Геометрия: Основи на тригонометрията

Решаваме задача 61. Дадено е, че точка минус 3, 2 лежи на окръжност, чието уравнение е х плюс 3 на квадрат плюс у плюс 1 на квадрат е равно на r на квадрат. Кое от следните е радиуса на окръжността? Мисля за едно решение, тази точка е валидна за уравнението. е валидна за уравнението. Всяка точка от уравнението ще задоволи и двете страни на този знак на уравнението. Всичко, което трябва да направим е да заместим х и у тук и да видим на какво е равно r на квадрат. Да направим това. Ако заместим минус 3 за х. Ако заместим минус 3 за х. Получаваме минус 3, просто заместих за х. Плюс 3 на квадрат плюс сега у, у е 2. 2 плюс 1 на квадрат е равно на r на квадрат. Минус 3 плюс 3, това е просто 0. 0 на квадрат е 0. После 2 плюс 1 на квадрат. 3 на квадрат е равно на r на квадрат. r на квадрат е равно на 9 и после r е равно на 3, защото не може да имате отрицателен радиус. Веднага виждаме, че r е равно на 3. Всичко, което трябва да направим е да заместим х и у стойностите. Понеже за всяка точка, която задовлява това равенство е на окръжността, по определението на това уравнение. Казано е, че тази точка е върху окръжността, така че просто трябва да ги заместите и да решите за r . Задача 62. Изглежда, че ще решаваме задача по тригонометрия. Във фигурата по-долу ако синус от х е равно на 5 върху 13 какъв е косинуса от х и тангенса от х? Не знам дали сте видели клиповете за основи на тригониметрията, но може би трябва да ги гледате. Добър начин за запаметяване на синус,косинус и тангенс е SOHCAHTOA. тангенс е SOHCAHTOA. Това означава, че SOH е синус е равно на срещуположното върху хипотенузата. Косинусът е равен на съседното върху хипотенузата. Ще ви кажа какво означават тези след секунда. Тангенсът, сигурно сте се досетили, е равен на сещуположното върху съседното. Какво означава това? Какво означава това? Може би просто трябва да запомните SOHCAHTOA. После може да го разложите така. Ако взема синуса от този ъгъл. Това означава срещуположната страна на този ъгъл върху хипотенузата е равно на синуса от този ъгъл. хипотенузата е равно на синуса от този ъгъл. Да наречем това срещуположно. Да наречем това срещуположно. Това е хипотенузата. Това е съседната страна. Защото тя е съседна на ъгъла. Тази е срещуположна, хипотенузата, съседна. Синус от х е равно на , знаем от нашата подсказка, че SOHCAHTOA, срещуположната върху хипотенузата. Дадено е, че това е равно на 5/13. Така срещуположната върху хипотенузата е равно на 5/13. Сега знаем ,че това е просто съотношението между двете. Значи не ни е известно. Това може да е 10, това може да е 26. Това може да е 1, а това може да е 13/5. Кой знае? Всъщност, няма значение. Това е, което е интересно в тригонометрията. Всичко е въпрос на съотношение. Да приемем, че това е 5. Че срещуположната е равна на 5. А хипотенузата е равна на 13. Ще избера различен цвят. Това е много ярко. Добре. Значи ако хипотенузата е 5, а хипотенузата е 13, на какво ще бъде равна съседната? Можем да използваме Питагоровата теорема. Може да кажем съседната на квадрат. А на квадрат плюс срещуположната на квадрат. Значи, плюс 5 на квадрат, плюс 25. Е равно на 13 на квадрат. 