Решен пример: критерий за сравнение

Да разгледаме безкрайния ред от 1/(2^n + n) за n от 1 до безкрайност. Искам да видим дали можем да докажем, че този ред е сходящ и ли е разходящ. Вероятно мястото на този клип в плейлиста на Кан Академия ти подсказва, че ще използваме критерия за сравнение. Ако в някакъв момент усетиш, че можеш да се справиш самостоятелно, чувствай се свободен/а да спреш видеото и да го решиш. За да добием представа за този ред тук, не пречи малко да го развием, така че хайде да го направим. Когато n = 1, това е равно на 1/(2^1 + 1), което е равно на 1 върху 1 + 2, което е равно на 1/3, когато n е равно на 1. Когато n е равно на 2, това ще бъде 1 върху 2 на квадрат, което е 4, плюс 2, или 1/6. За n = 3... тук имаме за n = 1 и n = 2, сега да видим за n = 3. Това е 1върху 2 на трета степен, което е осем, плюс три е 11. Значи получаваме 1/11, и ще направя още един член. 2 на четвърта степен е 16, плюс 4 е 20. Това е 1/20 и очевидно можем да продължаваме така натакък. Изглежда този ред е сходящ. Всички членове са положителни, но стават все по-малки и по-малки и то много бързо. Ако разгледаме поведението на членовете, когато n нараства все повече, ще видим, че 2^n в знаменателя нараства много по-бързо от n. Така че това напомня 1/2^n, което е подсказка, че можем да използваме критерия за сравнение. Ще го запиша. Имаме безкраен ред от 1/2^n за n от 1 до безкрайност. Когато n е равно на 1, това е равно на 1/2. Когато n е равно на 2, това е равно на 1/4. Когато n е равно на 3, това е равно на 1/8. Когато n е равно на 4, това е 1/16. И продължаваме така нататък. Тук интересното е, че това е геометрична прогресия. Нека да поясня. Този ред е същото като сумата от (1/2)^n за n от 1 до безкрайност. Просто го записвам по различен начин. Тъй като абсолютната стойност на 1/2 е 1/2, което е по-малко от 1, знаем, че тази прогресия е сходяща. Даже имаме формули за намиране на точната сума или за определяне на границата. Знаем, че този ред е сходящ, а също така виждаме, че и двата реда отговарят на необходимите условия за прилагане на критерия за сравнение. Да се върнем към това, което записахме за критерия за сравнение. Критерият за сравнение – имаме два реда, всички членове на които са по-големи или равни на нула. След това всички съответни членове от единия ред са по-малки или равни на съответните членове от другия ред. Ако погледнем тук, можем да кажем, че този ред, редът в цикламено, безкрайният ред от a_n, а този тук, който направих в синьо, този син ред... Забележи, че всички техни членове са неотрицателни и съответния член 1/2 е по-голям от 1/3, 1/4 е по-голям от 1/6, 1/8 е по-голям от 1/11. (1/2)^n винаги ще е по-голямо от 1/(2^n + n) за стойностите на n, които ни интересуват. И понеже знаем, че този ред е сходящ, знаем, че по-големият ред е сходящ, това е геометрична прогресия, в която частното, абсолютната стойност на частното е по-малка от 1, и понеже знаем, че по-големият ред е сходящ, следователно по-малкият ред, или по-точно редът, в който всеки съответен член е по-малък от този тук в синьо, този ред също трябва да е сходящ. Чрез критерия за сравнение видяхме, че интересуващият ни ред също е сходящ.