Намиране на локални екстремуми (изследване на функция)

Миналия път видяхме, че една функция има най-малка или най-голяма стойност, min max стойност на нашата функция при х равно на а, и следва факта, че а е критична точка. х, равно на а е критична точка. Но след това видяхме, че обратното не е задължително вярно. Това х да е равно на а като критична точка не е задължително да означава, че функцията има най-малка или най-голяма стойност в тази точка. Така че в това видео ще се опитаме да намерим няколко критерия, особено при въвеждане на производната на функцията при х, равно на а, за да разберем дали тя е в някаква минимална или максимална точка. Нека сега погледнем какво видяхме миналия път. Видяхме, че тази точка тук се намира на място, на което функцията има максимална стойност. А тази конкретна критична точка беше х нулево. Това, което я направи критична точка, беше факта, че производната е 0. Критична точка е налице там, където или производната е 0, или е неопределена. Така че това е критична точка. И нека изследваме какво става с производната, като се приближаваме към тази точка. За да бъде тя точка на максимум, функцията нараства с приближаването ни към нея. Нарастването на функцията е още един начин за изразяване на положителната стойност на наклона. Наклонът се променя, но остава положителен през цялото време, което означава, че функцията нараства. И това, че наклонът е положителен е още един начин да кажем, че производната е по-голяма от 0 при приближаване на тази точка. А какво се случва като преминем тази точка? Точно в тази точка наклонът е 0. Но като преминем тази точка, какво трябва да се случи, за да бъде това на максимална точка? Ами стойността на функцията трябва да намалее. Ако стойността на функцията намалява, това означава, че наклонът е отрицателен. И това е друг начин, по който определяме производната на функцията като отрицателна. Тези признаци приличат на много добри критерии за разпознаване на това дали дадена критична точка е максимална. Да кажем, че имаме критичната точка а. Намираме се на максимална точка ако f прим от х сменя знаците си от плюс на минус като пресечем х, равно на а. Точно това се е случило тук. Нека се уверим, че е станало при максималната точка тук на това място. Та на това място, като приближаваме тази точка, функцията нараства. Нарастването на функцията означава, че наклонът е положителен. Това е един различен положителен наклон. Той се променя, става всъщност все по-стръмен и по-стръмен. Или все повече и повече положителен. Но определено е положителен. Положителен е и отива в тази точка. След пресичането на точката става отрицателен. Наклонът е бил неопределен точно в точката. Но при него знаците са се обърнали от положителни на отрицателни, след като сме пресекли тази критична точка. Така че тези два елемента отговарят на критериите ни за максимална точка. И до този момент критериите, изглежда, са доста благоприятни. Нека сега се уверим, че по някакъв начин тази точка тук, която определихме миналия път като критична точка, нека сега - и мисля, че това го нарекохме х0, това беше х1, а това - х2. х1, х2. Това беше х3. Нека се уверим, че това по някакъв начин не отговаря на критериите, понеже виждаме нагледно, че няма максимална точка. Като се приближаваме, наклонът е отрицателен. И тогава, след като я пресечем, наклонът е все още отрицателен, все така функцията намалява. Затова не сме обърнали знаците. Така че това не отговаря на нашите критерии, което е добре. Нека сега видим критериите за минимална точка. Мисля, че може да се види накъде ще отидат нещата. Миналия път видяхме, че това тук е точката на минимум. Можем да видим това. Като го разглеждаме, виждаме че това е локален минимум. А какъв е наклонът като се приближаваме? Така, функцията намалява, наклонът е отрицателен при нашето приближаване. f прим от х е по-малко от 0 като се приближаваме към тази точка. И след това веднага след пресичането й - това няма да е точка на минимум ако функцията продължи да намалява по някакъв начин. В този момент функцията трябва да нараства. Нека тук използвам същия зелен цвят. Веднага след това функцията започва отново да нараства. f прим от х е по-голямо от 0. Това, изглежда, е много хубав критерий за точка на минимум. f прим от х сменя знаците от минус на плюс при пресичането на а. Ако е налице някаква критична точка а, функцията има минимална стойност в а, ако производната на нашата функция смени знаците от минус на плюс при пресичането на а, от минус на плюс. И пак, тази точка тук, тази критична точка х с индекс 3 не отговаря на нашите критерии. Отиваме от минус на 0 точно в тази точка, след това пак отиваме на минус. Излиза, че това не е точка на минимум или на максимум.