13 на квадрат е 169. Ако извадим 25 от двете страни на уравнението, ще получим а на квадрат е равно на 144. А е равно на 12. Не знаем точно дали а е равно на 12. Но знаем, че съотношението на срещуположната към съседната е 5 към 12. Понеже приехме, че срещуположната е 5. Както и да е, иска се да намерим косинус от х и тангенс от х. Значи CAH. SOHCAHTOA. Косинус от х е равно на съседната върху хипотенузата. Съседната е 12. Хипотенузата е 13. Това е равно на12/13. Това е косинус от х. Тангенс от х е равно на срещуположната върху съседната. ТОА, срещуположната върху съседната. Значи срещуположната е 4, а съседната е 12. Равно на 5/12. Да видим кой отговор е това. Това е отговор А, косинус от х е 12/13. Тангенс от х е 5/12. Следващата задача. Изглежда, че от нас се иска да научим доста тригонометрия и геометрия. Което е добре. Това ще ни подготви за тригонометрията. На фигурата по-долу, синус от А е равно на 0.7. Да наречем този ъгъл А. Да наречем този ъгъл А. Търси се каква е дължината на АС? Значи това търсим. Да наречем това х. Значи SOHCAHTOA. SOH ни показва, че синус от някой ъгъл, да го наречем тита, е равен на срещуположната върху хипотенузата. Така синус от А, в този пример, ще бъде равен на срещуположната, 21, върху хипотенузата, върху х. Дадено е, че синус от А е равно на 0.7. Дадено е, че синус от А е равно на 0.7. Сега можем да решим това уравнение просто за х и сме готови. Да видим. Ако умножите х по двете страни, получавате, че 21 е равно на 0.7х. Делите двете страни на 0.7. И получавате 21/0.7 е равно на х. 21 делено на 7 е 3. 21 делено на 0.7 е 30. Значи х е равно на 30. Това е дължината АС. Това е дължината АС. Отговор С. Следващата задача. 64. Приблизително колко фута е висока улична лампа? ОК, можем да използваме тригонометрия тук. Ако знаем този ъгъл и са дадени всички тригонометрични съотношения за този ъгъл, ще се опитаме да намерим височината. Ако запиша SOHCAHTOA, какво търсим? Дадена е съседната. Това е съседната на ъгъла, точно до него. Височината, която търсим е срещуположната. е срещуположната. Има ли тригонометрична функция, която покрива срещуположната и съседната. Ами, това е тангенса. TOA. Тангенсът на всеки ъгъл е равен на срещуположната върху съседната. В този случай, тангенс от 40 градуса щебъде равен на срещуположната, срещуположната е h, това е, което търсим, върху съседната. Съседната е 20 фута. ОК, тангенс от 40 градуса не е нещо, което повечето хора помнят наизуст и това няма проблем, защото то ни е дадено. Тангенс от 40 градуса е 0.84. Получаваме 0.84 е равно на h/20. Можем да умножим двете страни на това по 20 и получаваме, че h е равно на 20 по 0.84. А това е равно на16.8. Това е отговор С. Това е отговор С. Задача 65. Правоъгълният триъгълник ABC е нарисуван по-долу. Кое уравнение дава вярна стойност за ВС? Това е, което се търси. Това е ВС ето тук. Добре, да ги изчетем. Ще напиша SOHCAHTOA, май доста често го правя. Ще напиша SOHCAHTOA, май доста често го правя. ОК, дадено е, че синус от 32 градуса е равно на ВС върху 8.2. Така ли е? Синусът е срещуположната върху хипотенузата. ВС е определено срещуположната. 8.2 не е хипотенузата, 10.6 е хипотенузата. Значи дадено е, че това е съседната. Това не е правилно. Това не е правилно. Това е тангенса. Тангенс от 32 е равно на ВС върху 8.2. Това е съседната страна, съседна на 32 градуса. Това е срещуположната и това е хипотенузата. Значи не е правилно. Отговор В, косинус от 32. Косинусът е съседната върху хипотенузата. Значи косинус от 32 е 8.2/10.6. Това е 8.2 тук. Това не е правилно. ОК, следващата, тангенс от 58 градуса. Къде получават това 58? Добре, знае се, че това е 32, това е 90, значи това е 180 минус 32 минус 90. Понеже ъглите на триъгълника общо правят 180. Значи този ъгъл ето тук е 58. Сега ако ползваме този ъгъл, трябва да преименуваме отсрещния и съседния и т.н. Така от гледна точка на този ъгъл, тангенсът е срещуположната върху съседната. Ако напишем тангенс от 58 е равно на срещуположната страна, трябва да е равно на 8.2 върху съседните му страни, върху ВС. Това е съседна на този ъгъл. Беше срещу този ъгъл, но ВС е съседна на този ъгъл. Така е написано. Значи отговор С е верен. И сме готови. Ще се видим в следващото видео. Не сме приключили с всичко. Свършихме това видео. Чао. Чао.