Връзка между обратимост на функция и сюрективност и инективност на функцията

Преди няколко урока научихме, че една функция, която е изобразяване от множеството Х в множеството Y е обратима тогава и само тогава, когато – ще запиша тук "if" с две букви "f" – тогава и само тогава, когато за всяко у – ще го напиша в жълто – когато за всяко у, което принадлежи на множеството на образите, съществува единствен – малко ще удебеля това – единствено х, което принадлежи на множеството на първообразите, такова че f(х) е равно на това у. Това означава просто, че ако взема множеството на първообразите ето тук, това е Х, и после ако това е множеството на образите, това е Y, тогава функцията f е обратима – знаем какво значи обратимост, това означава, че съществува тази друга функция, която е наречена обратна, която всъщност, ако вземем нейна комбинация с f, това отново ни връща х. Ако комбинираме f с нея, това отново ни връща у. Правихме това много пъти, така че няма да го повтарям. Знаем какво означава обратимост, но научихме, че е обратима тогава и само тогава, когато за всяко у – взимаме произволно у, което принадлежи на множеството на образите, съществува уникален елемент х, такъв, че f(х) е равно на това у. Ще го напиша по този начин. Ако това е х, да кажем, че е х нулево, f(х0) ще е равно на у. Значи това у е равно на f(х0). Прилагаме функцията. Тя ще изобрази това в тази точка ето тук. Тя няма да е обратима, ако имаме ето това. Ако два елемента на Х се изобразяват тук. Това ще наруши обратимостта, ако имаме тази ситуация, защото тогава няма да е изпълнено условието за единствено решение. Трябва да имаме единствено х, което се изобразява тук. Това, което току-що начертах, тази друга розова връзка, ние нямаме едно единствено х, което се изобразява в у, имаме 2 х, които се изобразяват в това у. Въз основа на казаното за това в предишното видео – какво означава това? Ако имаме единствено х, което се изобразява във всяко у? Това означава, че имаме изобразяване едно-към-едно. Функцията f е едно-към-едно. Ще го запиша. Друг начин да формулираме това е, че това f е функция едно-към-едно или инективна функция. Ако два елемента тук се изобразяват в едно у, това ще наруши условието. Няма да бъде едно-към-едно и не можем да кажем, че съществува единствено х, което е решение на това равенство ето тук. От друга страна за всяко у – тук можеш да избереш произволно у – и съществува едно единствено х, което се изобразява в него. Не може да има някакво у ето тук. Да кажем, че тук има някакво у и нищо не се изобразява в него. Ако случаят е такъв, тогава не е изпълнено условието за обратимост. Функцията не е обратима. Всички елементи на Y трябва да са образи. Всички тези елементи трябва да са образи. И те могат да са образи само на един елемент от Х. Всичко тук трябва да бъде образ на един единствен елемент. В последното видео как нарекохме такава функция, за която всеки елемент на множеството на образите е нечий образ? Какъв беше другият начин да назовем това? Функция, в която всеки елемент от множеството на образите е нечий образ? В последното видео обясних, че това е сюрективна функция или функция върху. Причината да направя сегашното видео е, че искам наистина да повторя това условие за обратимост, като използвам термините, които въведохме в предишното видео. Да вземем твърдението, че всяко у, което принадлежи на множеството на образите съществува елемент х, на когото у е образ. Можем просто да кажем, че f е сюрективна. Ако кажем просто, че f е сюрективна, това означава, че всеки елемент тук е образ. Той е образ, може би този елемент тук, може да бъде образ на повече от един елемент х. Сюрективността сама по себе си не означава, че това е уникално изобразяване на елементи от Х в елементи от Y. За да е изпълнено това условие, за да удовлетворим условието за единствено решение при обратимостта, трябва да кажем, че функцията f също така е и инективна. Очевидно, може би с по-малко формалните термини за това, можеш да наречеш това "върху", а това можеш да наречеш "едно-към-едно". Като използваме термините, научени в последното видео, можем да формулираме отново това условие за обратимост. Можем да кажем, че една функция, която изобразява от множеството на първообразите Х в множеството на образите Y, е обратима тогава и само тогава, когато f е едновременно сюрективна и инективна. Можем да кажем, че f е обратима тогава и само тогава, когато е f е функция върху и функция едно-към-едно. Това са просто засукани начини да кажем, че за всяко у от множеството на образите съществува единствено х, което f изобразява в него. Няма повече от едно х и всяко у е образ.