Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 14: Поток в три измерения (статии)

Поток в пример с три измерения

След като научихме какво представлява потокът в три измерения, сега имаме възможността да се упражним с този пример.

Преговор

Поток в три измерения
Единичен нормален вектор
Повърхностен интеграл

Стъпките

В предходната статия разгледахме потока на флуид, протичащ през някаква повърхнина, като мярка на количеството флуид, което преминава през повърхнината за единица време. Ако този флуиден поток се представи чрез векторно поле

F (x; y; z)

, и ако

S

представлява самата повърхнина, потокът се изчислява със следния повърхностен интеграл:

$\begin{array}{r} \iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ \end{array}$ ‍

Векторната функция

\hat{n} (x; y; z)

ни дава единичния нормален вектор към повърхнината

S

. За затворени повърхнини обикновено избираме единичния нормален вектор с посока навън..

На практика решаването на този интеграл е доста трудоемко.

Стъпка 1: Представяме интеграла чрез параметризацията на $S$ ‍, както за всеки повърхностен интеграл.
Стъпка 2: Заместваме с израза за единичиния нормален вектор $\hat{n} (x; y; z)$ ‍. Най-добре е това да заместване да стане преди изчисляването на единичния нормален вектор, тъй като някои членове могат да се съкратят с членовете на повърхностния интеграл.
Стъпка 3: Опростяваме членовете вътре в интеграла.
Step 4: Изчисляваме двойния интеграл.

Задачата

Дадена е графиката на параболоид, дефиниран със следното уравнение:

$z = 4 - x^{2} - y^{2}$ ‍

S

е частта от параболоида, която лежи над равнината $x y$ ‍:

Еха, това прилича много повече на ядрена бойна глава, отколкото очаквах! Но поне става ясно коя е повърхнината, която разглеждаме.

За интегралите на потока трябва да определим ориентацията на повърхнината. Ще я ориентираме чрез нормални вектори, които сочат навън, което означава, че векторите

\hat{i}

\hat{j}

\hat{k}

сочат навън от областта на параболоида.

Сега си представи, че флуидът тече през тримерно пространство. Да кажем, че тече по протежение на векторно поле, дефинирано от следващата функция:

$\begin{array}{r} F (x; y; z) = [\begin{array}{c} x y \\ x z \\ y z \end{array}] \end{array}$ ‍

Ключов въпрос: Какъв е потокът на този флуид, който преминава през повърхнината $S$ ‍?

Стъпка 1: Преработване на интеграла на потока с помощта на параметризация

В момента повърхнината

S

е дефинирана като графика, която има ограничение за

z

Графика: $z = 4 - x^{2} - y^{2}$ ‍

Ограничение: $z \geq 0$ ‍

За изчисляване на повърхностните интеграли трябва да опишем повърхнината параметрично. За щастие това не е особено трудно. По същество единият параметър изпълнява ролята на

x

, докато другият параметър изпълнява ролята на

y

$\begin{array}{r} v (t; s) = [\begin{array}{c} t \\ s \\ 4 - t^{2} - s^{2} \end{array}] \end{array}$ ‍

След като запишем тази функция, трябва да определим областта в равнината

t s

, която съответства на нашата повърхнина

S

. Това означава, че превръщаме ограничението за променливата

z \geq 0

в ограничение за

t

s

Проверка на концепцията: Какво е ограничението на

t

и на

s

, което ни гарантира, че компонентът

z

на вектор

\vec{v} (t; s)

е по-голям или равен на

0

? Представи отговора си като неравенство.

Компонентът $z$ ‍ от определението приравняваме на $\geq 0$ ‍.
$4 - t^{2} - s^{2} \geq 0$ ‍
За да разберем по-добре как изглежда тази област, ще ни помогне да малко разместване.
$\begin{aligned} 4 - t^{2} - s^{2} & \geq 0 \\ 4 & \geq t^{2} + s^{2} \\ t^{2} + s^{2} & \leq 4 \end{aligned}$ ‍
При този начин на записване виждаме по-лесно, че това е диск с радиус $2$ ‍ и център ва началото на координатната система $t s$ ‍.

Понеже тази област е диск с радиус

2

, ще я означим като

D_{2}

По-късно ще развием това като пълен набор от граници за

t

s

, но докато още работим вътре в интеграла е достатъчно да е записано със символи.

Представяме нашия повърхностен интеграл като двоен интеграл в параметричното пространство и получаваме:

$\begin{aligned} \iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ \\ = \underset{\begin{array}{c} двоен интеграл в \\ плоско параметрично пространство \end{array}}{\underset{⏟}{\iint_{D_{2}}}} F (v (t; s)) \cdot \hat{n} (v (t; s)) \underset{d Σ}{\underset{⏟}{| \frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} | d A}} \end{aligned}$ ‍

Ако това преминаване към двоен интеграл в параметрично пространство ти се струва непознато, направи преговор на статията за повърхностни интеграли или на статията за лице на повърхнина.

