Анализиране на грешките при намиране на екстремуми (пример 1)

От Памела се иска да намери къде функцията h(x) равна на x^3 – 6*x^2 + 12*x, има локален екстремум. Това е решението ѝ. В стъпка 1 изглежда, че се опитва да намери производната. В точка 2 се опитва да намери решението или къде производната е равна на нула. Намира, че е изпълнено за x = 2, така че заявява, че това е критична точка. В стъпка 3 прави заключението, че h има локален екстремум в точката x = 2. Вярно ли е решението на Памела? Ако не е, то каква е грешката ѝ? Спри видеото и се опитай да намериш решението самостоятелно, за да видиш дали Памела е работила вярно. Добре, ще се опитам да го направя отново и успоредно с нейното решение. Първо ще намеря производната тук. Това е h'(x). Просто ще приложа правилото за степенуване многократно. За x^3 ще се получи 3 * x^2. 2 * (–6*x) е равно на –12*x. А производната на 12*x е 12. Може да изнесеш 3 пред скоби. Получава се 3 * (x^2 – 4*x + 4) и тази част е равна точно на (x – 2)^2. Това е равно на 3*(x – 2)^2. Стъпка 1 от решението ѝ изглежда вярна. Добре, стъпка 2. Решението за h'(x) = 0, е x = 2. Това също е вярно. Ако запишем 3*(x – 2)^2, което е h'(x) т.е. първата производна, и я приравним на 0, то това ще е изпълнено, когато x = 2. Всяка точка, където първата производна е равна на нула или не е дефинирана, е действително критична точка. Дотук тази стъпка изглежда добре. Следва стъпка 3, където пише, че h има локален екстремум за x = 2. Добре, тя прави основно заключение тук. Предположила е, че поради това, че производната е нула, функцията има локален екстремум. Нека да видим дали въобще може да направим такова заключение. За да имаме локален екстремум, кривата следва да изглежда по подобен начин, и тогава ето тук ще има локален екстремум. А тук наклонът се променя от положителен до нула, а след това става отрицателен, или може да има локален екстремум като този. Това би било локален максимум. Това би било локален минимум. Тогава в точка с минимум наклонът е нула, но точно преди това наклонът е отрицателен, а след това става положителен. Действително обаче може да имаш случаи, когато първата производна е нула, но функцията няма екстремум. Например може да имаш точка като тази, където точно тук наклонът може да е равен на нула. Следователно първата производна ще бъде равна на нула. Забележи обаче, първо наклонът е положителен, стига до нула, и става отново положителен. Следователно не можеш да направиш заключението, просто защото производната е нула, че определено има екстремум. Може да кажеш, че е критична точка, така че стъпка 2 е вярна. За да направиш това заключение, ще трябва да провериш какво се случва с производната, преди и след тази точка. И да потвърдиш, че знакът на наклона се сменя. Може да се опитаме да го направим. Нека да начертаем таблица. Правим малка таблица. Малко по-хубава. Записваме x и h'(x) ето тук. Знаем, че за x = 2, h'(2) = 0. Това е нашата критична точка. Но нека да опитаме друго. Да видим какво се случва, когато x = 1 а след това какво се случва за x = 3. Просто избирам точки от всяка страна на точката две. Нека да видим какво се получава, когато x = 1. h'(1) = 3*(1 - 2)^2 1 – 2 = –1 и повдигнато на квадрат е +1, умножено по 3 е положително и равно на 3. За 3 имаме (3 – 2)^2 * 3. Това също ще бъде 3. Следователно това е ситуация, при която, както начертах тук, наклонът е положителен преди да стигнем до критичната точка, след което става 0, а после отново е положителен. Ето защо наистина трябва да направиш тази проверка. За да определиш дали е екстремум. Оказа се, че това не е екстремум. Това тук не е точка на минимум или максимум. Тогава решението на Памела не е вярно и има грешка в стъпка три. За да направиш такова заключение, ще трябва да провериш от двете страни на критичната точка. Проверка на първата производна.