Условия една трансформация да бъде едно-към-едно

Дадена е матрицата А. Ако се опитам да определя нулевото пространство на А, всъщност търся – ако съставя равенството А по х равно на нулевия вектор, то нулевото пространство на А включва всички стойности на х, които удовлетворяват равенството. Всички стойности на х, които удовлетворяват равенството А по х равно на нулевия вектор, или можем да наречем това система. Начинът, по който се решава това – правили сме го много пъти – преди доста клипове – трябва да се състави разширена матрица с този вектор. Разширената матрица ще изглежда ето така. Отдясно е нулевият вектор. После извършваме някои операции по редове, за да може лявата страна да се редуцира до ешелонна форма. Значи правим редица операции. Лявата страна трябва да се преобразува в ешелонна форма. Да наречем това редуцирана ешелонна форма на матрицата А. Дясната страна си остава просто 0, защото извършваме същите операции по редове. Но когато те се прилагат към 0, тук просто си остава нулевият вектор. След това, когато ги разделим – когато съставим система обратно тук, защото тези две системи са еквивалентни, то на практика ще получим множеството от решения, което ще е нещо такова. Ще получим... ще го напиша по следния начин: множеството от решенията ще бъде равно на някакво произведение по скалар (число) Да кажем, че от свободните променливи ще се получат някакви скаларни множители. Виждал/а си това много пъти, така че ще го оставя съвсем общо. Това ще бъде някакъв скаларен множител по вектор 1 плюс друг скалар по вектор 2, тези числа обикновено са свободните променливи – по вектор 2, и така нататък, до – не знам, нека да е с по n-ия вектор. Опитвам се да остана в общия случай. Не сме виждали примери, в които тук има повече от два или три вектора. Ето това по принцип е нулевото пространство, чиято линейна обвивка са тези вектори ето тук. Получаваш равенството – получаваш множество от решения, които изглеждат ето така, и това се нарича нулево пространство. Правили сме го много пъти. Нулевото пространство е това, така че всичко това са линейни комбинации, или линейната обвивка на тези вектори, които те водят тук. n1, n2 и т.н. до nn. Тук няма нищо ново. Просто повтарям неща, които сме виждали много, много пъти досега. Всъщност правихме това в предишното видео. Но може би не съм го записвал точно по този начин. А какво да кажем за случая, когато решаваме нехомогенно уравнение. Нехомогенното уравнение изглежда ето така. Ако искам да реша А по х = b, ще направя нещо много подобно на това. Ще направя една разширена матрица. Отляво ще е матрицата А, а отдясно ще е b, и ще извърша различни операции по редове, за да преобразувам А в ешелонна форма. Ще го направя. Тук отляво ще е редуцираната ешелонна форма на А. После отдясно – каквито операции извърша спрямо А, трябва да ги направя на целия ред. Трябва да ги приложа и спрямо b. Значи тук ще имам един нов вектор. Може би ще го нарека вектор... ще го нарека вектор b'(прим). Той е различен от вектор b, нека просто го означим като b'. И когато се върнем към – предполагам, че когато излезем от света на разширената матрица и преработим това като система и я решим, както го направихме в предишното видео – ще получим множеството от решения. Множеството от решения, които удовлетворяват това ще бъде – х ще бъде равно на b', този нов вектор, на този вектор b' плюс нещо, което изглежда ето така. То изглежда точно така, всъщност ще копирам и поставя, изглежда точно ето така. Да видим дали го копирах. Копирам и поставям. Едит, копи и поставям. Значи ще изглежда точно като това. В последното видео казахме, че един вид можем... като знаем това, един вид можем да разглеждаме множеството от решения на нехомогенното уравнение като еквивалентно на някакво конкретно решение, да го наречем х определено, някакво конкретно решение, плюс някакъв член на нулевото пространство. Значи това е плюс някакво хомогенно решение. Ако избереш някакви конкретни стойности за а, b и c, всички различни кратни на вектора, които представляват линейната обвивка на нулевото пространство, ще получиш някакво конкретно хомогенно решение. Значи това, което допуснах в предишното видео, но не го доказах подробно, е, че всяко решение на нехомогенната система – ще го напиша по следния начин – всяко решение – ще използвам бяло, но това не е бяло – всяко решение на нехомогенната система А по х = b, това беше моето твърдение, ще има вида – някакво конкретно решение – което беше това тук, може би трябва да използвам зелено – това е ето това тук – когато преобразуваме в ешелонна форма, то става този вектор b'. Плюс някакво хомогенно решение, значи някакъв член на нулевото пространство. Това не съм го доказвал, но допускам, че това е така. В това видео искам да направя едно малко по-подробно доказателство, но то всъщност е много просто. Първо да се уверим, че това е решение. Да се уверим, че това е решение. Ще заместя това в първоначалното уравнение. Да си припомним, че първоначалното уравнение беше А по х = b. Да проверим. Ще поставя въпросителен знак. Дали това конкретно решение, плюс някакво хомогенно