Доказателство: Всички базиси на едно подпространство имат еднакъв брой елементи

Нека да имаме множеството А от векторите а1, а2 до аn. Знаем, че това е базис на някакво подпространство V. В това видео искам да докажа, че ако това множество съдържа n елемента, тогава всяко множество, чиято линейна обвивка е V, съдържа поне n на брой елементи или n на брой членове, или се състои от n елемента. Това са все различни начини да кажем, че имаме n вектора в множеството. Твърдя, че всяко множество, чиято линейна обвивка е V, съдържа поне n елемента, ако някакво базисно множество съдържа n елемента от V. Да видим дали можем някак да го направим с някакво множество, което има по-малко от n елемента, и да видим дали ще стигнем до противоречия. Да кажем, че имам някакво множество В, което съдържа векторите b1, b2 до bm. Като m < n, така че това множество съдържа по-малко елементи от множеството А. И един ден идваш при мен и казваш: "Виж, намерих това множество от вектори." И не само, че има по-малко елементи от множеството А, но линейната му обвивка е V. Аз те поглеждам много подозрително, защото винаги съм мислел, че това твърдение в зелено е вярно. И решаваме да направим един мисловен експеримент. Аз казвам: "Добре, ти твърдиш, че твоето множество има линейна обвивка V, затова хайде да направим нещо. Ще дефинирам ново множество. Ще нарека новото множество В1', и ще разбереш защо го означавам по този странен начин. То е равно на множеството В плюс вектор а1. Значи имаме вектор а1 и после всички елементи на множеството В. Това са b1, b2 до bm. Сега мисля, че ще се съгласиш с мен, че това множество е линейно зависимо. Откъде знам това? Линейно зависимост означава, че поне един от елементите на множеството може да се представи като линейна комбинация на другите елементи. Знаем, че а1 е един от векторите на базиса на V от определението за базис. Всички вектори на базиса принадлежат на множеството V. Очевидно можеш да представиш... Ако това множество е базис на V, това означава, че това множество има линейна обвивка V, или че всеки член на множеството V може да бъде представен като линейна комбинация от тези вектори. Казано по друг начин, всяка линейна комбинация на тези вектори е в множеството V. Една от линейните комбинации на тези вектори е просто като поставим коефициента на а1 да е равен на 1, а коефициентите на всички други вектори да са 0. Очевидно е, че вектор а1 също принадлежи на множеството. Ако а1 е във V, и всички тези вектори са линейната обвивка на V, по определение, ако тези вектори са линейната обвивка на V, някаква линейна комбинация от тези вектори може да се използва, за да се получи всеки член на множеството V. Значи можеш да вземеш някаква линейна комбинация на тези вектори, за да получиш вектор а1. Можем да кажем, че а1 е равен на d1, като d са константи, d1 по b1 плюс d2 по b2, и така нататък до dm по bm, като поне един от тези коефициенти трябва да е различен от 0. Знаем, че вектор а е ненулев вектор. Ако това беше нулев вектор, това нямаше да е базис, защото нямаше да е линейно независим, понеже винаги можем да представим нулевия вектор като 0 по всеки друг вектор. Значи това не е нулев вектор. Поне един от тези вектори не е нулев вектор. Да кажем просто, само заради доказателството, че dj... коефициентът на bj не е нула. Така че dj не е равно на 0. И всъщност можем да намерим този член. Ето някъде тук имаме членът dj по bj, плюс куп други неща. Можем да намерим този член, ако го извадим от двете страни на уравнението, и после разделим двете страни на –dj, да сложим това –а1 от другата страна, и какво получаваме? Знам, че това са много операции, но това е обикновена алгебра. Смятам, че виждаш, че можем да преработим това тук. Можем да намерим bj. Това ще е равно на –1 върху неговия коефициент. Ако извадим а1 от двете страни и после добавим всички тези вектори, плюс d1 по b1, плюс всичко до... тук ще имаме известен пропуск, ще го означа ето така. Това е много необичайно записване на мястото, където се намира този вектор. И така чак до dm по bm. Правя всичко това, за да ти покажа, че по определение можеш да представиш вектор а1 като линейна комбинация от тези вектори. Но