Размерност на нулевото пространство или дефект

Нека имаме матрицата В, за която искаме да намерим нулевото ѝ пространство. Правили сме това няколко пъти досега, но само да преговорим, нулевото пространство на матрицата В са просто всички х, които принадлежат на множеството... Това са всички вектори х, които принадлежат на какво? 1, 2, 3, 4, 5 – матрицата В има пет стълба, значи тези вектори принадлежат на R5, като произведението на матрицата В по някой от тези вектори х е равно на нула. Това е определението за нулево пространство. Просто търсим множеството от решения на това уравнение тук. Вече сме виждали, че нулевото множество на преобразуваната в ешелонна форма матрица В е равно на нулевото множество на матрицата В. Какво беше ешелонна форма на матрицата В? Това е нещо много тривиално. Само ще направя няколко стъпки тук – за да получа 0 тук, ще заместя втория ред с ред 2 минус ред 1. Какво получаваме? Ред 2 минус ред 1. Първият ред не се променя, той остава 1, 1, 2, 3, 2. Сега вторият ред минус първия ред. 1 минус 1 е 0. 1 минус 1 е 0. 3 минус 2 е 1. 1 минус 3 е –2. 4 минус 2 е 2. Почти сме готови. Да видим, това тук е свободна променлива. Това тук е водеща променлива. Имаме 1. Ще се отърва от това тук. Мога да го направя, като заместя ред 1 с ред 1 минус 2 по ред 2. Вторият ред остава същия. 0, 0, 1, –2, 2. Сега ще заместя първия ред с ред 1 минус 2 по ред 2. 1, минус 2 по 0, е 1. 1, минус 2 по 0, е 1. 2, минус 2 по 1, е 0. 3, минус 2 по –2, това е 3 плюс 4, равно е на 7, нали? 2 по –2 е –4, като изваждаме резултата. После 2, минус 2 по 2, това е 2 минус 4, което е 2. Това е ешелонната форма на матрицата В, която е равна на ето това. После, за да намеря нулевото пространство на матрицата, имам х1, х2, х3, х4 и х5 – тук ще имам две нули. Сега просто мога да запиша това като множество от или като система уравнения. Да го направим. Имам х1. Ще запиша водещите променливи в зелено. х1 плюс 1 по х2, значи плюс х2, плюс 0 по х3, плюс 7 по х4, минус 2 по х5, е равно на тази горната 0 ето тук. После имаме... това е х3, нали? 0 по х1, плюс 0 по х2, плюс 1 по х3. Получаваме х3 минус 2 по х4, плюс 2 по х5 е равно на тази нула. И сега да изразим водещите променливи, нали? Това са нашите свободни променливи. Можем да ги заместим с произволни стойности. Ако изразим водещите променливи, какво получаваме? Получаваме х1 е равно на... трябва да е със зелено. Цветното кодиране е полезно. Получавам х1 е равно на минус х2, минус 7 по х4, плюс 2 по х5, като извадихме тези от двете страни на уравнението. Получавам, че х3 е равно на... правихме това няколко пъти – 2 по х4 минус 2 по х5. Ако искам да запиша множеството с решения във векторен формат, мога да запиша множеството от решения или нулевото пространство... или всички възможни променливи х. [x1; x2; x3; x4; x5]. Това е моят вектор х, това е в R5. Той е равен на линейната комбинация на тези. Ще го запиша. Свободните променливи са х2 по някакъв вектор, плюс х... не е х3, то не е свободна променлива. Плюс х4, това е следващата ми свободна променлива, по някакво число. Плюс х5 по някакъв вектор. Свърши ми мястото. Плюс х5 по някакъв вектор. Кои са тези вектори? Да видим. Не искам да става много разхвърляно, така че ще опитам да преместя това. Не, не искам да направя това. Просто ще преработя това. Още не съм свикнал да работя с тази инструмент за писане, затова ще препиша това. Значи х3 е равно на 2 по х4 минус 2 по х5. Ще изтрия това, така че да се отвори място. Изтривам това. Добре, смятам, че това е достатъчно добре. Да се върна към това, което правех преди малко. х5 по някакъв вектор ето тук. Какви са тези вектори? Само трябва да погледнем тези формули. х1 е равно на –1 по х2. Значи –1 по х2. Минус 7 по х4. Плюс 2 по х5. Добре. На колко е равно х3? х3 е равно на 2 по х4. 2 по х4, нали? Тук няма нищо общо за х2, така че е равно на 2 по х4 минус 2 по х5. После имаме 0 по х2, нали? Защото тук няма член, съдържащ х2. И на колко е равно х2? х2 е равно просто на 1 по х2. Всички тези членове са равни на 0. Искам да обърнеш внимание на това. Ще го запиша ето тук. х2 е свободна променлива, така че просто е равна на себе си, нали? 1 и пишеш 0 и 0. х4 е свободна променлива. Това е важен момент в тази задача. Така че просто е равно на 1 по себе си. Няма нужда да включваш никоя друга свободна променлива. х5 е свободна променлива. Тя е равна просто на 1 по себе си и никоя от другите свободни променливи. И сега казваме, че всички решения на нашето уравнение В по х е равно на нула, или ешелонната форма на матрицата В по вектор х е равно на 0, ще приеме този вид. Това са линейни комбинации на тези вектори. Нека ги означим като v1, v2, v3. Това са произволни реални числа. Можеш да избереш произволна комбинация, за да получиш това множество от решения или да създадеш нашето нулево пространство. Значи нулевото пространство на матрицата В, което, разбира се, е равно на ешелонната форма на матрицата В, е равно на всички възможни линейни комбинации на тези 3 вектора, е равно на линейната обвивка на векторите v1, v2 и v3. Ето така. Цялата причина да направя всичко това беше... защото това вече сме го правили много