Решаване на задачи с центростремително ускорение

За нещастие много хора имат доста погрешни схващания, когато работят върху задачи с центростремителна сила. В това видео ще преминем през няколко примера, за да ти дам някои стратегии за решаване на задачи, които можеш да използваш, а също и ще разгледаме погрешните схващания на хората, когато се занимават с тези задачи с центростремително движение. За начало, представи си този пример. Да кажем, че една нишка кара една топка да се върти в кръг. Нека направим нещата лесни – да кажем, че топката преминава по перфектна окръжност и да кажем, че стои на маса, която няма никакво триене. Това ще е от птичи поглед. Това е изглед отгоре. Отстрани ще изглежда подобно на това. Топката ще е вързана за въже и ще застопориш някаква тежест в средата на масата. Завързваш въжето за тежестта и буташ топката. И топката ще поеме по този кръгов път на масата, когато погледнем това отстрани. Но когато го гледаме отгоре, виждаш очертан този път. Това е от птичи поглед. Ще видиш това, ако гледаш надолу от над масата. А това ще е страничният изглед. Нека ти задам този въпрос. Каква сила кара топката да се движи в кръг? Много хора искат да отговорят на този въпрос с центростремителната сила. Те ще кажат, че това е центростремителната сила, която сочи навътре, че тя кара топката да се върти в кръг. Това не е грешно. Вярно е, но не е цялата истина. И причината е, че когато кажем центростремителна сила, имаме предвид сила, която е насочена към центъра на окръжността. Да кажем, че силата, която кара топката да се движи в кръг, е центростремителната сила, е малко незадоволително. Ще е като да отговорим на въпроса "Каква сила балансира силата на гравитацията, докато топката е на масата?" с отговора "силата нагоре". Знаехме, че ще трябва да е сила нагоре, но това не ни казва каква сила е тя. Подобно, просто да кажем центростремителна сила, това само ни дава в каква посока сочи силата. Не ни казва какъв вид сила е това. Така че за да отговорим на този въпрос по-добре, ако някой те попита каква сила противодейства на гравитацията, която не позволява на топката да падне от масата, вместо да казваме "сила нагоре", по-добре е просто да кажем, че това е нормалната сила. И тук също можем да се справим по-добре. Вместо просто да кажем центростремителна сила, можем да кажем какъв вид сила е това. Това трябва да е една от силите, за които вече знаем. Ще е или силата на триене, или нормалната сила, или силата на опън, или силата на гравитацията. Центростремителната сила не е нов вид сила. Тя е просто една от силите, за които вече знаем, която сочи към центъра на окръжността. И това е важно, понеже това е първото ни голямо погрешно схващане. Хората мислят, че центростремителната сила е нов вид сила, но тя не е. Тя е просто една от силите, за които вече знаем, която сочи към центъра на окръжността и това кара обекта да се движи в окръжност. Каква сила е това в този случай? Има въже, вързано към тази тежест, и това въже ще я дърпа. А когато едно въже дърпа, наричаме това сила на опън. Ще нарека това сила на опън. Това е малко по-добре. Сега знаем каква сила действа като центростремителна сила. Внимавай. Понякога хората искат да направят това, казват си, че има сила на опън и също има центростремителна сила. Но това е странно, понеже силата на опън е центростремителната сила. Няма да я чертая два пъти. Все едно да дойда тук и да кажа, че има нормална сила и има също сила нагоре. Силата нагоре е нормалната сила. Няма да я чертая отново. По същия начин, ето тук няма да чертая центростремителната сила два пъти. Силата на опън беше центростремителната сила. Възможно е да имаш две сили навътре. Може би има две въжета и имаше втора сила на опън тук, дърпаща навътре, но по-добре да можеш да определиш каква е силата, преди да я начертаеш. Не я наричай просто F центростремителна. Може да си кажеш, че схващаш, че центростремителната