Доказателство: една функция е обратима, ако съществува единствено решение на f(x)=y

Дадена е функцията f, която изобразява елементите на множеството Х в множеството Y. И нека да кажем, че функцията f е обратима. Искам да разбера какво означава това за това равенство ето тук. Равенството f(х) = у. Искам да знам това за всяка стойност на у, която принадлежи на нашето множество на образите. За всяко у – ще го запиша – че за всяко у, което принадлежи на множеството на образите, съществува уникално, ЕДИНСТВЕНО решение х, което принадлежи на множеството на първообразите, такова че – и аз мога да напиша, че – просто ще го напиша. Исках да го запиша математически, но може би понякога е по-добре просто да го запиша с думи. Такова, че f(х) е равно на у. Значи ние просто – ще начертая нещата. Имаме нашето множество Х. Това е множеството Х. Имаме множеството на образите Y. Знаем, че f, ако вземем някаква точка тук, да я наречем а, която принадлежи на Х, и ако приложим функцията f, функцията ще я изобрази в някакъв елемент в множеството Y. Това тук е f(а) ето тук. Ето това означава това. Сега искам да разгледаме това равенство тук, и искам да знам дали мога да избера произволна стойност у в това множество, малко у от множеството Y. Да кажем, че избера някакъв елемент ето тук. Нека това да е b. Искам да знам дали има единствено решение на равенството f(х) = b. Има ли единствено решение? Първо, може би ще помислиш дали има решение. Има ли решение, има ли някакво х, такова, че когато приложа трансформацията f към него, да дойда тук, и искам да знам дали това решение е единствено. Например, ако има само едно, то това е единствено решение, но ако има още някое, то тогава имаме повече от едно решение, ако има друг елемент на Х, към който като приложа трансформация, също ще получа b. Това ще го направи неединствено. В това видео искам да разгледаме дали някак обратимостта е свързана с идеята за единствено решение на функцията за произволно у в нашето множество на образите. Така че хайде да разгледаме определението за обратимост и да видим дали можем да получим нещо конструктивно. По определение, това че f е обратима означава, че съществува – има един такъв обърнат троен знак, нещо като обърнато Е, този знак означава "съществува". Мисля, че е хубаво понякога да използваме математическите знаци – просто ще запиша това – "съществува" Това означава, че съществува някаква функция, да я наречем f обратна (f ^(-1)), която изобразява от множеството Y в множеството Х, такава, че – всъщност двете точки също са съкратен запис на "такава, че", но ще го запиша и с думи – такава, че комбинацията на f обратно и f дава отново х. Това всъщност казва, че ако приложим f към елемент на множеството Х и после приложим f обратно към получения образ, ще се върнем в тази точка, от която сме тръгнали. Това не е просто еквивалент, то е резултат от използване на тъждествено преобразувание това дава отново самото х, така че получаваме това, което въвеждаме в него. Така че тази обратна функция, комбинацията от обратната и правата функция, е равна на тъждествената функция. И че комбинацията на функцията и на обратната функция е равно на тъждествено преобразувание на Y. Ако вземем у и приложим обратната функция, а после приложим функцията към полученото, то накрая ще получим същото у, ще се върнем в същата точка. И това е еквивалентно на това да приложим само тъждествено преобразувание. Ето това означава обратимостта, това е начинът, по който дефинирахме обратимост в предишното видео. Сега ни интересува – интересува ни това равенство ето тук. Интересува ни равенството – ще го запиша в розово – f(х) равно на у. Искаме да разберем за всяко у, (малка буква с курсив) в множеството Y (главна буква) дали съществува единствено решение х за него. Знаем, че f е обратима. Казах го в самото начало. При условие, че е обратима, знаем, че съществува тази функция f обратно, и можем да я приложим. Това е изобразяване от Y в множеството Х. Можем да я приложим към произволен елемент на Y. За произволно у – да кажем, че това ето тук е нашето у. Значи можем