Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 14: Поток в три измерения (статии)

Поток в три измерения

Известен още като повърхностен интеграл от векторно поле, тримерния поток измерва количеството флуид, което преминава през дадена повърхнина.

Преговор

Не задължително, но полезно като аналогия:

Двумерен поток

Основни идеи

Когато е даден флуид, който се движи в тримерно пространство, и някаква повърхнина в това пространство, потокът през дадената повърхнина е мярка за скоростта, с която флуидът преминава през нея.
Потокът може да бъде изчислен със следния повърхностен интеграл:
$\begin{array}{r} \iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ \end{array}$ ‍

където

$S$ ‍ е повърхнината, потокът през която измерваме.
- $F (x; y; z)$ ‍ е тримерно векторно поле, което описва флуидния поток.
- $\hat{n} (x; y; z)$ ‍ е функция, която ни дава единичния нормален вектор във всяка точка от повърхнината $S$ ‍.
- $d Σ$ ‍ можем да си представим като малко парченце площ от повърхнината $S$ ‍.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Промяна на количеството (масата) на флуида в "балон" с произволна форма

Представи си някакво тримерно векторно поле, представено от векторната функция

F (x; y; z)

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Както често правим при векторните полета, представи си, че то описва някакъв тримерен флуиден поток. За нашите цели е от полза да си представиш как изглежда този поток за един кратък момент. Можеш да си представиш, че флуидните частици се преместват от началото на векторите до техните върхове за някакъв много кратък момент от време

Δ t

Сега си представи някакъв тримерен балон с произволна форма, през чиято повърхност преминава флуидът.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Да наречем повърхнината на този балон

S

Ключов въпрос: Какво количество флуид напуска/навлиза в този балон, докато флуидът се движи съобразно векторното поле, дефинирано от функцията $F (x; y; z)$ ‍?

За да бъдем още по-точни, можем да перифразираме това описание като маса, която напуска/влиза в балона. За по-голяма простота (кой не обича простотата, нали?), да приемем, че плътността на флуида е

1 kg / m^{3}

. Ето една по-подходяща формулировка на въпроса:

По-подробна формулировка: Каква е скоростта на изменение на масата вътре в балона като функция от времето? Скоростта на всяка частица от флуида се описва с функцията $F (x; y; z)$ ‍, където $(x; y; z)$ ‍ са координатите на частицата. Приеми, че флуидът има еднородна плътност от $1 kg / m^{3}$ ‍ по протежение на повърхнината.

Поток през всяко малко парченце от повърхнината

Ето как се решава задачата:

Стъпка 1: Разделяме повърхнината $S$ ‍ на голям брой много малки по размер парченца.
Стъпка 2: Определяме количеството флуид, което напуска/постъпва през всяко малко парченце.
Стъпка 3: Събираме всички тези малки парченца с помощта на повърхностен интеграл.

Стъпка 1: Разделяне на части на повърхнината

По принцип разглеждаме всяко едно от тези парченца като безкрайно малко. Все пак точно за това са интегралите. Общоприетият начин на записване, когато работим с повърхнини, е да означим безкрайно малката площ на едно от тези парченца като "

d Σ

Също така, понеже всяко парченце е наистина малко, и понеже разглеждаме повърхнината

S

като гладка, можем да приемем, че тези парченца са плоски.

Стъпка 2: Определяме флуидния поток през всяко парченце

Понеже всяко от тези парченца е наистина много миниатюрно, цялото количество флуид, което преминава през него, по същество се движи с една и съща скорост и посока. По-точно, ако изберем произволна точка

(x_{0}; y_{0}; z_{0})

на това парченце, частиците от флуида, които преминават през него, ще притежават вектор на скоростта

\approx F (x_{0}; y_{0}; z_{0})

Това означава, че флуидът, който преминава през него за кратък момент от време

Δ t

, ще формира някакъв вид наклонена призма:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Векторът на изместването за всяка една от тези частици ще бъде векторът на скоростта по промяната на времето:

$\underset{Вектор, описващ наклонения ръб на призма}{\underset{⏟}{F (x_{0}; y_{0}; z_{0}) Δ t}}$ ‍

Да означим с

\hat{n}

единичния нормален вектор към нашето малко парченце площ:

Проверка на концепцията: Какъв е обемът на флуида, който напуска малкото парченце площ за време

Δ t

? (Малкото парченце има площ

d Σ

Избери един отговор:
(Избор А)
$\begin{array}{r} (F (x_{0}; y_{0}; z_{0}) Δ t) (d Σ) \end{array}$ ‍
(Избор Б)
$\begin{array}{r} (F (x_{0}; y_{0}; z_{0}) \cdot \hat{n}) (Δ t) (d Σ) \end{array}$ ‍

Вторият отговор е верен:
$\begin{array}{r} (F (x_{0}; y_{0}; z_{0}) \cdot \hat{n}) (Δ t) (d Σ) \end{array}$ ‍
Наклонената призма, образувана от флуида, който напуска нашето малко парченце, има дъно (долна стена) с площ $d Σ$ ‍. За да получим обема на тази призма, трябва да умножим площта на тази основа по височината на призмата.
Изместването $F (x_{0}; y_{0}; z_{0}) Δ t$ ‍ на частиците на флуида не ни дава височината точно. Нужен ни е този компонент на вектора, който е перпендикулярен на малкото парченце, затова намираме скаларното произведение на този вектор и на единичния нормален вектор:
$(F (x_{0}; y_{0}; z_{0}) Δ t) \cdot \hat{n}$ ‍
Можем да пренаредим това до еквивалентния израз $(F (x_{0}; y_{0}; z_{0}) \cdot \hat{n}) Δ t$ ‍, понеже следващото нещо, което трябва да направим, е да разделим това на $Δ t$ ‍.

