Точни уравнения пример 1

Вече те залях с частни производни и Пси-та спрямо Х и Y. Време е вече да се заемем с едно истинско диференциални уравнение и да говорим по-конкретно. Нека имам диференциалното уравнение Y по косинус Х плюс 2 Х по Е на степен Y плюс синус от Х плюс Х на квадрат по Е на степен Y минус 1 по производната на Y равно на 0. Дано умът ти вече е на вълна обикновени диференциални уравнения. Когато видиш този общ вид, това е функция на Х и Y, а после имаме друга функция на Х и Y по производната на Y, или по dY/dX, вече трябва да се сетиш, че променливите не са отделими. Няма да се опитвам да ги направя отделящи се, за да докажа това, защото ще отнеме време. Но когато те не са отделящи се, веднага трябва да се сетиш за обикновените диференциални уравнения. Нека проверя дали това диференциално уравнение е обикновено. Ако това е обикновено диференциално уравнение, това е нашата функция М, която е функция на Х и Y, а тази е функцията N, също с аргументи Х и Y. Сега ще проверим дали частната производна на този израз спрямо Y е равна на частната производна на другия израз спрямо X. Да видим. Нека намерим частната производна на М спрямо Y. Този косинус от Х в случая е константа, значи остава косинус от Х. Плюс, колко е производната на това? Тук 2Х също е константа, и търсим производната на Е на степен Y спрямо Y. Тя е просто Е на степен Y, нали така? И така, отпред имаме константата 2Х, умножена по производната спрямо Y, което прави 2Х по Е на степен Y. Дотук - добре. А сега да намерим частната производна и на израза N спрямо променливата Х. Частната производна на N спрямо Х е равна на... производната на синус от Х спрямо Х... това е лесно, тя е косинус от Х, после плюс 2Х по Е на степен Y. Нали така? А пък Е на степен Y е константа, защото тук частната производна е спрямо Х, и вече Y е константа. И така, събираме с 2Х по Е на степен Y. После имаме минус 1; производната на константа спрямо каквото и да е става 0. И така, производната на N... частната производна на N спрямо Х получихме, че е косинус от Х плюс 2Х по Е на степен Y... Еврика! Това е същото като полученото при частната производна на М спрямо Y. Ето го. Така показахме, че частната производна на М спрямо Y е равна на частната производна на N спрямо Х. Това равенство ни показва, че си имаме работа с обикновено диференциално уравнение. След като вече знаем това... Някой мина през стаята и ме стресна... да продължим... След като вече знаем, че уравнението е обикновено, с какво ни помага това? Това ни показва, че съществува такова Пси, че частната производна на Пси спрямо Х е равна на М, а частната происводна на Пси спрямо Y е равна на N. Ако знаем колко е Пси, то ще можем да преобразуваме нашето диференциално уравнение до такова: прозводната на Пси спрямо Х е равна на 0. Хайде да намерим нашето Пси. За него знаем, че частната му производна спрямо Х е М. Записвам това. Частната производна на пси спрямо Х е М. Знаем също, че М е равно на Y по косинус Х плюс 2Х по Е на степен Y. Това дойде от ето тук. Това е М от Х. Можехме да започнем и от другото известно равенство: че частната производна на Пси спрямо Y е равна на другия израз тук. Но да продължим с Х. Сега, за да добием поне груба представа как изглежда Пси, нека да изчислим за всяка от двете страни съответната примитивна функция... тоест да интегрираме спрямо Х всяка от страните на равенството. И така, да изчислим примитивната функция или, с други думи, интеграла на този израз спрямо Х. Сега ще го разпиша. Това е частната производна на Пси спрямо Х. Сега ще я интегрираме пак спрямо Х. Това ще е равно на интеграла спрямо Х на цялото това нещо: косинус от Х плюс 2 Х по Е на степен Y. Интегрираме по отношение на Х. Обикновено при интегриране спрямо Х трябва да добавим някаква константа С, нали? Но в нашия случай интегрирахме тази частна за Х производна, затова константата може да бъде някаква функция от Y, тъй като тук разглеждаме Y като константа. Това е логично, тъй като ако сметнем частна производна за Х на всяка от получените страни, ще смятаме частната производна спрямо Х на една функция с аргумент само Y и тук ще получим 0. И затова, когато определяме примитивната функция, тук следва да поставим някаква функция от Y. Тя се изгубва при диференцирането, когато изчисляваме частната производна спрямо Х. И така това се опростява до Пси, равно на интеграла спрямо Х, или примитивната функция спрямо Х, ето това тук, плюс някаква функция от Y, която се губи при смятането на частната производна по Х. Хайде сега да изчислим този интеграл. Ще използвам син цвят. Тук