Решен пример: степенен ред за cos(x)

Да видим дали можем да представим като ред на Маклорен функцията f(х) = х^3 по cos(х^2). Насърчавам те да спреш видеото и да опиташ самостоятелно. Спомни си, ред на Маклорен е просто ред на Тейлър, центриран около нула. Да кажем, че целта ни е да намерим първите пет члена, различни от 0, от представянето като ред на Маклорен или на апроксимацията с ред на Маклорен. Предполагам, че спря видеото и се опита да го решиш. Много е вероятно това да те е вбесило, докато го правиш, защото за да намерим ред на Тейлър или на Маклорен трябва да намерим производните на функцията, а това тук става с много мъки. f'(х) ще бъде, да видим, производна от нещо на степен, функцията е х^3 cos(х^2) плюс х^3 по производната на това, което става 2х по –sin(х) – sin(x^2). Още това е доста трудно. И ще става още по-трудно с втората, третата и четвъртата производна. Може да ни трябват и още, защото някои от тези членове може да са нули. Ще ни трябват първите пет члена, различни от нула. Втората производна ще е много трудна. Това ще е мъчително. А после и третата, и четвъртата производна ще са даже още по-мъчителни. Какво да направим? Можеш да направиш следното – да ги сметнем за нула, а после да ги използваме за коефициенти, но вероятно правилно се досещаш, че има и по-лесен начин. Ще ти дам подсказка. Знаем реда на Маклорен за косинус от х. Правихме го в предишното видео. Ако искаш да го видиш пак, има и друго видео. Потърси "Ред на Тейлър за косинус от нула" в Кан Академия, и ще го намериш. Но вече знаем от там, и това е един най-известните редове на Маклорен. Знаем, че това е g(х). g(х) е равно на cos(х). Знаем какво представлява това. Има приближение на това с ред на Маклорен, което е 1 – х^2/2! + х^4/4! –х^6/6! плюс... и можем да продължим така до безкрайност. Виждаш накъде отиваме. + х^8/8! и продължава по този начин. Минус, плюс, до безкрай. Но на нас ни трябват първите пет члена, така че това е начало. Знам, че ни трябват първите пет члена от това, но следи мисълта ми. Сега ще видим как можем да използваме това тук. След като ти припомних представянето на cos(х) с ред на Маклорен, ще ти подскажа следното: дали можем да използваме това, за да представим този израз с ред на Маклорен? Спомни си, че това тук е х^3 по... Ще ти го прочета отново, това е x^3 по g(х^2). Това е голяма подсказка. Насърчавам те да спреш видеото отново и да опиташ самостоятелно. Ще го преработя. Предполагам, че опита. Ще преработя това, което току-що написах. Току-що ти казах, че g(х)... или f(х)... ако искам да го напиша като, да го представя като функция, или ако искам да я конструирам, като използвам g(х), мога да препиша това като х^3 по... вместо cos(х^2), това ще бъде g(х^2). Значи х^3 по g(х^2). g(х) е просто косинус от х на квадрат. След това го умножаваме по х^3. Можем ли да използваме това за апроксимацията? Може да зададеш този въпрос. А аз ще ти отговоря: "Да, можем, абсолютно." Обърни внимание, че когато заместваш х с x^2, просто получаваш друг полином. Умножаваш по х^3, и просто получаваш друг полином. Това всъщност ще е представяне като ред на Маклорен на това, с което започнахме. Всъщност ще получим представяне като ред на Маклорен на това нещо тук. Можем да кажем, че f(х) е приблизително равно на x^3 по... Ще си оставя малко място ето тук. g(х^2). Това тук е апроксимация на g(х), и можем да продължим така до безкрайност, това е представяне на g(х). Навсякъде, където видим х, можем да заместим с х^2. Тук ще стане 1 минус... х^2 на квадрат е x^4 върху 2! който е равен просто на 2, но искам да виждаме факториела, за да се вижда закономерността. Плюс, ако сега нашето х е равно на x^2, х^2 на четвърта степен е равно на x^8 върху 4! минус х^2 на шеста степен, което е x^12 върху 6!, и после плюс (x^2)^8, което става х^16 върху 8!, и можем да продължим до безкрайност по този начин, минус, плюс. Но нас ни интересуват само първите 5 члена, които не са нула, и току-що казах, че това е апроксимация. Така че можем да кажем, че това ще бъде, приблизително е равно на, ще умножим по х^3, ще го направя с цикламено, просто за разнообразие, значи умножаваме по х^3, получаваме х^3 минус х^7 върху 2! плюс х^11 върху 4!, минус х^15 върху 6! плюс х^19 върху 8! Това са първите пет члена, различни от нула, и сме готови. Като виждаш какво получихме, ти става ясно, че би ти отнело цяла вечност, за да стигнеш до него директно, с "груба сила", ако мога да кажа така, защото трябваше да стигнеш до 19-а производна на това тук. Но когато осъзнаеш това, сигурно ще се зачудиш дали можеш да преработиш тази функция и да я представиш като х на някаква степен по нещо, за което по-специално знаем, че е ред на Маклорен, Можеш да си го представиш така: Е, ако избереш да вървиш по този път... Ще го кажа по по-малко объркващ начин. Ако преработим нашата функция, така че да е равна на... Даже тук мога да сложа един коефициент. Ако е равна на някакво А по х^n, умножено по някаква функция... Ще използвам нов цвят, цикламено... по g от b по х на някаква друга степен, за която мога много лесно, без много пресмятания, може би вече ни е известно, да намеря ред на Маклорен, или може би той вече ни е известен, на g(х), ако знаем какво ще бъде g(х), тогава ще направя точно това, което направих в това видео. Намираме представянето на g като ред на Маклорен, на всяко място, където има х, заместваме с това ето тук, bx^m, като m е степенният показател. Така ще получим друг полином, друг степенен ред, а после умножаваме по ax^n, и това, отново, дава друг степенен ред, и това е степенният ред за началната ни функция. Много вълнуващо.