Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 12: Повърхностни интеграли (статии)

Повърхностни интеграли

Класна стая на Google

Как можем да съберем безкрайно много безкрайно малки стойности, свързани с точки от някаква повърхнина?

Преговор

Не задължително, но полезно за разбирането като аналогия:

Криволинейни интеграли

Основни идеи

По принцип идеята на повърхностния интеграл е същата като тази за двойния интеграл, само че тук вместо "да събираме" точки в плоска двумерна област, събираме точки от повърхнина в пространството, която евентуално може да е с произволна форма. Общият запис на повърхностен интеграл е много подобен на този за двоен интеграл:

$\begin{array}{r} \underset{с S означаваме повърхнина}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} f (x; y; z) \overset{малки парченца площ в S}{\overset{⏞}{d Σ}} \end{array}$ ‍

Изчисляването на повърхностен интеграл е почти идентично с изчисляването на лице на повърхнина с двоен интеграл, с тази разлика, че се придържаме към функцията в интеграла:

$\begin{array}{r} \iint_{T} f (\vec{v} (t; s)) \underset{Малки парченца площ}{\underset{⏟}{| \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s}} \end{array}$ ‍

Тук

\vec{v} (t; s)

е функция, параметризираща повърхнината

S

от областта

T

на равнината

t s

(Това е аналогично на случая, когато изчисляването на криволинейни интеграли е същото като изчисляването на интеграли за дължина на дъгата, освен че тук поставяме функция вътре в самия интеграл.)

Можеш да намериш пример за решаване на такъв интеграл в следващата статия.

Какво представляват повърхностните интеграли

Ако разбираш смисъла на двойните интеграли и знаеш как да изчисляваш лице на повърхнина на параметрични повърхнини, по същество вече си подготвен/а за повърхностните интеграли. Нужно е единствено двете идеи да се комбинират. Ще разгледаме повърхностните интеграли чрез един пример, но преди това смятам, че е важно да разгледаме какво точно прави повърхностният интеграл.

Преговор за двойни интеграли

Да си припомним какво прави един двоен интеграл:

$\begin{array}{r} \iint_{R} f (x; y) d A \end{array}$ ‍

R

е някаква област в равнината

x y

f (x; y)

е начин да свържем всяка точка в

R

с някакво число.

Да си представим, че $R$ ‍ е някакъв метален лист, а $f (x; y)$ ‍ е плътността във всяка точка.
Или пък да си представим, че $R$ ‍ е някаква географска област, а $f (x; y)$ ‍ представлява температурата във всяка точка.

Двойният интеграл е метод за "събиране" на стойностите на функцията

f

в тази област. Обаче идеята за "събиране" на точки в непрекъсната област е малко неясна, така че аз предпочитам да си представям следния процес:

Разделяме областта $R$ ‍ на голям брой малки парченца.
Умножаваме площта на всяко парче, която означаваме като $d A$ ‍, по стойността на функцията $f$ ‍ в някоя от точките от това малко парченце.
Събираме получените стойности.

Например,

Ако си представим, че $R$ ‍ е някакъв метален лист и $f (x; y)$ ‍ е функцията на плътността, двойният интеграл ни дава масата на листа. (Защо?)
Ако $R$ ‍ представлява географска област, а $f (x; y)$ ‍ ни дава температурата във всяка точка, ако разделим стойността на двойния интеграл на площта на областта $R$ ‍, ще получим средната температура в тази област. (Защо?)

Двойни интеграли в извити области

Но защо да разглеждаме само плоски повърхнини? Идеята за събиране на стойности в двумерна област може да се приложи и към произволни извити повърхнини.

Представи си, че разглеждаме повърхнината на някакво заоблено самолетно крило с разнородна плътност и искаме да намерим общата маса на крилото.
А ако знаем температурата във всяка точка върху нагънатата повърхност на планетата и искаме да намерим средната температура?

Този път функцията

f

, която може да представлява плътност, температура и т.н., съответства на тримерни точки върху тримерна повърхнина. Общият запис на интеграл от функция

f (x; y; z)

върху някаква повърхнина е почти същият като общият запис на двоен интеграл:

$\begin{array}{r} \underset{S е някаква повърхнина}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} f (x; y; z) \overset{Малко парченце площ от S}{\overset{⏞}{d Σ}} \end{array}$ ‍

(Различните автори използват различен начин на записване).