можем да разместим нещата. Можем да преработим така, че да представим един от другите вектори като линейна комбинация от останалите вектори и вектор а1. Този член сега е излишен. Този вектор вече не ми е нужен за линейната обвивка на V. Очевидно това множество все още е линейната обвивка на V. Добавих още един вектор. Но мога да махна този вектор ето тук от множеството В1' и то отново да бъде линейната обвивка на V. Откъде знам това? Защото мога да го постигна. Като го отстраня, аз не губя нищо. Защото, ако този вектор ми беше нужен, за да създам някакъв друг вектор, мога да го конструирам като линейна комбинация от останалите вектори b плюс а1. Така че да се отървем от него и да наречен това множество V1. Всъщност, от гледна точка на означенията, ще му сменя името. Това е малко необичайно. Няма да го видиш по този начин в нито един учебник. Но мисля, че е малко по-лесно, вместо да трябва да продължаваме да говорим за тези малки приятели, които са вътре някъде по средата на редицата. Имам предвид, че тези имена, b1, b2, bn – това са произволни имена. Затова ще сменя имената. Ще кажа, че bj е равно на b1, а това b1 е същото като bj. Просто им разменям имената. Взех този вектор и го прекръстих на b1. И прекръстих b1 на bj, за да мога да ги разменя. Значи аз ще премахна b1 от вектора, за да си улесня начина на записване. И можеш да кажеш, че премахвам това bj от средата, но тогава става много объркано. Затова ще нарека новото множество след премахването на bj, което прекръстих на В1, ще нарека това "право" множество В1. Значи моето "право" множество В1 е равно на а1, и сега си спомни, че аз премахнах bj и го прекръстих като b1, и тогава преименувах b1 като bj. Сега множеството изглежда ето така: ще използвам друг цвят. b2... и доколкото знаем, bj трябва да е било b1, не знаем. Вероятно много от тези са ненулеви, така че можем да изберем всяко от тези да бъде нашето bj. Но както и да е, ние взехме нашето bj и го преименувахме на b1, и отстранихме b1. Сега нашето множество изглежда ето така: b3 до bm. Това множество отново е линейната обвивка на V. Знаем това, защото този вектор, който извадихме, може да се представи като линейна комбинация от тези другите вектори. Така че не сме изгубили способността да конструираме всички вектори в V. Сега искам да създам друго множество. Ще използвам нов цвят. Да кажем, че имам множеството В2' (прим). И сега аз ще взема друг елемент от нашия базис на V. Ще взема втори елемент, ще взема а2. ще взема а2 и ще го сложа в това множество. Сега имаме множеството В2', което е равно на... ще добавя а2 към това множество. Значи имаме а1, а2 и после всички останали вектори, b2, b3 чак до bm. Разбира се, това все още е линейна обвивка на V, просто добавих нещо. Но това определено е линейно зависимо. Спомни си, че в началото не казах дали това множество е линейно зависимо, или не е. Може да е, може да не е. Но когато добавим този друг вектор, който е част от V, със сигурност знаеш, че той е линейно зависим, защото защото тези вектори могат да дадат този вектор. По същия начин знаем, че това множество В1 е линейна обвивка на V. Така че, когато добавим този нов елемент тук, знаем, че той може да бъде представен като линейна комбинация на други вектори. Знаем, че това тук е линейно зависимо. Можем да кажем, че а2 е равно на някакъв коефициент с1 по а1, плюс с2 по b2, c3 по b3, и така до cm по bm. Сега аз твърдя, че поне един от тези коефициенти не е нула. Поне един от коефициентите сi не е равен на 0. И ще разширя твърдението си с това, че има поне един коефициент от тях, който е извън това множество. Поне един от коефицентите на членовете b трябва да е различен от нула. Начинът, по който можеш да разсъждаваш, е: какво ще стане, ако всички тези коефициенти са нула? Ако всички тези коефициенти са нули, това означава, че а2 е линейна комбинация на а1. Всички тези ще се унищожат взаимно, и ще получим, че а2 е равно на някакво число, различно от нула, по а1. Знаем, че това не е вярно, защото тези два вектора принадлежат на едно и също линейно независимо множество. Те и двата принадлежат на този базис на линейната обвивка. Фактът, че те са базис... понятието