Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 4: Криволинеен интеграл във векторно поле (статии)

Криволинеен интеграл във векторно поле

След като научихме как се използват интеграли в скаларно поле, сега ще разгледаме интеграли във векторно поле.

Преговор

Основни идеи

Дадено е векторно поле

F

и крива

C

в дефиниционното множество на полето. Обхождаме кривата и във всяка точка пресмятаме скаларното произведение на следните два вектора:

Векторът $F$ ‍ от полето в точката върху кривата.
Векторът на изместване спрямо началото на следващата стъпка по кривата.

Сумата от тези скаларни произведения е приближение на криволинейния интеграл на $F$ ‍ по кривата $C$ ‍

Съкратеният запис на този криволинеен интеграл е

\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}

(Обърни специално внимание на факта, че това е скаларно произведение)

Ако е дадена параметризацията

r (t)

на кривата

C

, този интеграл е равен на

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t \end{array}

Криволинейните интеграли се използват във физиката за изчисляване на работата, извършена върху движещ се обект от дадена сила.

Ако параметризираме кривата в обратната посока на нарастването на

t

, стойността на криволинейния интеграл се променя с коефициент

- 1

Кит в небето

Китът Уили пада от небето. Заради въздушните течения неговата траектория е крива.

За този пример допускам, че си запознат/а с понятието "работа извършена от сила върху движещ се обект", и че в този случай работата е равна на скаларното произведение на вектора на силата с вектора на изместване на обекта.

Където има сили, например гравитация, и обект, движещ се в полето на дейност на силата, тя "извършва работа". Например, ако Уили пада

100 м

от небето (за определен период от време):

гравитацията, действаща върху кита, е

$\begin{aligned} F & = m g \\ = (170 000 kg) (9, 8 \frac{m}{s^{2}}) \end{aligned}$ ‍

и работата, която извършва гравитацията върху Уили, е равна на силата по преместването:

$\begin{aligned} W & = F s \\ = \underset{сила}{\underset{⏟}{(170 000 kg) (9, 8 \frac{m}{s^{2}})}} \overset{преместване}{\overset{⏞}{(100 m)}} \end{aligned}$ ‍

Всъщност тази формула не е съвсем правилна. Ако Уили не се движи директно надолу, а например надолу и надясно:

- 60 м

по

y

80 м

по

x

Гравитацията пак извършва работа, но вече ни интересува само преместването по посока на вектора на силата. С други думи, скаларното произведение на силовия вектор с вектора на преместването.

$\begin{aligned} W & = \vec{F} \cdot \vec{s} \\ = (- (170 000 kg) (9, 8 \frac{m}{s^{2}}) \hat{j}) \cdot (80 m \hat{i} - 60 m \hat{j}) \\ = - (170 000 kg) (9, 8 \frac{m}{s^{2}}) (- 60 m) \\ = (170 000) (9, 8) (60) \frac{kg m^{2}}{s^{2}} \end{aligned}$ ‍

Гравитацията има посока

- \hat{j}

, така че скаларното произведение е равно на вертикалната компонента на вектора на преместване.

Ключов въпрос: Каква е работата, извършена върху Уили от гравитацията, когато той пада по траекторията

C

Засега знаем как да пресметнем извършената работа, когато траекторията е права линия и силата е константен вектор, но какво ако траекторията е крива? Ще използваме приближение на тази крива чрез съвкупност от отсечки:

Нека означим векторите, следващи кривата, с

{\vec{Δ s}}_{1}

{\vec{Δ s}}_{2}

{\vec{Δ s}}_{3}

\dots

Работата, извършена от гравитацията по всеки един от тези вектори, е равна на скаларното произведение на силата

\vec{F_{g}}

с вектора на преместването:

\vec{F_{g}} \cdot {\vec{Δ s}}_{i}

Общото количество работа, извършена от силата, е

\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{N} \vec{F_{g}} \cdot {\vec{Δ s}}_{n} \end{array}

Когато дължината на векторите по кривата

C

клони към нула, а техният брой - към безкрайност - тази сума се превръща в интеграл:

\begin{array}{r} \int_{C} \vec{F_{g}} \cdot \vec{d s} \end{array}

Тази дефиниция е подобна на криволинейния интеграл в скаларно поле, но тук има една ключова разлика: $\vec{d s}$ ‍ е вектор, а не скалар. В горния интеграл

\vec{F_{g}}

\vec{d s}

са означени като вектори. Друго означение за векторни величини е тяхното удебеляване:

\begin{array}{r} \int_{C} F_{g} \cdot d s \end{array}

Ключов момент: Когато се движим по кривата

C

, събираме не стойностите на

F_{g}

във всяка точка, а компонентата на вектора

F_{g}

, еднопосочна на

d s

- тоест, силата, която работи в посока на изместването.