сила е просто допълнително име, което даваме на сила, която сочи към центъра на окръжността, но как се решава такава задача? Каква стратегия да използвам? Имаме сили нагоре, надолу, навътре. Нека ти покажа как да решиш някои задачи и някои неща, които да помниш. Нека добавя няколко числа тук. Да кажем, че ти дам това... Да кажем, че масата на топката беше два килограма, а дължината на въжето беше 0,5 метра, а топката пътува около окръжността с постоянна скорост от 5 метра в секунда. Какъв въпрос може да ти зададат, ако ти дадат такава задача? Един възможен въпрос би бил каква е силата на опън във въжето. Сега е добър момент да ти кажа една малка тайна. Тайната към решаване на задачи с центростремителна сила е, че ги решаваш по същия начин, по който решаваш всяка задача със сила. С други думи, първо чертаеш качествена диаграма на силата. И после използваш втория закон на Нютон за посоките една по една. И ако посоката, която избереш, за да анализираш втория закон на Нютон, не те отведе докъдето трябва да стигнеш, просто го направи пак. Използвай отново втория закон на Нютон за друга посока и това ще те доведе докъдето трябва да стигнеш. С други думи, нека начертаем качествена диаграма на силата. Имаме сили, но те са навсякъде. Страничният изглед ще илюстрира по-добре всички включени сили. Вече имаме силата на гравитацията нагоре и силата на гравитацията надолу. Сега ще начертая тази сила на опън, сочеща навътре. Това е силата, която действа като центростремителна сила. Сега ще използваме втория закон на Нютон за една от посоките. Коя посока трябва да изберем? Коя сила искаме да намерим? Искаме да намерим тази сила на опън. Въпреки че ако исках, можех да използвам втория закон на Нютон за тази вертикална посока, силата на опън дори не сочи насам, така че няма да се занимавам с тази посока. Ще видя дали мога да се справя само в една стъпка. Ще използвам тази хоризонтална посока и това ще е центростремителната посока, тоест навътре в окръжността. И когато си имаме работа с центростремителната сила, ще си имаме работа с центростремителното ускорение, така че тук, когато използвам а и поставя това да е равно на сумарната сила върху масата, ако ще използвам центростремителната сила, ще трябва да използвам центростремителното ускорение. С други думи, ще въведа само сили, които навлизат радиално в окръжността, и ще имам радиалното центростремително ускорение. И знаем формулата за центростремителното ускорение – това е v^2/r, така че ще въведа v^2/r вляво. Това е новото нещо. Когато използвахме втория закон на Нютон за обикновените сили, тук просто оставихме това като а. Но сега, когато използваш този закон за определената посока, която е центростремителната посока, ще замениш а с v^2/r и после го поставям да е равно на сумарната сила в центростремителна посока върху масата. Какво ще въведа тук горе? Какви сили въвеждам тук? Имам нормална сила, сила на опън и гравитация. Често срещано погрешно схващане е, че хората опитват да ги поставят всички тук. Хората въвеждат силата на гравитацията, нормалната сила, силата на опън и защо не? Но помни, ако изберем центростремителната посока, центростремителна означава, че сочи към центъра на окръжността, така че ще въведа само силите, които са насочени към центъра на окръжността и това не са нормалната сила или силата на гравитацията. Тези сили не сочат навътре към центъра на окръжността. Единствената сила в този случай, която сочи към центъра на окръжността, е силата на опън, и както вече казахме, това е центростремителната сила. Тук ще имам v^2/r и това ще е равно – единствената сила, която действа като центростремителна сила, е силата на опън. Положително ли трябва да е това, или отрицателно? Ще приемем навътре за положително. Силите, които сочат навътре, ще са положителни. Възможно ли е една центростремителна сила да е отрицателна? Да. Ако имаше някаква сила, която сочеше навън, ако