Полета на направленията — въведение

Да предположим, че ни е дадено диференциалното уравнение dy/dx или производната на у по отношение на x е равна на (–x)/у. Да предположим, че не можем да намерим решенията на това уравнение, но искаме поне да получим представа за това как биха изглеждали решенията. За тази цел можем да разгледаме една координатна равнина, затова нека начертаем осите. Ще опитам да начертая горе-долу права линия. Това е оста y, а това е оста x. Тук ще нанеса едно, а тук – две. Това е минус едно, минус две и т.н. И понеже в това диференциално уравнение има само хиксове, игреци и първи производни на у по отношение на x, мога да взема примерни точки в равнината, да видя координатите x и y, да ги заместя тук, за да разбера какъв ще бъде наклонът. След това мога да визуализирам наклона – ако едно решение минава през тази точка, то какъв трябва да е наклонът в нея. Това мога да онагледя с една отсечка, една къса отсечка със същия наклон. Нека сега направим това на практика. Тук ще начертая една таблица... ... една малка таблица, колкото да има място за няколко стойности на x и y. Пак казвам, че избирам няколко точки в координатната система, за да онагледя. И така: x, y и dy/dx. Сега нека x да ни е нула, а y – единица. Тогава коя е производната на у по отношение на х? Тя ще е (–0)/1 или просто нула. И така, ако дадено решение минава през точка (0; 1), наклонът ще е нула. Това можем да покажем с тази къса хоризонтална отсечка. Продължаваме нататък. Ами ако х е единица и у също е единица? Ами тогава dy/dx или производната на y по отношение на x е –1/1, значи –1. Следователно, ако решението минава през точка (1; 1), наклонът ще е (–1). Затова начертавам къса отсечка с наклон минус едно. Ще използвам друг цвят. Ами ако х е единица, а у е нула? Тогава ще имаме минус едно върху нула, значи неопределено, но ни подсказва, че ако в тази точка имахме една допирателна, наклонът може би е вертикален. Затова тук ще сложа "вертикален", но с въпросителна. Ако наистина има нещо такова, предполагам няма да е функция, ако има някаква зависимост, минаваща през нея, но засега няма да чертаем нищо. Нека обаче разгледаме още няколко точки. Например точката (–1; –1). Сега имаме –(–1), което е едно върху минус едно. Значи тук ще имаме наклон (–1). Следователно при (–1; –1) наклонът ще е (–1). Сега да разгледаме случая с (1; –1). Сега имаме –1 върху –1, значи наклонът е едно. Тоест ако едно решение преминава през (1; –1), наклонът му ще изглежда така. Можем да продължим още, дори с (2; –2). Тук наклонът също ще е 1. Ако вземем (2; 2), ще имаме –2 върху 2. Ще имаме наклон (–1) точно тук. Така можем да разгледаме цял "букет" от точки. Ще смятам наум, без да пиша в таблицата, но започваш да схващаш какво става тук. Какъв ще е наклонът в (–1; 1)? Наклонът ще е 1. Това е точка (–1; 1), производната е –(–1) върху 1 и наклонът ни ще изглежда така. Също се отнася и за (–2; 2), наклонът ще изглежда така. Ако продължим да чертаем такива отсечки над избрани точки в правоъгълна координатна система или в равнината (х; у), постепенно получаваме представа как трябва да се държи решението. Дори можем да си чертаем, казвайки си: "Ей, решението май ще прави нещо такова." Това може да е решение, значи трябва да се държи така. Или ако гледаме само функции без зависимости... ... ще го покажа, за да стане съвсем ясно. Може би ще направи нещо такова. Или ако функцията започва тук, въз основа на това, което видяхме досега, вероятно ще направи нещо като това. Или ако това тук беше точка от функцията, тя би трябвало да се държи така. Повтарям, че правя това, което ми казва полето на направленията. Значи в полето, което създавам, наклоните са представени с отсечки. Още веднъж, това се нарича "поле на направленията". Надявам се, че придоби представа какво представлява полето на направленията. В следващите два клипа ще разгледаме тази идея по-задълбочено.