Гранична форма на критерия за сравнение

Да си припомним изследването за сходимост чрез сравнение, за да видим къде може да ни е полезно, или може да не е толкова полезно, но за късмет, ще видим, че изследването за сходимост чрез сравнение е приложимо в много широк кръг случаи. Искаме да докажем, че този безкраен ред с общ член 1/(2^n + 1) за n = 1 до безкрайност е сходящ, как можем да го докажем? Всеки от тези членове е по-голям или равен на нула, и можем да съставим друг ред, в който всеки от съответните членове е по-голям от всеки от тези съответни членове. Този друг ред, например ми хрумва, че повечето хора се сещат за 1/(2^n), което е по-голямо от 1/(2^n + 1). Това е по-голямо от това, и можем да кажем, че е по-голямо или равно, категорично можем да кажем, че... ще го запиша, че е по-голямо или равно на 1/(2^n + 1) в интервала n = 1 до безкрайност. Защо? Защото знаменателят винаги е по-голям с единица, а ако знаменателят е по-голям, тогава целият израз е по-малък, заради което всички тези членове са положителни, този съответстващ член е по-голям от този и чрез критерия за сравнение, щом този е сходящ, това представлява един вид горна граница, защото този ред винаги е сходящ, можем да кажем, че понеже този е сходящ, то следва, че и този е сходящ. Сега да видим дали мога да приложа сходна логика за малко по-различни редове. Да кажем, че имаме реда, сумата от n = 1 до безкрайност от 1/((2^n) – 1). В този случай можем ли директно да използваме критерия за сравнение? Не, защото не можем да кажем, че 1/(2^n) е по-голямо или е равно на 1/(2^n – 1). Тук знаменателят е по-малък, което означава, че изразът е по-голям, което означава, че не можем, всеки от тези членове не представлява горна граница за тези. Този е малко по-голям, но от друга страна, това вече ти е ясно, но когато n нараства, 2^n ще бъде наистина по-голямо от –1 или +1, значи това, което няма нищо, това тук, което е 2^n. 2^n наистина ще описва поведението на знаменателя. Ще се съглася с теб, но ние не сме доказали как това работи практически, и тук може да ни помогне граничната форма на критерия за сравнение. Ще го напиша: "Изследване за сходимост чрез граничната форма на критерия за сравнение", ще го запиша малко по-формално, но това сега ще го приложим за безкрайни редове. Изследването за сходимост чрез граничната форма на критерия за сравнение, че ако имаме два безкрайни реда, този е от n = k до безкрайност, от a_n, тук няма да го доказвам, първо ще се научим да го прилагаме. Този е от n = k до безкрайност, от b_n. Знаем, че всеки от членовете a_n е по-голям или равен на нула, и знаем, че всеки от членовете b_n са, да кажем, по-големи от нула, което ще проличи в знаменателя на израза, но не искаме да е равно на нула, за всички n, които ни интересуват. За всички n = k; k + 1; k + 2 и така нататък, това е ключовото – тук използваме изследването за сходимост чрез граничната форма на критерия за сравнение, ако границата на a_n/b_n, когато n клони към безкрайност, е положително и крайно число, тогава и двата реда са сходящи или и двата реда са разходящи, ще го запиша. Този критерий ни казва, че или и двата реда са сходящи, или и двата реда са разходящи, което е много полезно. По-формален начин на изразяване е да кажем, че ако n клони към безкрайност, ако общите членове имат сходни свойства, то или и двата реда са сходящи, или и двата реда са разходящи. Хайде да го приложим. Ако кажем, че нашето b_n е 1/(2^n), както направих тук, нека направим сравнение, нека тези два реда ето тук, да отговарят на всички условия, така че нека да напишем границата, границата от a_n/b_n, когато n клони към безкрайност, това ще бъде 1/((2^n) – 1) върху 1/(2^n), и на колко ще е равна тя? Това ще бъде равно на границата, когато n клони към безкрайност, 2, ако разделим на 1/2^n, това е все едно да умножим по 2^n, тогава ще получим (2^n)/((2^n) – 1). И очевидно и числителят, и знаменателят клонят към едно и също, можем даже да запишем ето така, да разделим числителя и знаменателя на 2^n, ако искаш, макар че вероятно това ще ти хрумне в този момент. Значи границата, когато n клони към безкрайност, само ще превъртя малко надясно. Ако разделим числителя на 2^n, ще получа 1... Ако разделя знаменателя на 2^n, ще получа 1/(1 – 1/2^n). И сега става ясно, че това тук ще бъде просто нула, остава 1 върху 1. Важното е, че тази граница е положителна и крайна, защото това ето тук е положително и крайно, границата 1 е положителна и крайна, ако това е сходящо и това е сходящо, ако това нещо е разходящо и това е разходящо, но ние вече знаем, че това е сходящо, геометричните прогресии, в които частното е по-малко от 1, така че това също трябва да е сходящо.