Y е константа, значи примитивната функция на Y по косинус Х е равна на Y по синус Х. Тук също Y е константа, значи интегрираме само 2Х, което е Х на квадрат и умножаваме по константата спрямо Х: Е на степен Y. После остава да добавим функцията от Y. За да се увериш в това, изчисли частната производна на резултата, спрямо Х. Частната производна спрямо Х на израза, който получихме, трябва да е равна на този израз, който е нашата функция М. И после, частната производна на допълнителната функция спрямо Х ще даде 0 и тя ще се изгуби. И така, почти успяхме да намерим нашето Пси. Остана само да открием каква е тази функция на Y. Знаем, че частната производна на Пси спрямо Y, тъй като уравнението е обикновено, трябва да бъде равна на нашата функция N. Да го приложим. Ще използвам друг запис за частната производна, за да свикнеш и с него; частната производна спрямо Y е равна на това... производната на Y синус от Х, като тук синус от Х е константа, значи производната спрямо Y става само синус от Х... Плюс производната на Е на степен Y, която е пак Е на степен Y. Х на квадрат тук също е константа. Значи плюс Х на квадрат по Е на степен Y. Остана F(Y), каква е нейната частна производна спрямо Y? Тя ще е F прим от Y. Какво направихме току-що? Интегрирахме М спрямо Х и казахме, че може да е изгубена някаква функция от Y, затова я прибавихме. След това изчислихме частната производна на тази страна, а после и частната производна на това спрямо Y. И тъй като знаем, че уравнението е обикновено, то това е равно на N. Нашето N е тук. Косинус от Х плюс, това ще е равно на... нещо не е наред, ще проверя дали наистина гледам N. Объркал съм се. Изразът N е тук горе. Ето това е той. Значи имаме синус от Х плюс Х на квадрат по Е на степен Y минус 1. Записвам го тук – синус от Х плюс Х на квадрат по е на степен у, минус 1. Това беше изразът N от първоначалното диференциално уравнение. Вече можем да намерим F прим от Y. И така, получаваме синус от Х плюс Х на квадрат по Е на степен Y плюс F прим от Y е равно на синус от Х плюс Х на квадрат по Е на степен Y, минус 1. Можем ли да опростим това? Имаме синус от Х от двете страни. Унищожават се, както и Х на квадрат по Е на степен Y. Какво остава? Само F прим от Y е равно на 1. Това означава, че F от Y е равно на... Y плюс някаква константа, нали? Тогава колко е Пси? Записахме Пси тук: като намерихме и F(Y), то ще стане функция от и от Х и от Y. Почти я намерихме: Пси като функция на Х и Y е равно на Y по синус от Х, плюс Х на квадрат по Е на степен Y... извинявай, объркал съм още F прим от Y, то е всъщност -1. Значи тук имаме един минус, а пък F(Y) става минус Y плюс С, и долу идва минус Y плюс С. Вече успяхме да намерим Пси. Какво ни дава то? Приложихме на оригиналното диференциално уравнение, това горе, верижното правило за частните производни и го преобразувахме като производната dX от Пси, където Пси е функция на Х и Y, равна на 0. Ако интегрираш двете страни на това уравнение, получаваш, че Пси от Х и Y равно на С също е решение на това диференциално уравнение. Ако положим, че това е равно на някаква константа С, това е диференциалното уравнение. Значи Y по синус Х плюс Х квадрат по Е на степен Y минус Y, и вече можем да сложим константата, нека да е С1, е равно на С2. Можем да извадим константите от двете страни и да получим една константа С накрая. И така, решихме това обикновено диференциално уравнение, като най-напред установихме, че то е обикновено: за целта проверихме дали частната производна на М спрямо Y е равна на частната производна на N спрямо Х. След като се уверихме, че са равни, потвърдихме, че уравнението е обикновено. После намерихме Пси. Тъй като уравнението е обикновено, М е равно на частната производна на Пси спрямо Х. А пък N е частната производна на Пси спрямо Y. След това, за да намерим Пси, интегрирахме М спрямо Х и получихме това. Но тъй като видяхме, че вместо константа С накрая може да е функция от Y, тъй като диференцираме по Х и тази функция може да е изгубена. За да намерим и нейната стойност, използвахме онова Пси, което намерихме преди това, изчислихме неговата частна производна, но този път спрямо Y: ето я. И тъй като уравнението е обикновено, това е равно на N от х у по определение. Приравнихме тези два израза и намерихме F(Y). Вече намерихме финалната стойност на Пси. Ето това е то. И след това, по верижното правило на частните производни, преобразуваме диференциалното уравнение по този начин. Решението на това уравнение е това, и то е решение и на нашето диференциално уравнение. Ще се видим в следващия урок.