Стъпка 2: Заместваме с израза за единичния нормален вектор

В предишната статия разгледахме как можем да намерим функция, която ни дава единичния нормален вектор към повърхнината въз основа на параметризацията ѝ

v (t; s)

. По същество нормализираме векторното произведение на частните производни на $v (t; s)$ ‍ (боже, толкова много думи):

$\begin{array}{r} \frac{\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}}{| \frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} |} \end{array}$ ‍

Ако си от хората, които обичат да изчисляват дължината на векторно произведение на частни производни, изчакай само момент. Когато заместим това в интеграла за потока, тези дължини се унищожават:

$\begin{aligned} \iint_{D_{2}} F (v (t; s)) \cdot \hat{n} (v (t; s)) | \frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} | d A \\ = \iint_{D_{2}} F (v (t; s)) \cdot (\frac{\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}}{| \frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} |}) | \frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} | d A \\ = \iint_{D_{2}} F (v (t; s)) \cdot (\frac{\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}}{| \frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} |}) | \frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} | d A \\ = \iint_{D_{2}} F (v (t; s)) \cdot (\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}) d A \end{aligned}$ ‍

Това е малко подробно, но е много удовлетворяващо, след като го разбереш.

Спомни си какво представлява интеграла на потока: делим повърхнината

S

на голям брой малки по размер парченца и определяме какво количество флуид преминава през всяко едно парченце за единица време:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Обикновено разглеждаме едно от тези малки парченца като успоредник, който се образува от двата миниатюрни вектора

(\frac{\partial v}{\partial t} d t)

(\frac{\partial v}{\partial s} d s)

Понеже това парченце е толкова малко, можем да приемем, че всички частици на флуида се движат през него с една и съща векторна скорост

F (\vec{v} (t; s))

за някаква точка

(t; s)

, която се изобразява в това парченце от повърхнината. Това означава, че обемът, който преминава през това парченце, образува паралелепипед (любима дума!), който е тримерният аналог на правоъгълника.

Да приемем, че паралелепипедът представлява флуидът, който преминава през успоредника за единица време. За да намерим този обем, умножаваме площта на успоредника по компонента на вектора $F (\vec{v} (t; s))$ ‍, който е перпендикулярен на този успоредник. Да помислим какво представлява това векторно произведение:

$(\frac{\partial v}{\partial t} d t) \times (\frac{\partial v}{\partial s} d s)$ ‍

То ни дава вектор, който е перпендикулярен на успоредника, чиято дължина е равна на площта на успоредника. Какво означава това векторно произведение:

$F (\vec{v} (t; s)) \cdot (\frac{\partial v}{\partial t} d t \times \frac{\partial v}{\partial s} d s)$ ‍

Това ни дава компонента

F (\vec{v} (t; s))

, който е перпендикулярен на успоредника, умножен по площта на този успоредник. Но ние търсим точно това!

Когато изнесем членовете

d t

d s

, чието произведение е

d A

, получаваме интеграла, който намерихме по-горе, след като съкратихме дължината на векторното произведение.

$\begin{array}{r} \iint_{D_{2}} F (v (t; s)) \cdot (\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}) d A \end{array}$ ‍

Стъпка 3: Развиваме подинтегралната функция

Сега да се заемем с члена с векторното произведение:

$\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}$ ‍

За справка, ето как дефинирахме

v (t; s)

$\begin{array}{r} v (t; s) = [\begin{array}{c} t \\ s \\ 4 - t^{2} - s^{2} \end{array}] \end{array}$ ‍

Първо изчисляваме частните производни, а после намираме тяхното векторно произведение.

$\frac{\partial v}{\partial t} =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

$\frac{\partial v}{\partial s} =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

$\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s} =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

За да намерим векторното произведение, използваме детерминанта, в която $2^{-рия}$ ‍ и $3^{-тия}$ ‍ ред са отговорите на предишните два въпроса:
$\begin{array}{r} det ([\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & - 2 t \\ 0 & 1 & - 2 s \end{array}]) \end{array}$ ‍
За $\hat{i}$ ‍-ия компонент зачеркваме горния ред и левия стълб на матрицата, след което намираме детерминантата:
$\begin{array}{r} det ([\begin{array}{cc} 0 & - 2 t \\ 1 & - 2 s \end{array}]) = (0) (- 2 s) - (- 2 t) (1) = 2 t \end{array}$ ‍
За $\hat{j}$ ‍-тия компонент зачеркваме горния ред и средния стълб, след което намираме детерминантата и поставяме отрицателен знак:
$\begin{array}{r} - det ([\begin{array}{cc} 1 & - 2 t \\ 0 & - 2 s \end{array}]) = - ((- 2 s) (1) - (- 2 t) (0)) = 2 s \end{array}$ ‍
Накрая за $\hat{k}$ ‍-тия компонент зачеркваме горния ред и последния стълб, след което намираме детерминантата:
$\begin{array}{r} det ([\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]) = 1 \end{array}$ ‍

Проверка на концепцията: Дали изразът за

\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}

, който току-що намерихме, дава нормален вектор, който сочи навън, или такъв, който сочи навътре?