поради някаква причина имаше друга нишка, която дърпаше топката навън, щяхме да включим тази сила в изчисленията, и ще я включим със знак минус. Сили, които са насочени навън от окръжността, ще приемем за отрицателни. А сили, които са насочени навътре към окръжността, ще приемем за положителни. Ако не са насочени навътре или навън, няма да ги включим изобщо в това изчисление. Може да възразиш. Може да кажеш, че има сила навън от окръжността, че тази топка иска да излезе от окръжността и трябва да има сила насам. Това често се нарича центробежна сила и всъщност не съществува. Когато хората кажат, че има сила навън, която се опитва да насочи топката навън от окръжността, обикновено наричат това центробежна сила, но това не съществува. Оказва се, че това не съществува, ако използваш добра референтна рамка. Няма естествена сила навън за нещо, което се движи в кръг. Може да възразиш. Може да си кажеш: "Чакай! Ако пусна тази топка, тя излита от окръжността. Защо да не излети насам?" И няма да излети. Ако пуснеш нишката, ако нишката се скъса по някаква причина, в този момент топката няма да излети насам. Няма сила, която да я бута надясно. Ако нишката се скъса, топката просто ще следва първия закон на Нютон. Той казва, че тя ще се движи в права линия с постоянна скорост и ще се изтърколи от масата. Причината да трябва да дърпаш въжето, за да накараш топката да се движи в кръг е не е че има сила навън, а понеже топката иска да поддържа скоростта си. Има инерция, иска да продължи да се движи в права линия, но трябва да продължиш да я дърпаш, за да продължиш да променяш посоката на тази скорост. Въпреки че много хора мислят, че има центробежна сила навън, която просто естествено се получава върху обект, който се движи в кръг, няма такава. Накрая можем да се върнем тук. Мога да въведа масата тук. Накрая мога да намеря силата на опън. Ако направя това, умножавам двете страни по масата. И просто получавам, че силата на опън е масата по големината на скоростта на квадрат върху радиуса на окръжността. И ако въведа стойностите, масата беше 2, големината на скоростта беше 5, и не можеш да забравиш да повдигнеш това на квадрат. Делиш на радиуса, който беше 0,5. Получаваш, че силата на опън трябва да е 100 нютона. В този случай силата на опън, която е центростремителната сила, е равна на 100 нютона. Някои от вас може да си мислят, че това е прекалено много работа за нещо, което се оказа много лесна задача. Защо трябваше да се занимаваме с цялата тази стратегия за решаване на задачи? Съгласен съм с вас. Тази беше лесна, но други задачи няма да са лесни. Ако нямаш някаква рамка за решаване на задачи, върху която да се опреш, ще стреляш на сляпо, а това никак не е приятно. Нека използваме същата процедура, но да разгледаме нова задача. Да кажем, че имаш това. Да кажем, че караш колелото си върху кръгъл хълм. Тази сива линия представлява асфалта и отначало е равна. Но после асфалтът се извива нагоре и създава този хълм, върху който караш, а после надолу и караш към тази страна. И тази лилава окръжност представлява факта, че ако продължиш това било на хълма и го завъртиш в окръжност, то ще образува тази форма, така че това ни дава начин да определим радиуса на тази горна част на хълма. Нека дадем няколко числа. Да кажем, че радиусът на хълма е 8 метра. Да кажем, че твоята маса и тази на колелото заедно са около 100 килограма. И да кажем, че караш по хълма с 6 метра в секунда. И да кажем, че те питам каква е големината на нормалната сила, приложена към теб и колелото ти, докато караш по билото на хълма с 6 метра в секунда. Нека ти покажа какво не можеш да направиш, понеже повечето хора ще опитат да го направят. Те искат да кажат, че нормалната сила ще е равна на силата на гравитацията и следователно, след като силата на гравитацията е mg, нормалната сила трябва да е просто mg. Но това не може да е вярно. Ако силите върху обекта са балансирани