решение е решение на А по х равно на b? За да проверя, просто замествам х с това. Да опитаме. Значи А по това тук, по някакво конкретно решение, плюс някакво хомогенно решение, е равно на А по конкретното решение, плюс А по някакъв член на нулевото пространство. На какво е равно това? Това е равно на b. Нали? Казваме, че това е конкретно решение на това уравнение. Това ще бъде равно на b и това ще е равно на нулевия вектор, защото това е решение на нашето хомогенно уравнение. Значи това ще бъде b + 0, или това е равно на b. Значи А по този вектор тук е равно на b. Значи това е решение. Да, това е решение. Следващият въпрос е дали всяко решение на нехомогенната система... или дали всяко решение на нехомогенната система ще има този вид? Дали всяко решение х на А по х = b ще има вида х равно на някакво конкретно решение, плюс член на нулевото пространство, или плюс хомогенно решение. За да отговорим, да проверим какво се случва, когато умножим вектор А по х – ще го напиша по този начин. Да кажем, че х е произволно решение на А по х = b. Да започнем с това. Да видим какво се случва, когато вземем А по х минус някакво конкретно решение на това. Когато извършим умножението на матрицата с вектор, получаваме А по новото решение минус А по конкретното решение. На какво ще е равно това? Казваме, че това е решение на А по х = b. Значи това ще е равно на b. Разбира се, всяко конкретно решение на това, когато го умножим по А също ще бъде равно на b. Значи това ще бъде b минус b, което ще е равно на нулевия вектор. Друг начин да го разглеждаме е, че вектор х минус нашето конкретно решение е решение на А по х = 0. Представи си, че взимаш това в скобите ето тук, и го поставяш ето тук, и го умножаваш по А, ще получиш нулевия вектор. Току-що направихме това, получихме нулевия вектор, защото, когато умножаваме всеки от тези по А, получаваме b и получаваме b минус b. Така получаваме нула. Значи можем да кажем, че х минус... произволно решение х минус конкретно решение х принадлежи на нулевото пространство. Нали? По определение нулевото пространството са всички х, които удовлетворяват това уравнение. Значи щом е член на нулевото пространство, можем да кажем, че е равно на... значи произволно решение минус конкретното решение е равно на някакъв член на нулевото пространство. Можем да кажем, че е равно на хомогенно решение. Може да има повече от едно. Хомогенно решение. Сега, ако искаме просто да добавим нашето конкретно решение към двете страни, ще получим, че всяко решение – спомни си, ние допускаме, че х е произволно решение на това – че произволно решение е равно на нашето хомогенно решение плюс конкретно решение, или плюс нашето конкретно решение. Значи го доказахме и по двата начина. Това е решение на нашето нехомогенно уравнение, и всяко решение на нашето нехомогенно уравнение има този вид ето тук. Интересува ме също така... аз се бях фиксирал върху това нехомогенно уравнение за известно време. Но ние говорехме за това, че трансформацията е едно-към-едно. Това беше едно от двете условия за това трансформацията да е обратима. За да бъде едно-към-едно... ще начертая една трансформация тук. Да кажем, че това е множеството на първообразите Х, а това е множеството на образите Y, и имам трансформация, която изобразява от Х в Y. За да бъде Т едно-към-едно... ще го напиша по този начин – едно-към-едно. За да бъде Т едно-към-едно, това означава, че произволно b, което избера ето тук, и което принадлежи на множеството на образите, има най-много едно решение на А по х. Приемаме, че А е нашата трансформационна матрица, така че можем да запишем, че трансформацията Т е равна на някаква матрица по вектора в нашето множество на първообразите. Значи това ще е А по х, ако това тук е х, така че Т ще изобрази от тук в това ето тук. За да бъде нашата трансформация едно-към-едно, това означава, че ако изберем произволно b тук, ще има най-много едно решение на А по х = b. Друг начин да формулираме това е да кажем, че има най-много един елемент, който се изобразява в този елемент в множеството на образите. Може и да няма. Така че тук няма да има решение на това, но тук трябва да има най-много едно решение. Сега, току-що казах, че всяко решение на нехомогенното... ще го запиша със синьо – всяко решение има вида – ако има решение. Ако няма решение, няма проблем. Това удовлетворява едно-към-едно условието. Но ако има решение, всяко решение трябва да има вида х конкретно плюс член на нулевото пространство. Където това тук е член на нулевото пространство. Това нещо тук се отнася за този член. Ето тук. Всяко решение, ако съществува решение, ако не съществува решение, това не е проблем. Пак може да е едно-към-едно. Но ако има решение, трябва да има най-много един елемент, който се изобразява в него, и всяко решение трябва да има този вид. Току-що го показах. За да бъде това едно-към-едно, това трябва да е единствено решение. Множеството от решения трябва да съдържа единствено решение. Можем да имаме само едно решение тук, нали? Какво означава това? Това означава, че това тук не може да бъде повече от един вектор. Трябва да е само един вектор. Тук