Избери един отговор:
(Избор А)
С посока навън
(Избор Б)
С посока навътре

Най-добрият начин да определим това е да заместим с конкретна стойност. Най-простият случай вероятно е $(t; s) = (0; 0)$ ‍, който съответства на самия връх на нашата параболоидна повърхнина:
$\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 2 t \\ 2 s \\ 1 \end{array}] \to [\begin{array}{c} 2 (0) \\ 2 (0) \\ 1 \end{array}] \to [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] \end{array}$ ‍
Това е вектор, който сочи право нагоре, който е извън областта, оградена от параболоида. Следователно това е вектор, който сочи навън. Ако беше обратното, тогава щяхме да обърнем знака на повърхностния интеграл.

След това изразяваме члена

F (v (t; s))

чрез

t

s

. За сравнение ето как са дефинирани

F

\vec{v}

$\begin{aligned} F (x; y; z) = [\begin{array}{c} x y \\ x z \\ y z \end{array}] & v (t; s) = [\begin{array}{c} t \\ s \\ 4 - t^{2} - s^{2} \end{array}] \end{aligned}$ ‍

$F (v (t; s)) =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

Сега да запишем явно нашата векторна функция $v (t; s)$ ‍ като три отделни скаларни функции:
$\begin{aligned} x (t; s) & = t \\ y (t; s) & = s \\ z (t; s) & = 4 - t^{2} - s^{2} \end{aligned}$ ‍
Заместваме ги в определението за $F$ ‍ и получаваме следното:
$\begin{aligned} F (v (t; s)) & = F (x (t; s); y (t; s); z (t; s)) \\ = [\begin{array}{c} x (t; s) y (t; s) \\ x (t; s) z (t; s) \\ y (t; s) z (t; s) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} t s \\ t (4 - t^{2} - s^{2}) \\ s (4 - t^{2} - s^{2}) \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Супер! Сега имаме всички части на подинтегралната функция!

$\begin{array}{r} \iint_{D_{2}} F (v (t; s)) \cdot (\frac{\partial v}{\partial t} \times \frac{\partial v}{\partial s}) d A \end{array}$ ‍

След като намерим скаларното произведение на предишните два получени отговора, записваме израза под интеграла чрез параметрите

t

s

. Това ще ни помогне за изчисляването на интеграла в следващия раздел, ако опростим максимално отговора.

$\iint_{D_{2}}$ ‍
$d A$ ‍

Стъпка 4: Изчисляване на интеграла

До този момент записвахме малко

D_{2}

под двойния интеграл, за да покажем, че областта в равнината

t s

ще бъде интегрирана върху диск с радиус

2

. Сега, когато стигнахме до изчисляването на самия интеграл, трябва да представим това като конкретни граници за параметрите

t

s

За да направим това, да си представим

D_{2}

и как го разрязваме на вертикални ивици:

Стойността

t

се мени от

- 2

до

2

. Интервалът

s

зависи от стойността на

t

, което можем да намерим с помощта на питагоровата теорема.

От чертежа виждаме, че

s

приема стойности от

- \sqrt{4 - t^{2}}

до

+ \sqrt{4 - t^{2}}

. Ето какво получаваме, когато приложим тези граници към двойния интеграл:

$\begin{array}{r} \int_{0}^{2} \int_{- \sqrt{4 - t^{2}}}^{+ \sqrt{4 - t^{2}}} s (2 t^{2} + (2 t + 1) (4 - t^{2} - s^{2})) d s d t \end{array}$ ‍

От тук има няколко начина, по които можем да довършим задачата:

Трудният начин: изчисляваме този двоен интеграл изцяло на ръка (майко мила!).
Практичният начин: използваме калкулатор или компютърна програма като например тази на сайта Wolfram Alpha.
Умният начин: Можем да забележим, че подинтегралната функция е нечетна функция спрямо $s$ ‍. Разкриваме скобите и умножаваме по $s$ ‍, след което виждаме, че всеки член съдържа или $s$ ‍, или $s^{3}$ ‍. Това означава, че вътрешният интеграл в частта от $- \sqrt{4 - t^{2}}$ ‍ до $0$ ‍ ще се унищожи с частта от $0$ ‍ до $\sqrt{4 - t^{2}}$ ‍. Следователно целият интеграл е $0$ ‍.

Обобщение

Интегралът за потока в началото изглеждаше по следния начин:

$\begin{array}{r} \iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ \end{array}$ ‍

Решаването му включва следните четири стъпки:

Стъпка 1: Параметризираме повърхнината и преобразуваме повърхностния интеграл в двоен интеграл върху параметричното пространство.
Стъпка 2: Използваме формулата за намиране на единичен нормален вектор.
Стъпка 3: Опростяваме подинетгралната функция, което включва намирането на две векторни частни производни и на тяхното векторно произведение и скаларно произведение.
Стъпка 4: Изчисляваме двойния интеграл (на практика оттук нататък можем да оставим работата да я свърши компютър).

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.