Изобразяване на апроксимации на реда на Тейлър

Доста говорихме за използването на полиноми за апроксимиране на функции, но сега в това видео искам искам да покажа как реално работи апроксимирането. Ето тук използвам инструмент на WolframAlpha. Това е страхотен уебсайт. Можеш да правиш всякакви шантави математически неща. WolframAlpha.com – копирах и поставих това от този сайт. Срещнах Стивън Волфрам на конференция преди много време. И той ми позволи да използвам WolframAlpha в моите видео уроци. И аз казах, супер, ще ги използвам. И ето сега го правя. Това е много полезно, защото... можем да сметнем много от тези сами, или даже с помощта на калкулатор. Но тук на WolframAlpha това става само в една стъпка. Да видим колко добре можем да апроксимираме синус от х с помощта на развиване на ред на Маклорен, или можем да кажем с развиване на ред на Тейлър за х = 0 с използване на все повече и повече членове. И да се убедим, че колкото повече членове добавяме, толкова по-добре приближаваме кривата. Това в оранжево тук е графиката на sin(х). Би трябвало да ти е добре познато. В предишните видео уроци намерихме развиването на реда на Маклорен за sin(х). WolframAlpha също може да го направи за нас. Те всъщност изчисляват факториелите. 3! е равно на 6, 5! е равно на 120, и така нататък. Интересното тук е, че можеш да избереш колко апроксимации искаш да бъдат изобразени. Това, което правят, ако искаш само един член на апроксимацията... ако всичко това тук го няма. Ако кажем, че полиномът е равен просто на х, как ще изглежда това? Това ще бъде тази графика ето тук. Казват ни за кой член... колко членове използваме чрез това колко точки има тук, което мисля, че е много умно. Значи това тук, това е функцията р(х) = х. Това е много груба апроксимация, макар че за sin(х) не е толкова зле. Тя съвпада с графиката на sin(х) ето тук и след това се отдалечава от кривата отново. Добавяме още един член. Ако имаме х – х^3/6. Сега имаме два члена в развития полином. Или можем да кажем, че сме до члена от трета степен, защото те така номерират точките. Тук не става въпрос за броя на членовете. Те отразяват степента на членовете. Тук има една точка, защото имаме само член от първа степен. После тук имаме два члена, тъй като... когато развием за sin(х), тук няма член от втора степен. Това е апроксимация с полином от трета степен. Да видим за трета степен. Търсим три точки. Това е тази крива ето тук. Имаме този пръв член, това е просто права линия. Добавяме –х^3/6. Сега получаваме крива, която изглежда ето така. Обърни внимание, че тя се приближава още по-добре от преди. И имаме съвпадение в малко по-голям участък. Повтарям, като добавим само този втори член, това става много по-добре. Приближава се до кривата на синуса по-добре, особено около малките числа. Добавяме още един член. Сега имаме полином от пета степен. Значи х – х^3/6 + x^5/120. Да намерим пет точки. Това е ето тази крива - едно, две, три, четири, пет. Това е ето тази крива. Забележи, че тя съвпада с графиката по-напред от цикламената версия, и продължава да върви с нея по-дълго. После се обръща ето така. Значи съвпада по-продължително. И ще видиш, че аз продължавам. Ако имаме тези първи четири члена, това е полином от седма степен. Да намерим седем точки. Те идват ето така. Отново, съвпада с графиката на функцията по-рано, отколкото когато имахме само три члена. И продължава да върви с графиката на функцията чак до тук. И сега последната. Ако имаме всичките тези членове до х^9, съвпадението е още по-голямо. Започваме от тук. Съвпада с графиката по-дълго от другите и се отделя. И ако помислиш, това е логично, защото всеки следващ член, който добавяме към полинома, има х на по-висока степен върху много, много по-голямо число. За малките стойности на х... когато сме близко до началото, за малките стойности на х, знаменателят ще е по-голям от числителя, особено под 1. Защото, когато повдигнем на степен нещо, чиято абсолютна стойност е по-малка от 1, всъщност ние го смаляваме. Така че, когато сме близо до началото, тези членове отзад нямат голямо значение. Един вид не губим много от прецизността на предишните членове. Когато дойдат тези членове, тогава числителят вече може да е по-голям от знаменателя. Така този последният член започва да оказва влияние, когато изведнъж х^9 става по-голямо от 362 880. Същото става и в отрицателната страна. Надявам се, че разбираш логиката. Тук имаме само един, два, три, четири, пет члена. Но представи си какво става, когато имаме безкраен брой членове. Мисля, че разбираш добре, че това ще следва плътно графиката на синус до безкрайност. Надявам се, че това ти дава малко повече увереност. И просто за забавление, можеш да напишеш... можеш да въведеш ред на Тейлър около нула и синус от х, или ред на Маклорен за синус х, за косинус от х, за е^х на WolframAlpha.com. Можеш да пробваш куп различни функции. И можеш да добавяш и да махаш членове, за да видиш как се променя съвпадението с графиката на функцията.