да приложим функцията f_обратно към това у. Ще отидем ето тук, като, разбира се, у е равно на f(х). Това са съвсем същите точки. Да приложим функцията f_обратно към това. Ако приложим функцията f_обратно към двете страни на равенството, това тук е елемент на множеството Y, а това е същият елемент на Y. Нали? Това е един и същи елемент. Ако приложим изобразяването, обратно изобразяване, към тези двете, това ще ме отведе в някакъв елемент на множеството Х. Да го направим. Ако приложа обратната функция към двете страни на равенството, като това е някакъв елемент в множеството Y, и прилагам обратната функция, за да отида в някакъв елемент на Х, тогава на какво е равно това? В дясната страна можем да запишем просто f_обр(х). Това ще бъде някакъв елемент ето тук. Но какво се случва с лявата страна на равенството? Определението за обратна функция е, че това е функция, чиято комбинация с f е равна на тъждествената функция. Това е еквивалентно на – ще го запиша по следния начин. Това е равно на комбинацията на f_обр и f(х), което е еквивалентно на тъждествената функция, приложена на х. А какво е тъждественото преобразувание, приложено към х? Това е просто х. Това нещо ето тук се свежда до х. Това става х. Започнахме с идеята, че f е обратима функция. Използваме определението за обратимост, за да кажем, че съществува тази обратна функция ето тук. И след това реално прилагаме обратната функция към двете страни на това равенство и казваме, че ако имаме някакво у, у с малка буква и курсив, което принадлежи на това множество Y, можем да намерим единствено решение х, единствено решение х, което удовлетворява това равенство. Спомняш ли си как разбрахме, че х е единствено решение? Защото това е единствено възможната обратна функция. Има само една обратна функция, която е вярна. Доказах това в предходното видео – че ако f е обратима, тя има само една единствена обратна функция. Ние опитахме по-рано да имаме две обратни функции, обаче видяхме, че те са еднакви. Значи щом имаме само една обратна функция и тя бъде приложена към някой елемент на това множество Y, то знаем, че имаме решение. И понеже това е единствената обратна функция, като функциите изобразяват само в една стойност в този случай, тогава знаем, че това е единствено решение. Ще запиша това. Значи установихме, че ако f е обратима – ще използвам оранжево – тогава равенството f(х) = у за всички – това малко v тук изглежда сякаш е попълнено с нещо – за всички у, които принадлежат на множеството Y, това равенство има единствено решение. Това единствено решение, ако ти е интересно, е равно на обратната функция, приложена към у. Това може да не изглежда много умно, обаче можеш да видиш, че е нужно да бъдем точни, за да стигнем до точката, която желаем. Да видим дали е вярно обратното твърдение. Да видим, ако приемем – да видим ако започнем с предположението, че за всички у, които принадлежат на множеството Y, че решението, че равенството f(х) = у има единствено решение. Да предположим това и да видим дали важи за обратния случай. Ако е дадено това, можем да докажем обратимост. Да помислим за първия начин. Казваме, че за всяко у – ще начертая отново множествата. Значи това е множеството Х, а това тук е множеството Y. Сега работим по допускането, че ако изберем произволен елемент на Y ето тук, то това равенство ето тук има единствено решение. Ще наречем това единствено решение – можем да го наречем по всякакъв начин – нека това е единственото решение х. Можеш да избереш произволна точка тук, аз съм избрал такава, и допускаме, че ако изберем точка от Y, можем да намерим такава точка от Х, че за нея да е вярно f(х) = у. И аз не само мога да намеря това, това е единствено решение. Като имаме това, да дефинираме една нова функция. Да дефинираме функцията s. Функцията s е изобразяване от множеството Y в множеството Х. Това е изобразяване от Y в Х, като s(у) – като у принадлежи на множеството Y – s(у) е равно на единственото решение в множеството Х на f(х) = у. Тук може да кажеш: " Сал, това изглежда малко объркано." Но само помисли. Това е напълно валидно