базис на линейната обвивка, не трябва да го наричам така, защото това е излишно. Базисът е множеството на линейната обвивка, което е линейно независимо. Ако те са линейно независими, тогава знаем, че вектор а2 не може да бъде представен като линейна комбинация от останалите вектори. Следователно един от коефициентите на членовете В трябва да е различен от нула. И просто да кажем, че ще имаш cj по bj, това е различно от това, което имахме преди. И знаем, че този коефициент, поне един от тях трябва да не е нула, защото ако всички тези коефициенти са различни от нула, тогава трябва да кажем, че този вектор и този вектор са линейно зависими, защото те са мащабирани версии един на друг. Ще направим същото упражнение. Този вектор ето тук, cj по bj, очевидно е, че този коефициент е различен от нула и можем да намерим bj. Отново можем да кажем, че bj е равно на –1 върху сj, по минус а2 плюс с1 по а1, и така до cm по bm. Значи имаме някакъв вектор bj, който можем да представим като линейна комбинация на останалите вектори, включително а2. И точно както направихме преди, да го премахнем. Да го извадим от множеството. Но преди да го извадим от множеството, ще го преименувам. Само за да ни е по-лесно записването, ще преименувам нашето bj на b2, и нашето b2 на bj. Просто им разменям имената. Ще извадя b2. Ще извадя това, което сега наричаме b2. Този вектор беше нещо, което можеше да се представи като линейна комбинация от всичко останало, включително нашето ново а2. Когато премахна един от тези членове ето тук, ще преименувам множеството на В2. Сега то е равно на а1, а2, и остатъците от моите b-та. Значи имам b3, b4 и така до bm. Обърни внимание, че тук все още имам точно m елемента, и това пак е линейната обвивка на V. То е линейна обвивка на V, защото елементите, които извадих, могат да се представят като линейна комбинация от останалите елементи. Така че, ако поискам да конструирам някакъв вектор, мога да го получа като линейна комбинация от тези вектори. Но това не е нужно. То пак е линейна обвивка на V. Значи този процес мога да продължа да го повтарям. Мога да добавя а3. Мога да дефинирам В3'. Просто ще добавя а3 към това множество тук, а2 а3. После ще имам b3, b4 и така чак до bm. И ще кажа, че това е линейно зависимо множество, защото е линейната обвивка на V. Всички вектори без този са линейната обвивка на V. Очевидно мога да конструирам този вектор като линейна комбинация от останалите вектори. Можеш да кажеш, че а3 е равно на сумата от с1 по а1 + с2 по а2 + с3 по b3 и така чак до cm по bm. Знаем, че поне един от коефициентите на членовете b трябва да не е нула, защото, ако всички тези бяха 0, тогава щяхме да кажем, че а3 може да е линейна комбинация от членовете а. Но ние знаем, че а3 не може да бъде представен като линейна комбинация от членовете а, защото всички тези членове принадлежат на линейно независимо множество. Така че правим същата операция, ще намерим... нека cj да е различно от нула. Тогава можем да намерим това bj. После отново правя това преименуване, където преименувам bj като b3, а b3 наричам bj и премахвам b3. И получавам, че множеството В3 е равно на а1, а2, а3. И после имаме b4 до bm. И това все още е линейната обвивка на V. И мога да продължа. Какво ще се случи евентуално? Какво ще се случи, ако продължа да правя това отново и отново? В един момент евентуално ще подменя всички bm. Или ще подменя всички n членове, така че евентуално ще получа множество, което изглежда ето така. Ще имам множество, което изглежда като Вm, където съм заменил всички тези елементи със съответните елементи а. Значи ще имам а1, а2, а3 и така до am. Винаги можеш да направиш това по определение, ако започнеш с началното множество В, което е множество на линейната обвивка. И след като направиш това, ще получиш същия резултат, че това също е линейна обвивка на V. Ще запиша това. Това е резултатът, който получихме, като започнахме с множеството на линейната обвивка В, което има m елемента, и казахме, че m е по-малко от n. Така че винаги сме имали достатъчно елементи а, за да направим това, защото защото имаме повече елементи а, отколкото елементи b от самото начало. И получихме резултат, че