Доказателство: разходящ хармоничен ред

Това е портрет на Николай Орезм, търсих как се пише точно, преди да започна това видео. Но предполагам, че не го произнасям правилно. Извинявам се на всички френскоговорящи предварително. Той е известен френски философ и математик, който е живял в средновековна Франция през 14 век. Той е прочут заради неговото доказателство, че хармоничните редове са разходящи. Само да преговорим – това е хармоничен ред. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +1/5. И още от първия път, когато видях хармоничен ред, за мен не беше очевидно дали той е сходящ или разходящ. Изглежда, че всички тези членове са положителни, но те клонят към нула, така че бих предположил, че този ред е сходящ. Но Орезм доказва обратното. Той прави едно от най-известните и най-елегантните доказателства в математиката, че този ред всъщност е разходящ. Начинът, по който го прави, е като замества всеки член в хармоничния ред с член, който е по-малък или равен на този член. И след това доказва, че този нов ред е разходящ, като той е по-малък или равен на този ред, или всеки член е по-малък или равен на всеки съответстващ член ето тук. И тогава той доказва чрез критерия за сравнение обаче, че този ред също трябва да е разходящ. Как го е направил? Един от начините да се мисли за това е той да замени всеки член в хармоничния ред с най-голямата степен на 1/2, която е по-малка или равна на този член Коя е най-голямата степен на 1/2, която е по-малка или равна на 1? 1 е степен на 1/2, значи това е 1/2 на нулева степен. Едно е най-високата степен на 1/2, която е по-малка или равна на едно. Тук ще запиша едно. Сега да видим коя е най-високата степен, на която повдигната 1/2 остава по-малка или равна на 1/2. Това тук ще бъде просто 1/2 на първа степен. Коя е най-високата степен, на която като повдигнем 1/2, полученото ще е по-малко или равно на 1/3? 1/2 е по-голямо от 1/3, не е по-малко от 1/3. Ние искаме резултатът да е по-малко от 1/3, така че най-високата степен на 1/2, за да бъде по-малко или равно на 1/3 е 1/4. Заместваме 1/3 с 1/4 и заместваме 1/4 с 1/4. После стигаме до 1/5. Коя е най-високата степен, на която да повдигнем 1/2, за да бъде резултатът по-малко или равно на 1/5? Отново, 1/4 е по-голямо от 1/5. Най-високата степен на която да повдигнем 1/2, за да е по-малка или равна на 1/5, е 1/8. Заместваме с 1/8. По същата причина замесваме това с 1/8. И разбира се, 1/8. Най-високата степен на 1/2, която е по-малка или равна на 1/8, е 1/8. С какво ще заместим 1/9? Ще заместим 1/9 с 1/16 по същите причини. И продължаваме така, докато стигнем до 1/16, така че ще имаме осем пъти последователно 1/16. Кое е интересното тук? Първо да проверим дали можем да ползваме критерия за сравнение. В първия ред всички членове са неотрицателни. Във втория ред всички членове са неотрицателни. Виждаме, че всеки съответен член в хармоничния ред е по-голям или равен на съответстващия му член в този ред – така го съставихме. Тези са равни, този не е равен, този е по-голям от този, 1/3 е по-голямо от 1/4. 1/4 е равно на 1/4, 1/5 е по-голямо от 1/8. 1/6 е по-голямо от 1/8, 1/7 е по-голямо от 1/8. 1/8 е равно на 1/8. Един начин да разсъждаваме върху това е, че всеки от съответните членове в този нов ред, съставен по този начин, е по-малък от съответния му член в хармоничния ред. Ще нарека това S. Тази безкраен ред, разбира се, продължава и продължава. Може би да използвам цикламено. Виждаме, че всеки от съответните членове тук е по-малък от съответния му член тук. Всички те са положителни. Ако можем да докажем, че този ред тук е разходящ, тогава чрез критерия за сравнение по-големият ред, хармоничният ред, в който съответните членове са по-големи, трябва също да е разходящ. Как ще докажем това? Да сметнем сумите. Това ще бъде – ще го напиша. S ще е равно на 1 + 1/2. 1/4 + 1/4, колко е това? Това са 2/4 или 1/2. Забелязваш ли какво става? Това е вълнуващо. Колко е 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8? Това са 4/8 или 1/2. Колко е 1/16 + 1/16 и така чак докато станат 8 събираеми по 1/16? Това е 8/16, което е 1/2. После имаме 16 пъти 1/32, което е също 1/2. Значи отново добавяме 1/2. Започваме с 1 и добавяме 1/2, плюс 1/2, плюс 1/2. Това очевидно ще е равно на, т.е. това няма граница. Може да кажем, че е равно на безкрайност. Или може да кажем, че S очевидно е разходящ. И понеже всеки член на S е по-малък от съответния му член в хармоничния ред, можем да кажем, че хармоничният ред е разходящ. Няма начин това нещо тук да е сходящо. Ако всеки съответен член е по-малък, сумата от тях е даже още по-малка. Но тази сума клони към безкрайност, значи и тази сума трябва да клони към безкрайност. Надявам се, че това ти беше толкова интересно, колкото и на мен.