дефиниране на функция. Нали? Започваме с идеята, че тук имаме произволен елемент у. Даваш ми произволен елемент на това множество, и аз винаги мога да намеря единствено решение на това равенство. Добре, значи това означава, че произволен елемент тук може да бъде свързан с единствено решение в множеството Х, като единственото решение е едиствено решение на това равенство ето тук. Тогава защо не дефинирам една функция, която казва: "Аз ще свържа всеки елемент на Y с неговото единствено решение на равенството f(х) = у." Ето по този начин дефинирам тази функция ето тук. Разбира се, това е напълно валидно изобразяване от Y в Х. И ние знаем, че това има само една легитимна стойност, защото това, произволна стойност на у, коя да е стойност на у в това множество има единствено решение на f(х) = у. Значи това може да е равно само на една стойност. Значи това е дефинирано. Хайде да приложим, да вземем някакъв елемент тук – ще избера един хубав цвят – да кажем, че това е b. b принадлежи на множеството Y. Хайде да намерим... да изобразим това, като използваме новата функция тук. Да вземем това и да го изобразим, като това тук е s(b). s(b) принадлежи на множеството Х. Сега знаем, че s(b) е единствено решение по определение. Знам, че изглежда, че се въртим в кръг, но не е така. Знаем, че s(b) е решение. Значи, че s(b) е единствено решение на f(x) = b. Ако това е случаят, ако това е вярно, то ние получаваме това, защото това е изходната стойност на тази функция. Казахме, че за всяко у има единствено решение на това равенство. Защото казахме, че за всяко у има единствено решение. Ако това е вярно, тогава какво се случва, когато вземем f от s(b)? Току-що казах, че това е единствено решение на това. Ако сложа това тук, какво ще получа? Ще получа b. Друг начин да изразим това, е, че комбинацията на f и s, приложена към b, е равна на b. Друг начин да го изразим, е, че взимаме комбинацията на f и s, това същото нещо, защото ако приложа s върху b, а после приложа f към резултата, това е комбинация, аз се връщам обратно в b. Ето това се случва тук. Така че това е същото нещо като тъждествена трансформация на у, която е приложена към b. Значи това е равно на b. Така че можем да кажем, че комбинацията – можем да кажем, че съществува... и знаем, че тази функция съществува, или че можем винаги да конструираме това. Ние вече знаем, че това съществува. Това съществува, тъй като аз го конструирах, но аз, надявам се, ти показах, че това е дефинирано. Че от нашето допускане, че това винаги има единствено решение в Х за всяко у тук, следва, че мога да дефинирам това по един логичен начин. Така че това определено съществува. И то не само съществува, но ние знаем, че комбинацията на f с тази функция, която аз току-що конструирах тук, е равна на тъждествената трансформация на у. Сега да направим един друг малък експеримент. Да вземем определено... само отново ще начертая тук множествата. Това е множеството Х. Това е член на множеството Х, който ще нарека а. Това тук е множеството Y. Можем да приложим функцията към а и да получим член на множеството Y. Ще нарека това тук f(а). Ако приложа моята магична функция тук, която винаги... мога да получа произволен елемент на множеството Y, и получавам единствено решение в Х на това равенство. Ще приложа това към това. Ще приложа s към това. Значи, ако приложа s към това, ще получа единствено решение. Ще запиша това. Ако приложа s към това... може би не трябва да сочи обратно по този начин, не искам да мислиш, че е задължително да сочи назад към това. Значи прилагам s към това. Към какво ще сочи това? Каква е точката, която ще е ето тук? Това е s от тази точка, която е f(а), което знаем, че е единствено решение. Това е равно на единственото решение на равенството f(х) равно на това у ето тук. Или това у ето тук е просто f(а). Нали? Спомни си, изобразяването s току-що изобрази произволен член а в единственото решение на равенството f(х) равно на това. Значи това е изобразяване от f(а) в единственото решение, така че това s(f(а)) ще бъде изобразяване в... или това тук, това ще