If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 14: Поток в три измерения (статии)
Математика
Анализ на функции на много променливи
Интегриране на функции на много променливи
Поток в три измерения (статии)
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Поток в пример с три измерения

Класна стая на Google
След като научихме какво представлява потокът в три измерения, сега имаме възможността да се упражним с този пример.

Преговор

Поток в три измерения
Единичен нормален вектор
Повърхностен интеграл

Стъпките

В предходната статия разгледахме потока на флуид, протичащ през някаква повърхнина, като мярка на количеството флуид, което преминава през повърхнината за единица време. Ако този флуиден поток се представи чрез векторно поле start color #0c7f99, F, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis, end color #0c7f99, и ако start color #bc2612, S, end color #bc2612 представлява самата повърхнина, потокът се изчислява със следния повърхностен интеграл:
∬SF⋅n^ dΣ\begin{aligned} \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\, \redE{d\Sigma} \end{aligned}
Векторната функция start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis, end color #0d923f ни дава единичния нормален вектор към повърхнината start color #bc2612, S, end color #bc2612. За затворени повърхнини обикновено избираме единичния нормален вектор с посока навън..
На практика решаването на този интеграл е доста трудоемко.
  • Стъпка 1: Представяме интеграла чрез параметризацията на start color #bc2612, S, end color #bc2612, както за всеки повърхностен интеграл.
  • Стъпка 2: Заместваме с израза за единичиния нормален вектор start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis, end color #0d923f. Най-добре е това да заместване да стане преди изчисляването на единичния нормален вектор, тъй като някои членове могат да се съкратят с членовете на повърхностния интеграл.
  • Стъпка 3: Опростяваме членовете вътре в интеграла.
  • Step 4: Изчисляваме двойния интеграл.

Задачата

Дадена е графиката на параболоид, дефиниран със следното уравнение:
z, equals, 4, minus, x, squared, minus, y, squared
start color #bc2612, S, end color #bc2612 е частта от параболоида, която лежи над равнината x, y:
Еха, това прилича много повече на ядрена бойна глава, отколкото очаквах! Но поне става ясно коя е повърхнината, която разглеждаме.
За интегралите на потока трябва да определим ориентацията на повърхнината. Ще я ориентираме чрез нормални вектори, които сочат навън, което означава, че векторите start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top и start bold text, k, end bold text, with, hat, on top сочат навън от областта на параболоида.
Сега си представи, че флуидът тече през тримерно пространство. Да кажем, че тече по протежение на векторно поле, дефинирано от следващата функция:
F(x;y;z)=[xyxzyz]\begin{aligned} \blueE{\textbf{F}}(x; y; z) = \left[ \begin{array}{c} xy \\ xz \\ yz \end{array} \right] \end{aligned}
Ключов въпрос: Какъв е потокът на този флуид, който преминава през повърхнината start color #bc2612, S, end color #bc2612?

Стъпка 1: Преработване на интеграла на потока с помощта на параметризация

В момента повърхнината start color #bc2612, S, end color #bc2612 е дефинирана като графика, която има ограничение за z.
Графика: z, equals, 4, minus, x, squared, minus, y, squared
Ограничение: z, is greater than or equal to, 0
За изчисляване на повърхностните интеграли трябва да опишем повърхнината параметрично. За щастие това не е особено трудно. По същество единият параметър изпълнява ролята на x, докато другият параметър изпълнява ролята на y:
v(t;s)=[ts4−t2−s2]\begin{aligned} \textbf{v}(t; s) = \left[ \begin{array}{c} t \\ s \\ 4-t^2-s^2 \end{array} \right] \end{aligned}
След като запишем тази функция, трябва да определим областта в равнината t, s, която съответства на нашата повърхнина start color #bc2612, S, end color #bc2612. Това означава, че превръщаме ограничението за променливата z, is greater than or equal to, 0 в ограничение за t и s.
Проверка на концепцията: Какво е ограничението на t и на s, което ни гарантира, че компонентът z на вектор start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, ;, s, right parenthesis е по-голям или равен на 0? Представи отговора си като неравенство.