Пример 1: Китът Уили

Нека довършим задачата за Уили, като пресметнем извършената работа.

Нека кривата, по която се движи китът, е

\begin{array}{r} s (t) = [\begin{array}{c} 100 (t - \sin (t)) \\ 100 (- t - \sin (t)) \end{array}] \end{array}

Векторът

d s

е производната на функцията, описваща кривата, по

d t

d s = \frac{d s}{d t} d t = s^{'} (t) d t

Ако този тип изрази ти изглеждат непознати, върни се към статията за производни на параметрично зададени функции. С две думи, малка промяна

d t

в стойността на параметъра

t

съответства на изместване с дължина

s^{'} (t) d t

по кривата

s (t)

За да пресметнем тази производна, просто намираме производните на всяка една от координатите:

\begin{aligned} \frac{d s}{d t} & = [\begin{array}{c} \frac{d}{d t} 100 (t - \sin (t)) \\ \frac{d}{d t} 100 (- t - \sin (t)) \end{array}] \\ \frac{d s}{d t} & = [\begin{array}{c} 100 (1 - \cos (t)) \\ 100 (- 1 - \cos (t)) \end{array}] \end{aligned}

Гравитацията е равна на

9, 8 \frac{m}{s^{2}}

по масата на Уили. Един син кит тежи средно около

170 000 кг

, така че

тъй като гравитацията е вектор, насочен надолу, тя е равна на

\begin{aligned} F_{g} & = [\begin{array}{c} 0 \\ - (170 000) (9, 8) \end{array}] \end{aligned}

Да кажем, че искаме да пресметнем работата, извършена от гравитацията в интервала от

t = 0

до

t = 10

. Какво се получава, когато заместим всичко това в интеграла

\int_{C} F_{g} \cdot d s

и го изчислим? Опитай да го направиш самостоятелно, преди да видиш отговора.

(Ако си от хората, които обичат физиката: работата може да бъде изчислена и като разликата в потенциала в началото и в края на движението. По-нататък ще разбереш повече и за т. нар. консервативни векторни полета, които също са тясно свързани с физиката.)

Как изобразяваме криволинейни интеграли

В примера за кита Уили векторното поле беше константа. Гравитацията винаги сочи надолу и е константа. Повечето векторни полета обаче не са константи и векторът, чието скаларно произведение с

d s

искаме да пресметнем, се променя по дължината на кривата. Следната анимация показва как изглежда едно такова поле.

(Обърни внимание, че в анимацията е използвана променливата

r

вместо

s

като параметризация на кривата.)

Криволинейният интеграл е написан като

\begin{array}{r} \int_{C} F (r) \cdot d r = \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t \end{array}

където

$F$ ‍ е векторно поле, съпоставящо вектор на всяка точка от тримерното пространство. Можеш да го приемаш като някакво силово поле.
$C$ ‍ е крива в пространството.
$r (t)$ ‍ е параметризация на кривата $C$ ‍ в интервала $a \leq t \leq b$ ‍
$r^{'} (t)$ ‍ е производната на $r$ ‍, представяща скоростта на частица, движеща се по $r (t)$ ‍ при равномерно увеличаване на $t$ ‍. Умножена по $d t$ ‍, тази производна дава дължината на съответното изместване по дължината на кривата, породено от малка стъпка с дължина $d t$ ‍ в стойността на параметъра.
Обърни внимание, че в анимацията дължината на $r^{'} (t)$ ‍ е константа. Това невинаги е вярно, тъй като при промяна на параметъра функцията $r$ ‍ може да обхожда кривата $C$ ‍ с различна скорост. Например Уили увеличава скоростта си на падане с времето.
Окръжността долу вдясно на чертежа може да ти се стори малко объркваща. Тя показва доколко векторът $F (r (t))$ ‍ е колинеарен с тангентния вектор $r^{'} (t)$ ‍. Сивите вектори $x$ ‍ и $y$ ‍ помагат в изобразяването на ориентацията на тези два вектора спрямо равнината $x y$ ‍.

