Определен интеграл от функция с абсолютна стойност

Имаме дадено, че f от х е равно на модул (абсолютна стойност) от х плюс 2. Искаме да изчислим определен интеграл от минус 4 до 0, f от x, dx. Отново ти препоръчвам да спреш видеото и да видиш можеш ли да се справиш самостоятелно. Когато първо се сблъскаш с този пример, може да се объркаш малко. Как да намериш примитивната функция на функция с модул? Един от възможните начини е да запишеш функцията без модула. Може да го направим, като я представим като частично зададена функция. Начинът, по който ще го направя, е да помисля за интервали, където изразът под знака за модул, е положителен, и други интервали, в които всичко, което е под знака за модул, е отрицателно. А точката, където става тази смяна, е мястото, където х плюс 2 е равно на 0, или х е равно на минус 2. Нека да помислим върху интервалите х < –2 и х е по-голямо или равно на –2. Това може да е по-малко или равно и тогава това ще бъде по-голямо. Както и да се представи, ще бъде равно на ето тази абсолютна стойност, което е непрекъсната функция. Нека да разгледаме по-лесния вариант. Когато х е по-голямо или равно на минус 2. Тогава х плюс 2 ще бъде положителна стойност. Ще бъде по-голямо или равно на 0. Тогава модул от функцията ще бъде равно просто на х плюс 2. Ще бъде равно на х плюс 2, когато х е по-голямо или равно на минус 2. А какво се получава, когато х е по-малко от минус 2? Когато х е по-малко от минус 2, х плюс 2 ще бъде отрицателна стойност. Тогава, когато търсим абсолютна стойност от отрицателно число, ще получим противоположното му. Следователно това ще бъде равно на минус х плюс 2. Искаме да разберем това наистина, защото това е най-трудната част от задачата. Всъщност това е повече алгебра, отколкото анализ. Нека да начертая функцията от абсолютна стойност, за да стане по-ясно. Това е моята ос х, а това е моята ос у. Нека да кажем, че се намираме ето тук, в точката минус 2. Когато х е по-малко от минус 2, то графиката на функцията ще изглежда ето така. Ще изглежда като нещо такова. А когато х е по-голямо от минус 2... ще го запиша с различен цвят... то функцията ще изглежда по следния начин. Ще изглежда ето така. Забележи – ето това в синьо е графиката на х + 2. Може да кажем, че това е графиката на у = х + 2. А това, което имаме в лилаво ето тук, е графиката от –х – 2. Притежава отрицателен наклон и пресича оста у в точката –2. Има логика. Има много начини, по които може да разсъждаваш за това. Сега, след като вече веднъж сме разделили функцията, може да разделим интеграла. Може да кажем, че това, което записахме тук, е равно на интеграл от минус 4 то 2... О, извинявам се! От –4 до –2, f от x, dx. Това е ето този случай. Функцията ще бъде минус х минус 2. Просто умножих израза в скобите по минуса отпред. Следва плюс определен интеграл от минус 2 до 0, от х плюс 2, dx. Нека да се уверя, че знаем какво правим. Ако това тук е минус 4, т.е. ето тук, това е 0, то първият интеграл ще ни даде ето тази площ тук. Това е площта под кривата минус х минус 2, т.е. под тази крива или права, и над оста х. А вторият интеграл представлява ето тази площ, ето тук между х + 2 и оста х, от минус 2 до 0. Нека да изчислим тези интеграли. Може да го направим и чрез триъгълници. Нека да го направим обаче алгебрично или аналитично. На какво е равна примитивната функция на минус х? На минус х квадрат върху 2. И след това имаме минус 2. Следователно примитивната функция е минус 2х. Ще изчислим този израз за минус 2 и минус 4. На какво ще бъде равен този израз? Минус 2 квадрат. Това е минус от минус 2 на квадрат. Получава се минус 4 върху 2, минус 2, умножено по минус 2, т.е. плюс 4. Това е стойността на израза, изчислена за минус 2. Следва минус и да изчислим израза за минус 4. Ще имаме минус от минус 4 на квадрат, което е 16 върху 2, минус 2 по минус 4. Това е равно на плюс 8. Какво се получава за тази разлика? Това е минус 2, а това ето тук е минус 8. Вторият член в тези скоби ще бъде равен просто на 0. Правилно ли го пресметнах? Да. –16/2 е минус 8, а това е плюс. Добре, получава се 0. А тук имаме минус 2 плюс 4, което ще бъде равно на 2. Това, което имаме тук в лилаво, е равно на 2. Следва да намерим това, което имаме тук в синьо. Нека да видим. Това е примитивната функция на х квадрат върху 2 плюс 2х. Ще го изчислим за 0 и за минус 2. Изчисляваме този израз за 0. Получава се 0 и от това ще извадим минус 2 на квадрат върху 2. Това е плюс 4 върху 2, което е равно на плюс 2. А след това плюс 2 по минус 2, т.е. равно е на минус 4. Тогава за синия израз се получава минус от минус 2, т.е. плюс 2. Тоест имаме 2 плюс 2. И това има смисъл. Това, което имаме в лилаво, е равно на 2, и това, което имаме в синьо, е равно на 2. Тук се наблюдава симетрия. Тук има симетрия. Тогава събираме двете площи и получаваме, че интегралът е равен на 4. И отново, за да проверим отговора, може да направим следното. Тук височината е равна на 2. Широчината, или основата, е равна на 2. 2 по 2, по 1/2 е действително равно на 2. Същото нещо имаме ето тук. Това е геометрично доказателство, защо тази площ е 2 и тази площ е 2. Събираме ги и получаваме плюс 4.