Понеже тази област е диск с радиус 2, ще я означим като D, start subscript, 2, end subscript.
По-късно ще развием това като пълен набор от граници за t и s, но докато още работим вътре в интеграла е достатъчно да е записано със символи.
Представяме нашия повърхностен интеграл като двоен интеграл в параметричното пространство и получаваме:
∬SF⋅n^ dΣ=∬D2⏟двоен интеграл вплоско параметрично пространство ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣F(v(t;s))⋅n^(v(t;s))  ∣∂v∂t×∂v∂s∣ dA⏟dΣ\begin{aligned} &\quad \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,\redE{d\Sigma} \\\\ &= \underbrace{ \iint_{D_2} }_{\substack{ \text{двоен интеграл в}\\ \text{плоско параметрично пространство} }} \!\!\!\!\!\!\! \blueE{\textbf{F}}(\textbf{v}(t; s)) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}(\textbf{v}(t; s)) \; \underbrace{ \left| \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right| \,dA }_{\redE{d\Sigma}} \end{aligned}
Ако това преминаване към двоен интеграл в параметрично пространство ти се струва непознато, направи преговор на статията за повърхностни интеграли или на статията за лице на повърхнина.

Стъпка 2: Заместваме с израза за единичния нормален вектор

В предишната статия разгледахме как можем да намерим функция, която ни дава единичния нормален вектор към повърхнината въз основа на параметризацията ѝstart bold text, v, end bold text, left parenthesis, t, ;, s, right parenthesis. По същество нормализираме векторното произведение на частните производни на start bold text, v, end bold text, left parenthesis, t, ;, s, right parenthesis (боже, толкова много думи):
∂v∂t×∂v∂s∣∂v∂t×∂v∂s∣\begin{aligned} \dfrac{ \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} }{ \left| \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right| } \end{aligned}
Ако си от хората, които обичат да изчисляват дължината на векторно произведение на частни производни, изчакай само момент. Когато заместим това в интеграла за потока, тези дължини се унищожават:
∬D2F(v(t;s))⋅n^(v(t;s))∣∂v∂t×∂v∂s∣ dA=∬D2F(v(t;s))⋅(∂v∂t×∂v∂s∣∂v∂t×∂v∂s∣)∣∂v∂t×∂v∂s∣ dA=∬D2F(v(t;s))⋅(∂v∂t×∂v∂s∣∂v∂t×∂v∂s∣)∣∂v∂t×∂v∂s∣ dA=∬D2F(v(t;s))⋅(∂v∂t×∂v∂s) dA\begin{aligned} &\quad \iint_{D_2} \blueE{\textbf{F}}(\textbf{v}(t; s)) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}(\textbf{v}(t; s)) \left| \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right| \,dA \\\\ &= \iint_{D_2} \blueE{\textbf{F}}(\textbf{v}(t; s)) \cdot \greenE{\left( \dfrac{ \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} }{ \left| \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right| } \right)} \left| \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right| \,dA \\\\ &= \iint_{D_2} \blueE{\textbf{F}}(\textbf{v}(t; s)) \cdot \greenE{\left( \dfrac{ \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} }{\cancel{ \left| \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right| }} \right)} \cancel{ \left| \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right| } \,dA \\\\ &= \iint_{D_2} \blueE{\textbf{F}}(\textbf{v}(t; s)) \cdot \left( \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right) \,dA \\\\ \end{aligned}

Стъпка 3: Развиваме подинтегралната функция

Сега да се заемем с члена с векторното произведение:
start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, t, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, s, end fraction
За справка, ето как дефинирахме start bold text, v, end bold text, left parenthesis, t, ;, s, right parenthesis:
v(t;s)=[ts4−t2−s2]\begin{aligned} \textbf{v}(t; s) = \left[ \begin{array}{c} t \\ s \\ 4-t^2-s^2 \end{array} \right] \end{aligned}
Първо изчисляваме частните производни, а после намираме тяхното векторно произведение.
start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, t, end fraction, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, s, end fraction, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, t, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, s, end fraction, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Проверка на концепцията: Дали изразът за start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, t, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, divided by, \partial, s, end fraction, който току-що намерихме, дава нормален вектор, който сочи навън, или такъв, който сочи навътре?
Избери един отговор:

След това изразяваме члена start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, left parenthesis, t, ;, s, right parenthesis, right parenthesis чрез t и s. За сравнение ето как са дефинирани start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 и start bold text, v, end bold text, with, vector, on top:
F(x;y;z)=[xyxzyz]v(t;s)=[ts4−t2−s2]\begin{aligned} \blueE{\textbf{F}}(x; y; z) = \left[ \begin{array}{c} xy \\ xz \\ yz \end{array} \right] & & \textbf{v}(t; s) = \left[ \begin{array}{c} t \\ s \\ 4-t^2-s^2 \end{array} \right] \end{aligned}
start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, left parenthesis, t, ;, s, right parenthesis, right parenthesis, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Супер! Сега имаме всички части на подинтегралната функция!
∬D2F(v(t;s))⋅(∂v∂t×∂v∂s) dA\begin{aligned} \iint_{D_2} \blueE{\textbf{F}}(\textbf{v}(t; s)) \cdot \left( \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial t} \times \dfrac{\partial \textbf{v}}{\partial s} \right) \,dA \\\\ \end{aligned}
След като намерим скаларното произведение на предишните два получени отговора, записваме израза под интеграла чрез параметрите t и s. Това ще ни помогне за изчисляването на интеграла в следващия раздел, ако опростим максимално отговора.
\iint, start subscript, D, start subscript, 2, end subscript, end subscript
d, A

Стъпка 4: Изчисляване на интеграла

До този момент записвахме малко D, start subscript, 2, end subscript под двойния интеграл, за да покажем, че областта в равнината t, s ще бъде интегрирана върху диск с радиус 2. Сега, когато стигнахме до изчисляването на самия интеграл, трябва да представим това като конкретни граници за параметрите t и s.
За да направим това, да си представим D, start subscript, 2, end subscript и как го разрязваме на вертикални ивици:
Стойността t се мени от minus, 2 до 2. Интервалът s зависи от стойността на t, което можем да намерим с помощта на питагоровата теорема.
От чертежа виждаме, че s приема стойности от minus, square root of, 4, minus, t, squared, end square root до plus, square root of, 4, minus, t, squared, end square root. Ето какво получаваме, когато приложим тези граници към двойния интеграл:
∫02∫−4−t2+4−t2s(2t2+(2t+1)(4−t2−s2)) ds dt\begin{aligned} \int_0^2 \int_{-\sqrt{4-t^2}}^{+\sqrt{4-t^2}} s\Big(2t^2+(2t+1)(4-t^2-s^2)\Big) \,ds \,dt \end{aligned}
От тук има няколко начина, по които можем да довършим задачата:
  1. Трудният начин: изчисляваме този двоен интеграл изцяло на ръка (майко мила!).
  2. Практичният начин: използваме калкулатор или компютърна програма като например тази на сайта Wolfram Alpha.
  3. Умният начин: Можем да забележим, че подинтегралната функция е нечетна функция спрямо s. Разкриваме скобите и умножаваме по s, след което виждаме, че всеки член съдържа или s, или s, cubed. Това означава, че вътрешният интеграл в частта от minus, square root of, 4, minus, t, squared, end square root до 0 ще се унищожи с частта от 0 до square root of, 4, minus, t, squared, end square root. Следователно целият интеграл е 0.

Обобщение

Интегралът за потока в началото изглеждаше по следния начин:
∬SF⋅n^ dΣ\begin{aligned} \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\, \redE{d\Sigma} \end{aligned}
Решаването му включва следните четири стъпки:
  • Стъпка 1: Параметризираме повърхнината и преобразуваме повърхностния интеграл в двоен интеграл върху параметричното пространство.
  • Стъпка 2: Използваме формулата за намиране на единичен нормален вектор.
  • Стъпка 3: Опростяваме подинетгралната функция, което включва намирането на две векторни частни производни и на тяхното векторно произведение и скаларно произведение.
  • Стъпка 4: Изчисляваме двойния интеграл (на практика оттук нататък можем да оставим работата да я свърши компютър).

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.