Упражнение: Какво представлява скаларното произведение

F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t

(Избор А)
Скоростта, с която силата $F (r (t))$ ‍ се променя спрямо параметъра $t$ ‍.
(Избор Б)
Компонентата на вектора $F (r (t))$ ‍, колинеарна с посоката на тангентния вектор към $r (t)$ ‍, умножена по дължината на малка промяна на стойността на параметъра.

Във физиката разбираме скаларното произведение

F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t

като

d W

Тоест, малко количество работа, извършено от силовото поле

F

върху частица, движеща се по траекторията

C

Пример 2: Работа, извършена от торнадо

Дадено е векторното поле

\begin{aligned} F (x; y) & = [\begin{array}{c} - y \\ x \end{array}] \end{aligned}

Това поле изглежда по следния начин:

Като силово поле това представлява въздействието на сила, въртяща всички обекти в равнината обратно на часовниковата стрелка. Например това може да е силата, породена във въздуха от торнадо. Този модел не е съвсем точен, тъй като според него силата се увеличава при отдалечаване от центъра на торнадото, но да речем, че ще наричаме модела си "опростен" и ще работим с него.

Искаме да пресметнем криволинейния интеграл на полето по окръжност с радиус

1

и център

(2; 0)

Обърни внимание, че ориентацията на кривата има значение. Работата, извършена обратно на часовниковата стрелка от торнадото, ще е равна на работата по часовниковата стрелка, но с обратен знак.

Нека разгледаме параметризация на окръжността, когато я обхождаме обратно на часовниковата стрелка.

\begin{aligned} r (t) & = [\begin{array}{c} \cos (t) + 2 \\ \sin (t) \end{array}] \end{aligned}

за

t

от

0

до

2 π

Съответният интеграл, който трябва да пресметнем, е скаларното произведение на силата

F (x; y)

d r

, интегрирано по цялата дължина на кривата:

\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}

Стъпка 1: Разписваме интеграла

Упражнение: Кой от следните интеграли представлява

\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}

Стъпка 2: Заместваме дадените функции

Упражнение: На колко е равно

F (r (t))

Упражнение: На колко е равно

r^{'} (t)

Стъпка 3: Решаваме интеграла

Упражнение: Замести резултатите от предишната стъпка и пресметни интеграла.

\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}

Крайният резултат представлява работата, извършена от торнадото върху частица, движеща се обратно на часовниковата стрелка по окръжността.

Въпрос за размисъл: Логически погледнато, защо тази работа е положителна?

Тъй като окръжността се обхожда от частицата обратно на часовниковата стрелка, частицата се движи нагоре в дясната половина от кръга и надолу в лявата половина.

Векторите в дясната половина са сравнително дълги и еднопосочни на движението по окръжността, съответно допринасящи положително към извършената работа.

Векторите от полето в лявата половина на окръжността все още сочат нагоре, този път обратно на посоката на движение по окръжността, така че допринасят отрицателно към извършената работа. Тези вектори обаче са по-къси от тези в дясната половина на окръжността, така че общото количество работа следва да е положително.

Ориентацията има значение

Какво би се случило, ако в предишния пример ориентацията на окръжността беше по часовниковата стрелка? Съответната параметризация на кривата е

\begin{aligned} r (t) & = [\begin{array}{c} \cos (t) + 2 \\ - \sin (t) \end{array}] \end{aligned}

Ако искаш, можеш да заместиш и отново да пресметнеш интеграла, но има много по-кратко обяснение на промяната в работата при промяна на ориентацията на окръжността. В интеграла

\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}

всеки вектор

d r

е обърнат наобратно при промяната на параметризацията.

Упражнение: Дадени са два вектора

v

w

, такива че

v \cdot w = 3

. Ако обърнем вектора

v

наобратно (ротация на 180 градуса), така че

v_{new} = - v

, на колко е равно скаларното произведение с новия вектор?

v_{new} \cdot w =

Тъй като при обръщане на векторите

d r

скаларното произведение, което интегрираме, променя знака си с

- 1

, можем да заключим следното:

Ключов момент При обръщане на ориентацията на кривата криволинейният интеграл обръща знака си.

Обобщение

Съкратеният запис на криволинеен интеграл във векторно поле е

\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d r \end{array}

Ако е дадена параметризацията $r (t)$ ‍ на кривата $C$ ‍, този интеграл е равен на

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t \end{array}

Криволинейните интеграли се използват във физиката за изчисляване на работата, извършена върху движещ се обект от дадена сила.
Ако параметризираме кривата в обратната посока, стойността на криволинейния интеграл се променя с коефициент $- 1$ ‍.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.