Преговор на инфлексни точки

Прегледай знанията си върху инфлексни точки и как използваме диференциалното смятане, за да ги намираме.

Какво са инфлексни точки?

Инфлексни точки (или точки на инфлексия) са точки, в които графиката на една функция променя вдлъбнатостта или изпъкналостта си (от

\cup

към

\cap

или обратно).

Искаш ли да научиш повече за инфлексните точки и диференциалното смятане? Разгледай това видео.

Упражнения 1: Графично изследване на инфлексни точки

Задача 1.1

Колко инфлексни точки има графиката на $f$ ‍?

Искаш ли да решиш още подобни задачи? Разгледай това упражнение.

Упражнения 2: Алгебрично изследване на инфлексни точки

Инфлексните точки се намират подобно на точките на екстремум. Обаче вместо да търсим точките, в които производната променя знака си, търсим точките, в които втората производна променя знака си.

Например нека намерим инфлексните точки на

f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + x^{3} - 6 x^{2}

Втората производна на

f

f^{″} (x) = 6 (x - 1) (x + 2)

f^{″} (x) = 0

за

x = - 2, 1

и е определена навсякъде.

x = - 2

x = 1

разделят числовата ос на три интервала:

Нека сметнем

f^{″}

за всеки интервал, за да видим дали е положителна или отрицателна в този интервал.

Интервал	Стойност на $x$ ‍	$f^{″} (x)$ ‍	Заключение
$x < - 2$ ‍	$x = - 3$ ‍	$f^{″} (- 3) = 24 > 0$ ‍	$f$ ‍ е изпъкнала $\cup$ ‍
$- 2 < x < 1$ ‍	$x = 0$ ‍	$f^{″} (0) = - 12 < 0$ ‍	$f$ ‍ е вдлъбната $\cap$ ‍
$x > 1$ ‍	$x = 2$ ‍	$f^{″} (2) = 24 > 0$ ‍	$f$ ‍ е изпъкнала $\cup$ ‍

Можем да видим, че графиката на

f

променя изпъкналостта си в

x = - 2

x = 1

, следователно

f

има инфлексни точки в двете стойности на

x

Задача 2.1

g (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 18 x^{2}

При кои стойности на $x$ ‍ графиката на $g$ ‍ има инфлексна точка?

Искаш ли да решиш още подобни задачи? Разгледай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.