Средно ускорение в рамките на даден интервал от време

Да кажем, че имаме частица, която се движи в едно измерение, и нейната позиция като функция от времето е дадена като (t^3 + 2)/t^2. Препоръчвам ти да спреш това видео и да определиш средното ускорение на частицата в този интервал, затворен интервал от t = 1 до t = 2. Колко е това? На колко ще бъде равно? Предполагам, че опита, а първото нещо, което вероятно разбра, е, че опита да намериш средната стойност на функция, която не знаем съвсем явно. Знаем функцията на местоположението, но не и функцията на ускорението. За щастие знаем, че функцията на ускорението е производна спрямо времето на функцията на скоростта, която е производна спрямо времето на функцията на местоположението. Функцията на ускорението е втора производна от това. Просто трябва да намерим средната ѝ стойност в този интервал. Да го направим, да намерим втората производна на това. Но преди това искам да преработя този израз, за да бъде по-лесен за диференциране. Ако разделим двата члена в числителя и ги разделим на t^2, ще получим t^3, делено на t^2, което е просто t. После 2 делено на t^2 можем да представим като 2t на минус втора степен. Сега да намерим производната. Функцията на скоростта, скоростта като функция от времето, е просто производната на това спрямо времето. Производната на t спрямо t е единица. Производната на 2t^(–2)... да видим, –2 по +2 е –4. Тук просто намаляваме степенния показател, t на минус трета степен. За да намерим ускорението като функция от времето, намираме производната на това спрямо времето. Ускорението като функция от времето е равно на... всъщност вече използвах цвят за средната стойност, сега ще използвам различен цвят. Ускорението като функция от времето е равно на производната на това спрямо t. Производната на константата спрямо времето не се променя, затова то е нула. После ето тук, – 3 по –4 е +12, понижаваме степенния показател на –4 степен. Сега, за да намерим средната стойност, просто трябва... средната стойност е просто определен интеграл в този интервал, и ще разделим това на широчината на интервала. Или можем да кажем, че делим на широчината на интервала. Едно, върху две минус едно, това се опростява до 1. По определен интеграл в този интервал от 1 до 2 от a(t). Това е 12t на минус четвърта степен, dt. До какво се опростява това? Отново, това е едно върху едно. Остава просто едно. Търсим примитивната функция на това. Това ще бъде равно на примитивната функция на това, което е t на минус трета степен, като делим на минус три. Примитивната функция на това ще бъде, като разделим тук, примитивната функция ще бъде –4t на минус трета степен, което видяхме ето тук. Очевидно, ако търсим неопределен интеграл, трябва да сложим някаква константа тук. Но ако сложим константа в определения интеграл, приемаме, че това е константа, която сме унищожили, когато пресмятаме неговата стойност. Крайният резултат от интегрирането е, че увеличаваме степенния показател, и после делим на новия степенен показател. 12 делено на –3 е равно на –4. Можем да изчислим това за едно и за две. Това ще бъде резултатът, когато го изчислим за две, горната граница на интервала, ще получим –4 по 2 на минус трета степен. Това е – 4 по... колко е това? Това е 1 върху 2^3, което е 1/8, това е един начин да го сметнем. После минус това, изчислено за 1. Минус –4 по t на минус трета степен. 1 на минус трета степен е 1. Значи това е –4 по 1. това е равно на – вече сме на самия финал – това е равно на, тази част тук това е –1/2. Това е –1/2, а тази част тук това е +4. +4 минус 1/2. Можем да го запишем като 3 и 1/2, или можем да го запишем като неправилна дроб, като 7/2. Средната стойност на ускорението в този интервал е 7/2. Ако тази позиция е дадена в метри и времето в секунди, това ще бъдат 7/2 метра в секунда на квадрат, средното ускорение между t = 1 секунда и t = 2 секунди.