има само едно конкретно решение. Но това тук трябва да бъде – за всяко множество от решения, в зависимост как е дефинирано, тук ще има само един конкретен вектор. Но ето тук, единственият начин, по който ще има само едно решение е ако нулевото пространство е тривиално, ако то съдържа само нулевият вектор. Значи нулевото пространство, като минимум, съдържа нулевият вектор. В последното видео мисля, без подготовка, казах, че нулевото пространство трябва да бъде празно. Но нулевото пространство, по определение, поради факта, че то е подпространство, то винаги съдържа нулев вектор. Винаги можеш да умножиш А по 0 и да получиш 0. Значи нулевото пространство ще съдържа винаги това. Но за да има само едно решение нулевото пространство може да има само нулевия вектор, така че това може да е само 0. Значи единственото решение ще бъде конкретното решение, което намерим, в зависимост от това какво получаваме тук, но то ще бъде само нашето конкретно решение. Ще го кажа по следния начин. За да бъде едно-към-едно, нулевото пространство на трансформационната матрица трябва да бъде тривиално. То трябва да съдържа само нулевия вектор. Това разглеждахме преди много, много уроци. Какво означава нулевото пространство да съдържа само тривиален вектор? Искам да го поясня. Ако векторът на трансформацията изглежда ето така – а1, а2... an, и ако го умножим по х1, х2... хn, и нулевото пространство съдържа всички х, които удовлетворяват това уравнение, то тогава тук ще има m на брой нули. Значи, ако нулевото пространство е тривиално, и ако кажем, че това е условие, за да бъде едно-към-едно, то тогава за да бъде трансформацията едно-към едно, трансформацията е определена от тази матрица. Ако нулевото пространство е тривиално, какво означава това? Това означава, че единственото решение на – друг начин да го изразим е, че х1 по а1, плюс х2 по а2, и така нататък, до xn по an, е равно на нулевия вектор. Това тук са еквивалентни твърдения. Просто умножаваме всеки от тези членове по тези съответни вектор-стълбове. Тези твърдения са едно и също. Сега, ако кажеш, че нулевото пространство трябва да е равно на 0, казваш, че единственото решение на това уравнение тук, единствените скалари, които удовлетворяват това уравнение – о, извинявам се, това не е... всъщност – понеже написах скаларите като вектори – значи това тук, това твърдение тук, е еквивалентно на х1 по а1, плюс х2 по а2, плюс... до xn по an, е равно на нулевия вектор. Където х1 до хn са скалари. Ако кажем, че нулевото пространство е 0, казваме, че единственият начин това да бъде изпълнено е ако х1...хn е равно на 0. Това означава – това е определението за линейна независимост. Това означава, че а1... за да бъде нулевото пространство 0, това означава, че вектор-стълбовете на А – ще го запиша по този начин – означава също, че а1, а2... an са линейно независими. Какво означава това? Ако всички тези вектори са линейно независими, тогава какъв ще бъде базисът на векторното пространство? Спомни си, векторното пространство е линейната обвивка. Векторното пространство на А е равно на линейната обвивка на а1, а2... an. Както току-що казах, ако това е едно-към-едно, или едно от условията, или условието да бъде едно-към-едно е нулевото пространство да бъде 0, или да съдържа само нулевия вектор. Ако нулевото пространство съдържа нулевия вектор, тогава всички стълбове са линейно независими. Ако всички тези стълбове са линейната обвивка на векторното пространство и са линейно независими, тогава те образуват базис. Това означава, че а1, а2... an са базис на нашето векторно пространство. Което пък означава, че ако всички вектор-стълбове тук са линейно независими, те очевидно са линейната обвивка на векторното пространство по определение, а щом са линейно независими, те образуват базис. Значи размерите на нашия базис, размерите на векторното пространство, това всъщност е броят на векторите, които са нужни, за да образуват базис, и той е равен на n. Имаме n стълба. Значи това ще е равно на n. Друг начин да изразим това е, че рангът на матрицата ще бъде равен на n. Сега имаме условието една трансформация да бъде едно-към-едно. Една трансформация ще бъде едно-към-едно тогава и само тогава, когато рангът на матрицата е равен на n. Важи и в двете посоки. Ако приемем, че една трансформация е едно-към-едно, това означава, че нулевото пространство тук трябва да съдържа само нулевия вектор, така че има само едно решение. Ако нулевото пространство съдържа само нулевия вектор, тогава това означава, че неговите вектор-стълбове са линейно независими. Което означава, че те всички са част от базиса. Което означава, че имаме n вектори на базиса, или рангът на матрицата е n. И по обратния начин – ако имаме ранг n, това означава, че всички тези вектори са линейно независими. Ако всички те са линейно независими, тогава нулевото пространство съдържа само нулевия вектор. Нулевото пространство е просто нулевият вектор, тази част от решението изчезва. Тогава ни остава само едно решение. Значи е едно-към-едно. Значи е едно-към-едно тогава и само тогава, когато рангът на матрицата на трансформацията е равен на n.