Пример за повърхностен интеграл

Преговор

• Повърхностни интеграли

Задача: Повърхностен интеграл върху сфера.

Стъпка 1: Възползваме се от симетрията на сферата

Провери

Отговор

$\begin{array}{rl}f(x;y;z)& =(x-1{)}^2+y^2+z^2\\ \\ & =x^2-2x+1+y^2+z^2\\ \\ & =-2x+1+\underset{\text{за сферата, това е равно на }4}{\underbrace{x^2+y^2+z^2}}\\ \\ & =-2x+1+4\\ \\ & =-2x+5\\ \end{array}$‍

Стъпка 2: Параметризация на сферата

Избери един отговор:

Избери един отговор:

• (Избор А)  

  $\begin{array}{r}\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(t;s)=\left[\begin{array}{c}2\cos (t)\sin (s)\\ 2\sin (t)\sin (s)\\ 2\cos (s)\end{array}\right]\end{array}$‍

  в област, където $0\le t\le 2\pi$‍ и $0\le s\le \pi$‍.

  А

  $\begin{array}{r}\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(t;s)=\left[\begin{array}{c}2\cos (t)\sin (s)\\ 2\sin (t)\sin (s)\\ 2\cos (s)\end{array}\right]\end{array}$‍

  в област, където $0\le t\le 2\pi$‍ и $0\le s\le \pi$‍.
• (Избор Б)  

  $\begin{array}{r}\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(t;s)=\left[\begin{array}{c}2\cos (t)\cos (s)\\ 2\sin (t)\sin (s)\\ 2\sin (t)\cos (s)\end{array}\right]\end{array}$‍

  в област, където $0\le t\le 2\pi$‍ и $0\le s\le 2\pi$‍.

  Б

  $\begin{array}{r}\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(t;s)=\left[\begin{array}{c}2\cos (t)\cos (s)\\ 2\sin (t)\sin (s)\\ 2\sin (t)\cos (s)\end{array}\right]\end{array}$‍

  в област, където $0\le t\le 2\pi$‍ и $0\le s\le 2\pi$‍.

Провери

Отговор

Първият отговор е верен:

$\begin{array}{r}\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(t;s)=\left[\begin{array}{c}2\cos (t)\sin (s)\\ 2\sin (t)\sin (s)\\ 2\cos (s)\end{array}\right]\end{array}$‍

Прилагаме това към областта в равнината $ts$‍, където $0\le t\le 2\pi$‍ и $0\le s\le \pi$‍.

Няма спор, че параметризирането на повърхнини е трудно. Начинът да разсъждаваш при задачи като тази, в която трябва да се определи каква повърхнина параметризира дадена функция, е да си представиш какво се случва, когато "замразиш" стойността на едната променлива и оставиш другата променлива да се мени.

Например в израза за $\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(t;s)$‍ по-горе си представи, че $s$‍ е константа, а променливата $t$‍ се мени:

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}2\cos (t)\sin (s)\\ 2\sin (t)\sin (s)\\ 2\cos (s)\end{array}\right]\end{array}$‍

Тъй като $x$‍ е пропорционално на $\cos (t)$‍, а $y$‍ е пропорционално на $\sin (t)$‍, когато $t$‍ приема стойности в интервала от $0$‍ до $2\pi$‍, то ще опише окръжност около оста $z$‍:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Алтернативно, представи си, че фиксираме стойността на $t$‍ и оставим $s$‍ да приема различни стойности:

$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}2\cos (t)\sin (s)\\ 2\sin (t)\sin (s)\\ 2\cos (s)\end{array}\right]\end{array}$‍

Отново описваме окръжност (можеш ли да видиш защо?)

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Сега си представи, че $s$‍ приема стойности от $0$‍ до $\pi$‍, което означава, че се описва само половината окръжност от последната анимация. Вместо да си представяш, че $t$‍ е константа, си представи цялата окръжност, която $t$‍ описва за дадена стойност на $s$‍. Тези окръжности ще образуват една сфера от горе до долу:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Ето защо позволяваме на $t$‍ да приема стойности от $0$‍ до $2\pi$‍, но оставяме $s$‍ да се изменя от $0$‍ до $\pi$‍.

