Поток в три измерения

Преговор

• Векторни полета
• Повърхностни интеграли
• Единичен нормален вектор към повърхнина

• Двумерен поток

Основни идеи

• Когато е даден флуид, който се движи в тримерно пространство, и някаква повърхнина в това пространство, потокът през дадената повърхнина е мярка за скоростта, с която флуидът преминава през нея.
• Потокът може да бъде изчислен със следния повърхностен интеграл:

  $\begin{aligned} \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\, \redE{d\Sigma} \end{aligned}$

• $\redE{S}$start color #bc2612, S, end color #bc2612 е повърхнината, потокът през която измерваме.
  • $\blueE{F(x; y; z)}$start color #0c7f99, F, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis, end color #0c7f99 е тримерно векторно поле, което описва флуидния поток.
  • $\greenE{\hat{\textbf{n}}(x; y; z)}$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis, end color #0d923f е функция, която ни дава единичния нормален вектор във всяка точка от повърхнината $\redE{S}$start color #bc2612, S, end color #bc2612.
  • $\redE{d\Sigma}$start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612 можем да си представим като малко парченце площ от повърхнината $\redE{S}$start color #bc2612, S, end color #bc2612.

Промяна на количеството (масата) на флуида в "балон" с произволна форма

Ключов въпрос: Какво количество флуид напуска/навлиза в този балон, докато флуидът се движи съобразно векторното поле, дефинирано от функцията $\blueE{F(x; y; z)}$start color #0c7f99, F, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis, end color #0c7f99?

По-подробна формулировка: Каква е скоростта на изменение на масата вътре в балона като функция от времето? Скоростта на всяка частица от флуида се описва с функцията $\blueE{\textbf{F}(x; y; z)}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis, end color #0c7f99, където $(x; y; z)$left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis са координатите на частицата. Приеми, че флуидът има еднородна плътност от $1 \, \text{kg}/\text{m}^3$1, start text, k, g, end text, slash, start text, m, end text, cubed по протежение на повърхнината.

Поток през всяко малко парченце от повърхнината

• Стъпка 1: Разделяме повърхнината $S$S на голям брой много малки по размер парченца.
• Стъпка 2: Определяме количеството флуид, което напуска/постъпва през всяко малко парченце.
• Стъпка 3: Събираме всички тези малки парченца с помощта на повърхностен интеграл.

Стъпка 1: Разделяне на части на повърхнината

Стъпка 2: Определяме флуидния поток през всяко парченце

Избери един отговор:

Избери един отговор:

• (Избор А)  

  $\begin{aligned} \big(\blueE{\textbf{F}}(x_0; y_0; z_0) \Delta t\big) \big(d\Sigma\big) \end{aligned}$

  А

  $\begin{aligned} \big(\blueE{\textbf{F}}(x_0; y_0; z_0) \Delta t\big) \big(d\Sigma\big) \end{aligned}$
• (Избор Б)  

  $\begin{aligned} \big(\blueE{\textbf{F}}(x_0; y_0; z_0) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\big) \big(\Delta t\big) \big(d\Sigma\big) \end{aligned}$

  Б

  $\begin{aligned} \big(\blueE{\textbf{F}}(x_0; y_0; z_0) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\big) \big(\Delta t\big) \big(d\Sigma\big) \end{aligned}$

Провери

[Отговор]

Забележка: ориентацията има значение

Стъпка 3: Събираме всичко с помощта на интеграл

• $\blueE{\textbf{F}}(x; y; z)$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis, която ни дава скоростта на частицата от флуида в произволна точка.
• $\greenE{\hat{\textbf{n}}}(x; y; z)$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis, която ни дава сочещия навън единичен нормален вектор в произволна точка от повърхнината.

Поток

Обобщение

• Представяш си, че нарязваш повърхнината на много голям брой много малки по размер парченца, толкова малки, че всяко от тези парченца може да се разглежда като плоско.
• Изчисляваш количеството флуид, което преминава през всяко парченце като функция от площта $\redE{d\Sigma}$start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612 на самото парченце, от единичния нормален вектор $\greenE{\hat{\textbf{n}}}$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f към това парченце, и скоростта на флуида $\blueE{\textbf{F}}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 в дадената област.
• "Събираш" всички тези скорости на протичане с помощта на повърхностен интеграл и получаваш общия поток.

  $\begin{aligned} \underbrace{ \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\, \redE{d\Sigma} }_{\text{Поток през $\redE{S}$}} \end{aligned}$

• Ако промениш ориентацията на повърхността, като избереш единичния нормален вектор, който сочи в обратната посока, знакът на интеграла ще стане обратен.