е, което е вълнуващо в анализа, че скоро ще имаме инструменти, за да намерим каква е скоростта на изменение на y спрямо x точно в тази точка. Но все още не разполагаме с такъв инструмент. Но използвайки познанията си по алгебра, може поне да започнем да мислим за това каква е средната скорост на изменение в интервала от x1 до x2. Каква е средната скорост на изменение? Това показва просто как се е променилa стойността y, така че това е изменението по y, съответно за това изменение по x. За това Δx. Бихме го изчислили по същия начин. (y2 – y1)/(x2 – x1) Δy в този интервал е равно на (y2 – y1), а Δx ще бъде равно на (x2 – x1). Ето по този начин успяхме да намерим скоростта на изменение между тези две точки. Друг начин да мислиш за това, е, че това е средната скорост на изменение за кривата между x = x1 и x = x2. Това е средната скорост на изменение на y спрямо x в този интервал. Но какво още научихме и открихме тук? Намерихме наклона на правата, която свързва тези две точки. Намерихме наклона на правата, която свързва тези две точки. А как наричаме права, която пресича една крива точно на две места? Както знаеш, това е секуща права. Следователно това тук е секуща. Основната идея тук е да разширим понятието за наклон. Казахме: Добре, вече знаем как да намираме наклон на права. За крива все още не разполагаме с инструментите, но ще ги вземем от анализа. Но нека да използваме инструментите от алгебрата. Може поне да намерим средната скорост на изменение за крива, или функция, в даден интервал. Това е същото нещо като наклона на секущата. Просто, за да загатнем малко какво предстои, т.е. накъде отива всичко това. Как ще се сдобием с инструментите, с които ще намираме моментната скорост на изменение, а не само средната? Просто си представи какво се случва, ако тази точка тук се приближава все повече и повече до другата. Тогава секущата все повече и повече ще се доближава до моментната скорост на изменение ето тук. Дори може да мислиш за това като за наклона на допирателната.