Стъпка 3: Изчисляване на двете частни производни

${\displaystyle {\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t;s)=}$‍

$\widehat{\mathbf{\text{i}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{j}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{k}}}$‍

Провери

Отговор

$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t;s)=\left[\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}}2\cos (t)\sin (s)\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}}2\sin (t)\sin (s)\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}}2\cos (s)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2\sin (t)\sin (s)\\ \\ 2\cos (t)\sin (s)\\ \\ 0\end{array}\right]\end{array}$‍

${\displaystyle {\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t;s)=}$‍

$\widehat{\mathbf{\text{i}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{j}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{k}}}$‍

Провери

Отговор

$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t;s)=\left[\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial s}}2\cos (t)\sin (s)\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial s}}2\sin (t)\sin (s)\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial s}}2\cos (s)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\cos (t)\cos (s)\\ \\ 2\sin (t)\cos (s)\\ \\ -2\sin (s)\end{array}\right]\end{array}$‍

Стъпка 4: Изчисляване на векторното произведение

${\displaystyle {\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}\times {\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}=}$‍

$\widehat{\mathbf{\text{i}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{j}}}+$‍

$\widehat{\mathbf{\text{k}}}$‍

Провери

Отговор

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}\times {\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}\\ \\ & =\left[\begin{array}{c}-2\sin (t)\sin (s)\\ 2\cos (t)\sin (s)\\ 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}2\cos (t)\cos (s)\\ 2\sin (t)\cos (s)\\ -2\sin (s)\end{array}\right]\end{array}$‍

Сега използваме обичайната практика с детерминанта за намиране на векторното произведение:

$\begin{array}{r}\text{det}\left(\left[\begin{array}{ccc}\widehat{\mathbf{\text{i}}}& \widehat{\mathbf{\text{j}}}& \widehat{\mathbf{\text{k}}}\\ -2\sin (t)\sin (s)& 2\cos (t)\sin (s)& 0\\ 2\cos (t)\cos (s)& 2\sin (t)\cos (s)& -2\sin (s)\end{array}\right]\right)\end{array}$‍

Правим го компонент по компонент.

$\widehat{\mathbf{\text{i}}}$‍ компонент: Зачеркваме горния ред и левия стълб, след това намираме детерминантата:

$\begin{array}{r}\text{det}\left(\left[\begin{array}{cc}2\cos (t)\sin (s)& 0\\ 2\sin (t)\cos (s)& -2\sin (s)\end{array}\right]\right)=-4\cos (t){\sin }^2(s)\end{array}$‍

$\widehat{\mathbf{\text{j}}}$‍ компонент: Зачеркваме горния ред и средния стълб, след което намираме детерминантата, като поставяме знак минус:

$\begin{array}{r}-\text{det}\left(\left[\begin{array}{cc}-2\sin (t)\sin (s)& 0\\ 2\cos (t)\cos (s)& -2\sin (s)\end{array}\right]\right)=-4\sin (t){\sin }^2(s)\end{array}$‍

$\widehat{\mathbf{\text{k}}}$‍ компонент: Накрая остана най-трудното – зачеркваме горния ред и последния стълб и намираме детерминантата:

$\begin{array}{rl}& \text{det}\left(\left[\begin{array}{cc}-2\sin (t)\sin (s)& 2\cos (t)\sin (s)\\ 2\cos (t)\cos (s)& 2\sin (t)\cos (s)\end{array}\right]\right)\\ \\ & =\underset{\text{изнасяме пред скоби}-4\sin (s)\cos (s)}{\underbrace{-4{\sin }^2(t)\sin (s)\cos (s)-4{\cos }^2(t)\sin (s)\cos (s)}}\\ \\ & =-4\sin (s)\cos (s)\left(\underset{1}{\underbrace{{\sin }^2(t)+{\cos }^2(t)}}\right)\\ \\ & =-4\sin (s)\cos (s)\end{array}$‍

Стъпка 5: Намиране дължината на векторното произведение.