бъде единствено решение на равенството f(х) равно на този член на Y. Как нарекох този елемент на Y? Той се нарича f(а). Можеш да кажеш това по доста сложен начин, но ако – преди да познаваш линейната алгебра, ако ти кажа: "Виж, имам равенството f(х) равно на f(а). Какво е единственото решение на това равенство? На колко е равно х? х ще бъде равно на а. Значи единственото решение на това равенство f(х) = f(а) ще бъде а. Знаем, че това има само едно решение, защото това беше едно от първоначалните допускания. Значи това е равно на а. Или можем да напишем, че s(f(а)) е равно на а. Или че комбинацията на s и f е равна на, или приложена към а е равна на а. Или че комбинацията на s и f е просто функция на тъждествено преобразувание на множеството Х. Нали? Това е изобразяване ето тук на Х в Х. Значи можем да напишем, че комбинацията на s и f е тъждествено преобразуване на Х. И така, какво направихме до тук? Започнахме с идеята, че избираме произволно у от множеството Y, и ще имаме единствено решение х, за което това е вярно. Такова, че е вярно f(х) = у. Това беше допускането, с което започнахме. Конструирахме тази функция s, която веднага свързва (изобразява) произволен член на това множество в единственото решение на това равенство. Добре. След това казахме, че това определено съществува. То не само съществува, но ние установихме, че комбинацията на f с конструираната от нас функция е равна на тъждественото преобразувание в множеството Y. След това научихме, че s... комбинацията на s и f е функция, която тъждествено преобразува х. Ще го запиша. Значи установихме това, и също така установихме,че комбинацията на f и s е равна на тъждествено преобразуване на у. И s очевидно съществува, защото го конструирахме, и знаем също така, че то е дефинирано, защото за всяко у тук съществува решение на това. Като знаем това, успяхме да намерим за нашата функция f такава функция, за която тези две равенства са изпълнени. Това е по определение. Това следва от факта, че е обратима функция. Спомни си, това означава, че функцията f е обратима. Спомни си, че f е обратима, ако... за да бъде f обратима, трябва да съществува някаква функция... ако f е изобразяване от Х в Y, обратимост означава, че трябва да има някаква функция f обратна, която изобразява от Y в Х по такъв начин, че аз мога да твърдя, че съществува функция, обратната функция, която комбинирана с нашата функция да дава отново х. Комбинацията от обратната функция и началната функция в тази комбинация на функции трябва да връщат отново у. Ние току-що намерихме такава функция. Тя съществува, и това е функцията s. Като тези две равенства са изпълнени. Можем да кажем, че s е обратна функция на f. Така че f определено е обратима функция. Надявам се, че това ти се струва задоволително. Това доказателство е много деликатно и нюансирано, защото непрекъснато преминаваме между множествата Х и Y. Но показахме, че ако f – в началото на видеото показахме, че ако f е обратима, тогава за всяко у съществува единствено решение на уравнението f(х) = у. Във втората част на видеото показахме, че това е вярно и за обратното. Че ако... ще го представя по следния начин – ако за всички у, които принадлежат на множеството Y, съществува единствено решение на f(х) = у, тогава f е обратима функция. Поради факта, че всяко от тези допускания предполага другото, можем да направим нашето финално заключение в това видео. f е обратима, ако f, която е изобразяване от X в Y, f е обратима, тогава и само тогава, когато можем – тук ще поставя двупосочна стрелка – или можем да запишем, че тогава и само тогава, когато тези две твърдения се предполагат взаимно. Когато и само тогава, когато за всяко у, което принадлежи на множеството Y съществува единствено решение – това означава, че съществува – единствено х за... или ще го напиша по следния начин: съществува единствено решение на равенството f(х) = у. Това е големият извод от това видео. Обратимостта на една функция означава, че има единствено решение на това равенство за всяко у, което принадлежи на множеството на образите на нашата функция.