Това се нарича повърхностен интеграл. Буквата

S

под знака за двоен интеграл се отнася за самата повърхнина, а терминът

d Σ

представлява малко парченце от тази повърхнина. Можеш да разглеждаш повърхностните интеграли по същия начин както двойните интеграли:

Разделяме повърхнината $S$ ‍ на голям брой малки парченца.
Умножаваме площта на всяко малко парченце по стойността на функцията $f$ ‍ в някоя точка от това парченце.
Събираме тези стойности.

Защо пишем

d Σ

вместо

d A

? Няма съществена разлика; всяко едно от двете съответства на малко парченце площ от нещото, върху което интегрираме. Обаче, когато става въпрос за изчисляване на нещата, начинът, по който работим с това малко парченце площ от извитата повърхнина е напълно различен от начина, по който работим с парченце от плоска повърхнина. Тази разлика е важно да бъде подчертана чрез използване на различна променлива.

Как изчисляваме повърхностен интеграл

Абстрактната представа как разделяме на малки парченца самолетно крило е полезна, но как по същество пресмятаме подобен повърхностен интеграл? Подходът е да го превърнем в обикновен, плосък двоен интеграл.

По-конкретно, начинът, по който представяме дадена повърхнина математически, е чрез параметрична функция. Имаме някаква векторна функция

\vec{v} (t; s)

, чиито аргументи са точки в двумерна равнина

t s

(чудесна плоска равнина), а изходните ѝ стойности са в тримерно пространство. Необходимо е също така да се определи областта

T

в равнината

t s

, която се изобразява в повърхнината

S

Това, което трябва да направим, е да намерим начин да интегрираме върху плоската област

T

, което да даде съвсем същия резултат, все едно интегрираме върху произволната повърхнина

S

. Това означава да опишем "малки парченца площ" от повърхнината

S

чрез нещо, което се съдържа в параметъра.

Почти всичко това е описано в статията за лице на повърхнина. Там видяхме как един малък правоъгълник в областта

T

с площ

d t d s

се трансформира в успоредника

S

с площ

\begin{array}{r} | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s \end{array}

За това, което целим с нашия повърхностен интеграл, това означава, че представяме

d Σ

по следния начин:

$d Σ = | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s$ ‍

По-конкретно, ето как записваме повърхностен интеграл относно параметрично пространство:

$\iint_{S} f (x; y; z) d Σ = \iint_{T} f (\vec{v} (t; s)) | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s$ ‍

Нека разбием този израз на съставните му части:

$\begin{array}{r} \underset{Интеграл върху повърхнината}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} f (x; y; z) \overset{Площ на малко парченце от S}{\overset{⏞}{d Σ}} = \underset{\begin{array}{c} Интеграл в \\ параметричното пространство \end{array}}{\underset{⏟}{\iint_{T}}} \overset{\begin{array}{c} Търсим всяка точка \\ (t, s) къде попада в S, \\ после изчисляваме f \end{array}}{\overset{⏞}{f (\vec{v} (t; s))}} \underset{\begin{array}{c} Как се мащабира \\ малко парченце от T \\ след изобразяването му в S от \vec{v} \end{array}}{\underset{⏟}{| \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} |}} \overset{\begin{array}{c} Площ на малко \\ парченце от T \end{array}}{\overset{⏞}{d t d s}} \end{array}$ ‍

Основното, върху което трябва да се фокусираме тук, и което прави изчисленията толкова трудоемки, е начинът, по който представяме

d Σ

В следващата статия ще видиш напълно решен пример на подобен повърхностен интеграл.

Обобщение

Повърхностните интеграли се използват тогава, когато искаме да съберем голям брой стойности, свързани с точки върху някаква повърхнина. Това е двумерният аналог на криволинейните интеграли. Алтернативно, можем да го разглеждаме като начин за обобщение на двойните интеграли за произволни повърхнини.

$\begin{array}{r} \underset{с S означаваме повърхнина}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} f (x; y; z) \overset{малки парченца площ в S}{\overset{⏞}{d Σ}} \end{array}$ ‍

Изчисляването на повърхностен интеграл е почти идентично с изчисляването на лице на повърхнина с двоен интеграл, с тази разлика, че се придържаме към функцията в интеграла:

$\begin{array}{r} \iint_{T} f (\vec{v} (t; s)) | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s \end{array}$ ‍

Както толкова много неща в анализа на функции на много променливи, въпреки че теоретично всичко, свързано с повърхностните интеграли е прекрасно, същинското им изчисляване е мъчително трудоемко.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.