пъти – целта беше да видим дали тези вектори образуват линейно независимо множество. Въпросът ми е дали тези вектори са линейно независими. Това ме интересува, защото ако те са линейно независими, тогава те ще образуват базис на нулевото пространство, нали? Тогава ще знаем, че линейната им обвивка е нулевото пространство, но ако те са линейно независими, тогава има две условия за базис. Трябва линейната обвивка да е подпространство, и трябва да са линейно независими. Да изследваме тези два вектора ето тук. Този е v1, той тук има единица. Той има 1 във втория член, защото това съответства на свободната променлива х2, която е вторият елемент, така че тук слагаме 1. Навсякъде другаде имаме 0 във всички други вектори в нашето множество на линейната обвивка. Това е така, защото за другите свободни променливи ние винаги искаме да умножим по 0, нали? Това е така за всяка задача за нулево пространство, която решаваме. За всяка свободна променлива, ако тази свободна променлива представя втория елемент, ние ще имаме 1 на второ място ето тук. И след това ще имаме 0 на второ място за всеки друг вектор, свързан с другите свободни променливи. Дали този вектор може да се представи като линейна комбинация на този вектор и на този вектор? Няма число, по което да умножа 0, и да го събера с нещо, което съм умножил по 0, и да получа 1. Винаги ще е само 0. Така че този вектор не може да се представи като линейна комбинация от тези вектори. По същия начин, този вектор ето тук има 1 на четвъртото място. Защо е на четвъртото място? Защото четвъртото място съответства на свободната му променлива х4. Затова този вектор тук има 1. Тези другите имат определено винаги 0 ето тук. Няма линейна комбинация от тях, така че да получиш този вектор. Така че този вектор не може да бъде представен като линейна комбинация на тези вектори. И накрая, това х5 ето тук, има 1 ето тук. А тези имат нули. Няма линейна комбинация от тези нули, която да дава 1. Всички тези вектори са линейно независими. Не можеш да конструираш тези вектори чрез някаква комбинация от другите. Така че те са линейно независими. Значи множеството v1, v2, v3 всъщност е базис за нулевото пространство на... но тук трябва да съм много внимателен. На нулевото пространство на матрицата В. Просто за разнообразие, дефинирах първоначалната матрица като В, така че трябва да внимавам много. Така че нулевото пространство на В е равно на нулевото пространство на ешелонната форма на В. Хубаво е да променяме нещата от време на време, защото иначе ще започнеш да мислиш, че всяка матрица се казва А, ако не го правиш. И това е равно на линейната обвивка на тези вектори. Значи тези вектори, и ние просто казахме, че те са линейно независими. Току-що показахме, че понеже няма начин да получим този вектор от тези вектори, този вектор от тези вектори, или този вектор от тези. Тези вектори образуват базис на нулевото пространство на матрицата В. Това повдига интересен въпрос. В последното видео дефинирах какво е размерност. Може да си го прескочил/а, защото в него има доста доказателства. Но размерност, измеренията на едно подпространство... Ще го предефинирам тук – това е броят на елементите на базиса на подпространството. В последното видео с много труд показах, че всички базиси на дадено подпространство имат еднакъв брой елементи. Това е хубаво дефинирано. Въпросът ми сега е: каква е размерността на нулевото пространство на матрицата В? Каква е размерността на нулевото пространство на матрицата В? Размерността е просто броят на векторите в базиса на матрицата В. Това тук е базисното множество на матрицата В. Колко вектори съдържа то? Имаме 1, 2, 3 вектора. Значи размерността на нулевото пространство на матрицата В е 3. Друг начин да си го представим е... или друго име за размерността на нулевото пространство на матрицата В е дефект, дефект на матрицата В. Който също така е равен на 3. Да помислим над това, заради него направихме всичко дотук. На какво ще е равен дефектът на произволна матрица? Това е размерността на нулевото пространство. За да определим размерността на нулевото пространство – тук винаги ще имаме толкова коефициенти, колкото са свободните променливи. Така че, принципно, дефектът на произволна матрица, да кажем на матрицата А, е равен на броя, предполагам че можем да ги наречем стълбовете на свободните променливи или на броя на свободните променливи, може да се каже и така, в ешелонната форма на матрицата, или броя на неводещите стълбове. Броят на неводещите стълбове в ешелонната форма на матрицата А. Защото принципно това е броят на свободните променливи – всички свободни променливи имат съответстващ, линейно независим вектор, съответен на тях, нали? Значи броят на свободните променливи е броят на векторите, които ще формират базиса на нулевото пространство. Броят на свободните променливи е принципно броят на неводещите стълбове в ешелонната форма, нали? Това е неводещ стълб, това е неводещ стълб, това е неводещ стълб. И те са свързани с три променливи, х2, х4 и х5. Така че дефектът на матрицата принципно е броят на неводещите стълбове в ешелонната форма на матрицата. Надявам се, че това ще ти бъде полезно.