Обърни внимание, че понеже плътността на флуида е

1

, този израз ни дава също така и масата на флуида, който напуска през малкото парченце повърхнина. Ако го разделим на промяната на времето

Δ t

, получаваме скоростта, с която масата преминава през това малко парченце площ:

$\begin{array}{r} (F (x_{0}; y_{0}; z_{0}) \cdot \hat{n}) (d Σ) \leftarrow Поток маса за единица време \end{array}$ ‍

Забележка: ориентацията има значение

Обърни внимание, че ако бяхме избрали единичния нормален вектор с обратна посока, тогава знакът на израза

(F (x_{0}; y_{0}; z_{0}) \cdot \hat{n}) (d Σ)

щеше да бъде обратен.

При затворени повърхнини е прието да се избира единичният нормален вектор, който е обърнат навън. Това означава, че нашият израз за скоростта на потока ще бъде с положителен знак, когато флуидът изтича навън от областта през малкото парченце, и с отрицателен знак, когато флуидът тече навътре в тази област.

Стъпка 3: Събираме всичко с помощта на интеграл

Целта е да определим скоростта, с която флуидът преминава през цялата повърхнина:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

(Обърни внимание, че на тази анимация флуидът преминава навън от повърхнината. По принцип е възможно в някои точки той да преминава навътре в областта).

За да получим тази обща скорост на движение, събираме скоростта, с която масата преминава през всяко малко парченце от повърхнината

S

. Тъй като събираме величини, свързани с малки парченца от повърхнината, подходящият инструмент за целта е повърхностен интеграл. Ще използваме полученото в последната точка:

$\begin{array}{r} (F (x_{0}; y_{0}; z_{0}) \cdot \hat{n}) (d Σ) \leftarrow Скорост на потока през малко парченце площ \end{array}$ ‍

Сега въвеждаме това в повърхностен интеграл:

$\begin{array}{r} \iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ \end{array}$ ‍

Обърни внимание, че в интеграла има две функции:

$F (x; y; z)$ ‍, която ни дава скоростта на частицата от флуида в произволна точка.
$\hat{n} (x; y; z)$ ‍, която ни дава сочещия навън единичен нормален вектор в произволна точка от повърхнината.

Това са две векторни функции, чието скаларно произведение е скаларна функция.

Можем да представим това като производната на масата на флуида в

R

със знак минус; знакът минус присъства, защото повърхностният интеграл е положителен, когато флуидът напуска областта.

$\underset{скорост, с която флуидът напуска R}{\underset{⏟}{- \frac{d (маса на флуида в R)}{d t}}} = \iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ$ ‍

В следващата статия ще видиш пример за изчисляването на един такъв интеграл. Това включва определянето на израза за единичния нормален вектор, с което изразяваме интеграла чрез параметризацията на

S

и т.н.

Поток

Мярката за това какво количество флуид преминава през дадена повърхнина се нарича поток. В горния пример това беше пречупено в светлината на затворена повърхнина, която е граница на област, и в този случай потокът също така беше мярка за това как се променя масата на флуида в тази област. В общия случай, обаче, потокът е нещо, което можем да изчислим за произволна повърхнина, независимо дали е затворена, или не е затворена.

Много често във физиката различни неща могат да се разглеждат като някакъв вид поток, не само флуидите. Топлината, даже в известен смисъл и силите, също могат да се движат в пространството. При това положение не е рядко срещано да се изчислява поток през повърхнина в задачи за топлина, или да кажем за електромагнетизъм.

Обобщение

За даден тримерен флуиден поток, логиката на изчисляването на потока през дадена повърхнина е следната:

Представяш си, че нарязваш повърхнината на много голям брой много малки по размер парченца, толкова малки, че всяко от тези парченца може да се разглежда като плоско.
Изчисляваш количеството флуид, което преминава през всяко парченце като функция от площта $d Σ$ ‍ на самото парченце, от единичния нормален вектор $\hat{n}$ ‍ към това парченце, и скоростта на флуида $F$ ‍ в дадената област.
"Събираш" всички тези скорости на протичане с помощта на повърхностен интеграл и получаваш общия поток.
$\begin{array}{r} \underset{Поток през S}{\underset{⏟}{\iint_{S} F \cdot \hat{n} d Σ}} \end{array}$ ‍
Ако промениш ориентацията на повърхността, като избереш единичния нормален вектор, който сочи в обратната посока, знакът на интеграла ще стане обратен.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.