Тълкуване на поведението на функции на натрупването

Нека g от х да е равно на определен интеграл от 0 до х, от f от t, dt. Кое е подходящото доказателство от математическия анализ за това, че g е изпъкнала в отворения интервал от 5 до 10? Изпъкнала функция. Преди дори и да помислим какво означава да е изпъкнала, нека да се уверим, че разбираме връзката между g и f. Един от начините да я разберем, е ако намерим производните и на двете страни на това уравнение. Ще получим, че g' от х е равно на f от х. Производната на този израз спрямо х ще бъде просто f от х. Всъщност причината да имаме въведена променливата t тук е, че този израз всъщност е функция на х, защото х е тази горна граница. А щеше да бъде странно, ако имахме х като горна граница, или поне объркващо, и едновременно с това интегрираме спрямо х. Така че просто се налага да изберем някаква друга променлива. Не е задължително да е t. Може да е алфа, може да е гама, може да а, b или c, или каквото изберем. Но все пак този израз тук е функция на х. Сега обаче търсим производна от двете страни и знаем, че функцията f е изобразена тук. Ако това беше оста х, то това щеше да бъде f от х. Ако това е оста t, тогава това е у е равно на f от t. Но като цяло това е графиката на функцията f, която може да се разглежда и като графиката на g'. Ако тази ос е х, то това ще бъде g' от х. Интересува ни интервалът, т.е. отвореният интервал от 5 до 10. И имаме производната на g, начертана тук. Искаме да намерим доказателство, което се основава на анализа, от тази графика, което да показва, че g е изпъкнала функция. Какво означава да е изпъкнала? Това означава, че наклонът на допирателната е нарастващ. Казано по друг начин, производната на функцията е нарастваща. Друг начин да го разглеждаш, е, че ако производната нараства в интервала, то функцията е изпъкнала в този интервал. Ето тук имаме графика на производната и тя действително е нарастваща в рамките на този интервал. Тогава доказателството, основано на анализа, което искаме да използваме, ще бъде следното: f, което е g', е нарастваща в този интервал. Производната е нарастваща в този интервал, което означава, че първоначалната функция е изпъкнала. f е положителна в този интервал. Това не е достатъчно пълно математическо доказателство. Ако производната е положителна, това означава просто, че първоначалната функция е нарастваща. Не ни дава информация, че първоначалната функция е изпъкнала. f е изпъкнала в интервала. Само защото производната е изпъкнала не означава, че първоначалната функция е изпъкнала. Всъщност може да имаш ситуация като тази, където функцията е изпъкнала в този интервал, но в голяма част от интервала ето тук, ако това беше графиката на f или g', то функцията намалява. И ако намалява в голяма част от интервала, то всъщност в тази част първоначалната функция ще бъде вдлъбната. Графиката на g има форма като купа, или U, в дадения интервал. Ако имахме дадена графиката на g, то това би било доказателство. Но няма да е математически обосновано доказателство. Нека да разгледаме още такива примери. В следващия имаме същата ситуация, което всъщност ще имат всички тези примери. g от х е равно на този израз тук. Какво е подходящото доказателство от анализа за това, че g притежава относителен минимум в точката х = 8? Отново функцията f е начертана тук, което е същото като производната на g. След като разполагаме с графиката на производната, как ще разберем дали имаме локален минимум в точката х равно на 8? Ами от факта, че пресичаме оста х там, където у е равно на 0. Тоест производната е равна на 0 за х равно на 8. Това ни казва, че наклонът на допирателната към g в тази точка е 0. Това обаче само по себе си не доказва, че това е точка на локален минимум. За да имаме точка на локален минимум, производната следва да пресича оста х, като се променя от отрицателна към положителна. Защо това е важно? Защото помисли: какво се случва, ако производната се променя от отрицателна към положителна? Това означава, че първоначалната функция се променя от намаляваща към нарастваща. От намаляваща става нарастваща. Тогава имаме точка на локален минимум. Търсим отговорът, който описва това. Ето това тук е добро начало, но само по себе си не е достатъчно, за да е налице точка на локален минимум. f е отрицателна преди х равно на 8 и положителна след х равно на 8. Това е точно същото, което току-що описахме. Нека да разгледаме и другите възможни отговори. f е изпъкнала в интервала около точката х равно на 6. Точката х равно на 6 не е свързана с условието на задачата. Има интервал от графиката на g около точката х равно на 8, където g от 8 е най-малката стойност. Това би било доказателство за локален минимум, но не е математически обосновано. Ще изключа и тази възможност също. Нека да решим още един такъв пример. Даденото равенство е същото, въпреки че имаме различни f и g тук, и всеки път го забелязваме на графиката. Какво е подходящото доказателство от анализа за това, че g е положителна в този интервал, т.е. в затворения интервал от 7 до 12? Функцията следва да е положителна в затворения интервал от 7 до 12. Това е интересно. Нека да си припомним. Тук ще се задълбочим малко повече в това, какво означава, че този определен интеграл има граници от 0 до х. Нека помислим върху това какво се случва, когато х е равно на 7. Когато х е равно на 7, или казано по друг начин, g от 7 ще бъде интегралът от 0 до 7, от f от t, dt. Интегралът от 0 до 7, ако това беше оста t. t e само променлива, която да заместим, за да ни помогне да поставим х ето тук. Действително става дума за тази площ ето тук. И поради това, че от 0 до 7 тази функция е над оста х, това ще бъде положителна площ. Това е положителна площ. Когато вървим от 7 до 12, не прибавяме някаква площ, но и не отнемаме никаква. Следователно от g от 7 до g от 12, ще имаме същата положителна стойност, защото не прибавяме някаква стойност. И когато казвам g от 12, g от 12 ще бъде всъщност равно на g от 7, защото отново напомням, не прибавяме площ тук, било то положителна или отрицателна. Нека да видим кои от тези отговори съвпадат с доказателството. За стойност х в интервала от 7 до 12 стойността на f от х е 0. Това е вярно, но това не означава, че функцията е била положителна. Например преди интервала, ако функцията е правила нещо такова, то преди тази точка ще имаме отрицателна площ, т.е. в този интервал функцията ще има отрицателни стойности. Следователно ще изключа този отговор. За всяка стойност х в интервала от 7 до 12, затворения интервал, стойността на g от х е положителна. За всяка стойност х в интервала от 7 до 12, стойността на g от х е положителна. Това е вярно, така че този отговор ми харесва. Нека разгледаме и другите. f е положителна в затворения интервал от 0 до 7 и е неотрицателна в интервала от 7 до 12. Този отговор също ми харесва. Всъщност причината да изключа този отговор е, че той няма нищо общо с производната, така че не е математически обосновано доказателство. Следователно ще го изключа. Ето този е добре. Това е точната обосновка, която обсъдихме. f е положителна от 0 до 7, така че ето тази площ тук е положителна, и е неотрицателна в рамките на интервала. Ще остане положителна в целия интервал. Тоест това е площта под f и над оста х, от 0 до това, което изберем за х. Харесва ми този отговор тук. f не е нито изпъкнала, нито вдлъбната в затворения интервал от 7 до 12. Не, това действително не ни помага, за да покажем, че g е положителна в рамките на този интервал. Така че верният отговор е C.