и се съкратят, обектът ще поддържа своите скорост, големина и посока. Тоест този обект, след като се движи надясно, колелото просто ще продължи да се движи надясно и ще излети от този хълм. Това ще е чудесно, но не се случва. Това колело се движи надолу. Ускорява надолу след този момент, след като кара надолу по хълма. Тоест силата надолу трябва да е по-голяма. Силата на гравитацията ще е по-голяма от нормалната сила, понеже ако не беше, колелото просто щеше да излети в пространството. Как решаваш тази задача? Използваме същата стратегия, която използвахме преди. Ще начертаем диаграма на силата, но вече направихме това. Ще използваме втория закон на Нютон за една от посоките и посоката, която ще изберем, е вертикалната посока. Тази вертикална посока центростремителната посока ли е? Да, понеже виж, към окръжността е надолу. Понеже това колело е на билото на хълма, надолу съответства на посоката към центъра на окръжността, а нагоре съответства на посока навън, радиално навън от центъра на окръжността. След като си имам работа с центростремителната посока, въвеждаме формулата за центростремителното ускорение, и частта, където трябва да внимаваш най-много, е какво въвеждаш в центростремителните сили. Помни, към окръжността се брои за положително, а навън от окръжността се брои за отрицателно. И двете сили – нормалната и на гравитацията – ще бъдат включени, но само една от тях ще бъде включена с положителен знак. Помисли коя. Можеш ли да намериш коя сила ще бъде включена тук с положителен знак? Ако каза силата на гравитацията, това е правилно и е странно. Обикновено третираме силата на гравитацията като отрицателна, понеже сочи надолу, но при центростремителните сили ни интересува дали посоката е към или навън от окръжността. Ще третирам гравитацията като положителна центростремителна сила. Гравитацията е силата, която сочи към центъра на окръжността, а нормалната сила в този случай ще е отрицателна центростремителна сила, след като е насочена навън от центъра на окръжността. И после делим на масата. Ако искаме да намерим нормалната сила, ако направиш някои изчисления, ще умножим двете страни по m, преместваме Fn и после преместваме mv^2 в другата страна и получаваме, че mg минус m по v^2/r е равно на нормалната сила, което, ако въведем числата, ни дава 100 килограма по 9,8 минус 100 килограма по големината на скоростта на квадрат, това ще е 6 метра в секунда на квадрат, делено на радиуса на окръжността, по която обикаляме, който е 8 метра. И получаваш 530 нютона. Нормалната сила върху теб и колелото ти, докато караш върху този хълм, е 530 нютона. Това не е равно на теглото ти. Това е по-малко от теглото ти. Силата на гравитацията върху теб ще е m по g, това ще е около 980 нютона. Изпитваш по-малко нормална сила и това е нормално. Това се случва, когато караш бързо по някой хълм. Чувстваш се с по-малко тегло, докато караш по хълма. Ако пътуваш с кола по хълм малко по-бързо, усещаш това странно чувство в стомаха си и сигурно смяташ, че е готино. Това, което чувстваш през този момент, е безтегловността. Ако се движиш твърде бързо, тази нормална сила ще стане 0. Ще извадиш толкова много mv^2/r, че нормалната сила става 0. Когато това се случи се носиш във въздуха, така че внимавай, докато караш по хълмове. Ако караш твърде бързо, ще се носиш по въздуха, тъй като нормалната сила ще стане 0. Да обобщим, когато решаваш задачи с центростремителна сила, начертай качествена диаграма на силата. После използвай втория закон на Нютон за всяка от посоките поотделно. Ако използваш центростремителната посока – посоката, насочена радиално към окръжността, можеш да кажеш, че ускорението в тази посока е v^2/r, но внимавай да въведеш само силите, които са насочени радиално, тоест силите, които са насочени към или навън от окръжността. Ако сочат към окръжността, те ще са положителни сили, а ако сочат навън от окръжността, ще са отрицателни сили.