Преобразуване на явни членове на ред в запис с използване на знака за сума (n ≥ 2)

Нека да ни е дадена тази сума тук, за която индексът започва от 2 и е до безкрайност, и този безкраен ред е равен на 8/5 + 16/7 – 32/9 +... и продължаваме до безкрайност. И тук искам да дефинираме явно a_n чрез n. Затова казваме, че ако вземем сумата от a_n за n от 2 до безкрайност, получаваме тази сума тук. Но да помислим колко е а_n, как можем да го дефинираме чрез n. Насърчавам те да спреш на пауза видеото и да опиташ самостоятелно. Първото нещо, което може би осъзнаваш, е, че тук ще получим едно число. Ще го запиша по следния начин. a_2 е равно на –8/5. а_3 е равно на 16/7. а_4 е равно на –32/9. Поставям знака към числото в числителя. –(8/5) е равно на (–8)/5. Нека да го изясня. Това е (–8)/5. Очевидно, това е положително, така че не трябва да се тревожа за него. После тук имаме –(32/9), което е същото като (–32)/9. Да видим първо дали можем да намерим зависимост за числителя. Отиваме от –8 до 16, какво се случва? Умножаваме по –2. После отиваме от 16 до –32, като отново умножаваме по –2. Може да кажеш, че каквото и да имаме в числителя, то трябва да е степен на –2. Добре, ако кажем, че може би това е равно на (–2)^2, но знаем, че –8 не е (–2)^2. (–2)^2 е равно на +4. –8... това ето тук. –8 е равно на –2 на трета степен. 16 е равно на –2 на 4-та степен. –32 е равно на –2 на 5-та степен. Обърни внимание, повдигаме –2 на степен, която винаги е с 1 повече от нашия индекс. Индексът е 2, степенният показател е 3. Индексът е 3, степенният показател е 4. Индексът е 4, степенният показател е 5. Това ни показва какво се случва в числителя. Какъвто и да е индексът, тук ще бъде... ще го напиша. За а_n равно на... това е равно на –2 на степен, за произволен индекс, на степен индексът + 1. Това е добър начин да представим числителя. Сега да разгледаме знаменателите. Върху... имаме 5, значи за n = 2 имаме 5. После за n = 3 имаме 7. После за n = 4 имаме 9. Забележи, че 5 е равно на 2 по 2 плюс 1. После имаме 2 по 3 плюс 1. После имаме 2 по 4 плюс 1. Можеш да пробваш различни зависимости наум, докато установиш, че това се увеличава с 2 всеки път. Обърни внимание, че се увеличава всеки път с 2. Но това не е точно умножено по 2. Това изглежда е с 1 повече от произведението с 2, което е добър знак, че тук ще бъде 2 по индекса плюс 1. Значи записваме 2 по индекса плюс 1. И сме готови. Намерихме а_n. Ако искаме да запишем този ред със знак сигма, можем да запишем това като сумата за n от 2 до безкрайност от –2 на степен (n + 1) върху (2n + 1). И това е равно на този ред ето тук.