това е линейната обвивка на V. Но ние вече казахме, че множеството А, което е равно на а1, а2, и така до am, а после аm + 1, не знам още колко членове има между m и n, но после стигаме до an. Спомни си, че казах, че n е по-голямо от m. Или когато дефинирахме В, казахме, че m е по-малко от n. Същото нещо, това е по-малкото множество. Сега казваме, че това е линейната обвивка на V, но в същото време това беше и базис. Това беше началното ни условие, че това е базис на V. Базис означава две неща: че е линейна обвивка на V и че е линейно независимо. Ние току-що получихме този резултат, като допуснахме, че имаме някакво множество В, което е по-малко от това множество тук, което е линейната обвивка на V. Ние конструирахме това, като казахме, че а1 до am също е линейна обвивка на V. Резултатът, който получихме, е, че това също е линейна обвивка на V. Но ако това подмножество на А е линейна обвивка на V, тогава множеството А става линейно независимо. Защото, ако това подмножество е линейна обвивка на V, това означава, че аn може да се представи като линейна комбинация от тези вектори. Това предполага, че имаме линейна зависимост, което е в противоречие с началното ни твърдение, че множеството А е базис на V, защото това означава, че то е линейно независимо. Ако можеш да направиш това, тогава то означава, че тук има някакво по-малко множество на линейната обвивка, което води до резултата, че А трябва да е линейно зависимо, дори когато сме казали, че то е линейно независимо. Така че сега знаем, че достигнахме до противоречие, казваме, че не може да има... множество на линейната обвивка В, което има по-малко елементи от А. И това е много хубав резултат, защото сега, ако дойда при теб и ти кажа, че съм намерил някакво множество Х, което е линейна обвивка на подпространството V отново. После, ако знаеш, че Х има пет елемента, ще знаеш, че никое множество, което има линейна обвивка подпространството V, не може да има по-малко от пет елемента. Даже нещо повече, ако ти кажа, че Х е базис на подпространството V, и ти кажа, че то има пет елемента, и че Y е друг базис на V... писането ми се влошава... Y също е базис на V, тогава ще знаеш, че Y също така ще има точно пет елемента. Откъде следва това? Ако Y е базис, тогава това означава, че той е линейна обвивка на V. И ние знаем, че той никога не може да има по-малко от пет елемента. Току-що го доказахме. Знаем, че Y трябва да съдържа повече или точно пет елемента. Но от друга страна знаем, че ако Y e базис на V, и Х е базис, то Х също е линейна обвивка на V. Следователно знаем, че Х трябва да има по-малко елементи от Y. Така че знаем, че Y трябва да е по-голямо или равно на... броят на елементите на Y трябва да е по-голям от броя на елементите на Х, защото всяко множество на линейната обвивка трябва да има повече елементи, или поне толкова елементи, колкото са елементите на базисното множество, елементите на Х. И после, понеже Х е множество на линейната обвивка, елементите на Х трябва да са повече или равни на елементите на Y, защото Y е базис, елементите на Y... Но ако елементите на това множество са по-малко от елементите на това, но също така са повече или равни на, ние знаем, че броят на елементите, които има Х – елементите на Х или т.нар. кардиналност, това е броят на елементите в множеството, който е равен на броя на елементите на множеството Y. И сега, когато вече знаем, че всеки базис на векторно пространство... Само ще се върна към нашето множество А. То е равно на а1, а2, до аn. Сега можем да кажем, че всички базиси на някакво подпространство V имат еднакъв брой елементи. И така можем да дефинираме нов термин, така наречената размерност на V. Понякога се записва като размерност на V, която е равна на броя на елементите на множеството и понякога се нарича кардиналност, на произволен базис на V. Положих много труд в това видео, за да ти покажа, че всички базиси на V имат един и същ брой елементи, така че това е добре дефинирано. Не може да има базис с пет елемента и друг базис с шест елемента. По определение и двата базиса трябва да имат пет елемента, или и двата трябва да имат шест елемента. И така можем да дефинираме размерността.