${\displaystyle |{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}\times {\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}|=}$‍

Провери

Отговор

$\begin{array}{rl}& |{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}\times {\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}|\\ \\ & =\left|\left[\begin{array}{c}-4\cos (t){\sin }^2(s)\\ -4\sin (t){\sin }^2(s)\\ -4\sin (s)\cos (s)\end{array}\right]\right|\\ \\ & =\sqrt{(-4\cos (t){\sin }^2(s){)}^2+(-4\sin (t){\sin }^2(s){)}^2+(-4\sin (s)\cos (s){)}^2}\\ \\ & =\sqrt{\underset{\text{Изнасяме }{4}^2\text{ извън знака за корен}}{\underbrace{4^2{\cos }^2(t){\sin }^4(s)+4^2{\sin }^2(t){\sin }^4(s)+4^2{\sin }^2(s){\cos }^2(s)}}}\\ \\ & =4\sqrt{\underset{\text{Изнасяме пред скоби }{\sin }^4(s)}{\underbrace{{\cos }^2(t){\sin }^4(s)+{\sin }^2(t){\sin }^4(s)}}+{\sin }^2(s){\cos }^2(s)}\\ \\ & =4\sqrt{{\sin }^4(s)\left(\underset{\text{1}}{\underbrace{{\cos }^2(t)+{\sin }^2(t)}}\right)+{\sin }^2(s){\cos }^2(s)}\\ \\ & =4\sqrt{\underset{\text{Изнасяме пред скоби }{\sin }^2(s)}{\underbrace{{\sin }^4(s)+{\sin }^2(s){\cos }^2(s)}}}\\ \\ & =4\sqrt{{\sin }^2(s)\left(\underset{1}{\underbrace{{\sin }^2(s)+{\cos }^2(s)}}\right)}\\ \\ & =4\sin (s)\end{array}$‍

Стъпка 6: Изчисляваме интеграла

$\begin{array}{r}{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }(-16\cos (t){\sin }^2(s)+20\sin (s))dtds=\end{array}$‍

Провери

Отговор

Първо да разделим този интеграл на два по-прости:

$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }(-16\cos (t){\sin }^2(s)+20\sin (s))dtds\\ \\ & =-16{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }\cos (t){\sin }^2(s)dtds+20{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }\sin (s)dtds\\ \end{array}$‍

Сега да ги решим един по един:

$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }\cos (t){\sin }^2(s)dtds\\ \\ & ={\int }_0^{\pi }{[\sin (t){\sin }^2(s)]}_{t=0}^{t=2\pi }ds\\ \\ & ={\int }_0^{\pi }(\sin (2\pi ){\sin }^2(s)-\sin (0){\sin }^2(s))ds\\ \\ & ={\int }_0^{\pi }(0-0)ds\\ \\ & =0\end{array}$‍

О, това доста опростява нещата! А какво да кажем за другия интеграл?

$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }\underset{\text{константа спрямо }t}{\underbrace{\sin (s)}}dtds\\ \\ & ={\int }_0^{\pi }\sin (s)(2\pi )ds\\ \\ & =2\pi [-\cos (s){]}_{s=0}^{s=\pi }\\ \\ & =2\pi (-\cos (\pi )-(-\cos (0)))\\ \\ & =2\pi \left(2\right)\\ \\ & =4\pi \end{array}$‍

По този начин интегралът се опростява до:

$\begin{array}{rl}& -16\underset{=0}{\underbrace{{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }\cos (t){\sin }^2(s)dtds}}+20\underset{=4\pi }{\underbrace{{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }\sin (s)dtds}}\\ \\ & =80\pi \end{array}$‍