Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 4: Криволинеен интеграл във векторно поле (статии)

Поток в две измерения

Как с помощта на интегралите можем да измерим скоростта на потока през дадена крива. Това ще ни бъде полезно, когато учим теоремата на Грийн за дивергенцията.

Преговор

Основни идеи

Дадена е област, която е оградена от контура $C$ ‍, и флуиден поток, дефиниран с векторното поле $F (x; y)$ ‍, като скоростта, с която флуидът напуска тази област (ако допуснем, че той има плътност $1$ ‍), може да се определи със следния криволинеен интеграл:
$\begin{array}{r} \underset{скорост, с която масата напуска областта}{\underset{⏟}{- \frac{d (маса на флуида в областта)}{d t}}} = \oint_{C} F \cdot \hat{n} d s \end{array}$ ‍
Стойността на функцията $\hat{n} (x; y)$ ‍ е изходящият единичен нормален вектор във всяка точка от контура $C$ ‍.
Интегралът $\int_{C} F \cdot \hat{n} d s$ ‍ се нарича интеграл на потока или, понякога, "двумерен интеграл на потока", понеже съществува подобно понятие за три измерения.
За всички случаи в две измерения, когато можем да приемем, че нещо тече, например някакъв флуид, двумерният поток е мярка за скоростта на потока през някакъв контур. По принцип не е задължително контурът да е затворен.

Промяна на количеството (масата) на флуида в дадена област

Представи си, че ни е дадено двумерното векторно поле

F (x; y)

Представи си някакъв произволен контур

C

в това векторно поле.

Обичайно за такива векторни полета използваме аналогия с някакъв флуиден поток. Но нека сега да се ограничим разсъжденията си до това какво се случва в един много малък отрязък от време, някакъв много кратък миг. Представи си, например, че всяка частица на флуида се придвижва от началото до върха на някой от векторите, начертани по-горе.

Ключов въпрос: Как можем да измерим моментната скорост на изменение на масата на флуида в областта, оградена от контура $C$ ‍?

Нека да приемем, че флуидът има постоянна плътност в равнината, например

1

килограм на квадратен метър. Ако оставим флуидът да тече за един много кратък отрязък от време

Δ t

, каква е общата маса на флуида, която напуска или постъпва в разглежданата област? Отговорът е някаква функция от векторното поле

F

и контурът

C

Ако този въпрос ти напомня за понятието дивергенция, има основателна причина за това. Всъщност в друга статия ще използваме формулата, която ще изведем в тази статия, за да дадем формално определение за дивергенцията и да покажем специалната зависимост между дивергенцията и криволинейните интеграли в две измерения.

Парче по парче

Един начин да отговорим на този въпрос е да разделим контура на много малки парченца и да разгледаме какво количество флуид напуска или влиза през всяка такава част от контура. Ако разгледаме под лупа един такъв малък участък от контура, можем да го приемем като права линия, а частиците, които пресичат контура в него до голяма степен ще се движат с една и съща скорост и в една и съща посока.

Ако флуидът се движи в рамките на един малък отрязък от време

Δ t

, флуидът, преминаващ през този участък от контура ще образува успоредник.

(Тук разглеждаме чертеж, на който флуидът напуска областта, но много лесно можеш да си представиш как флуидът се влива в областта, ако векторите на скоростта сочат в обратна посока.)

Понеже приемаме, че флуидът има постоянна плътност

1 kg / m^{2}

, масата на флуида, който напуска областта, е равна на площта на този успоредник. Да разгледаме тази площ.

Основата на успоредника е дължината на нашия малък участък от контура. Ще я означа с $Δ s$ ‍.
Векторът на преместване на една флуидна частица, който започва от някоя точка в този малък участък от контура, е $v Δ t$ ‍, където $v$ ‍ е векторът на скоростта на флуида в тази точка, а $Δ t$ ‍ е времето на изтичане на флуида.
Височината на успоредника ще бъде компонентът на вектора на преместването $v Δ t$ ‍, който е перпендикулярен на участъка от контура. Можем да го изразим като скаларното произведение на $v Δ t$ ‍ и единичният нормален вектор към контура $C$ ‍. Да означим единичния нормален вектор като $\hat{n}$ ‍.

Проверка на понятията: Колко е общото количество маса, което преминава през този малък участък от контура

Δ s

за един кратък отрязък от време

Δ t

Първият отговор е верен:

$(\vec{v} \cdot \hat{n}) (Δ t) (Δ s)$ ‍

Да разгледаме горния чертеж. Основата на успоредника е с дължина

Δ s

, а височината му е

(v \cdot \hat{n}) Δ t

. Тяхното произведение ни дава площта на успоредника. Тъй като приехме, че плътността на флуида е

1 kg / m^{2}

, тази площ е равна на количеството изтичаща маса.

Когато разделим на

Δ t

, получаваме количеството маса, което преминава през този малък прав участък за единица време:

Количеството маса, което напуска за единица време $= (\vec{v} \cdot \hat{n}) (Δ s)$ ‍

Сумиране с помощта на интеграл

Сега да разгледаме всички малки участъци, които съставят контура

C

, като през всеки от тях напуска или постъпва някакво малко количество флуид за единица време. Ако искаме да съберем всички тези малки промени на количеството на масата на флуида през контура, най-подходящият инструмент за целта е криволинейният интеграл.

Криволинейният интеграл ще изглежда по следния начин:

$\begin{array}{r} \oint_{C} F \cdot \hat{n} d s \end{array}$ ‍

където

Векторното поле $F (x; y)$ ‍ ни дава скоростта на флуида във всяка точка от контура.
Можем да разглеждаме члена $\hat{n}$ ‍ като функцията $\hat{n} (x; y)$ ‍, която има за аргумент точка от контура $C$ ‍ и чиято стойност е единичният нормален вектор към контура $C$ ‍ в тази точка.
Използваме означението за интеграл $\oint$ ‍ вместо означението с $\int$ ‍, за да изтъкнем факта, че криволинейният интеграл е по затворен контур.
$d s$ ‍ представлява малка промяна на дължината на дъгата по протежение на контура. По същество това не се различава от члена $Δ s$ ‍ в предишната точка, но сега я разглеждаме като безкрайно малка стойност, която използваме за интегриране.
Когато се движим по контура $C$ ‍, стойността на произведението $F \cdot \hat{n}$ ‍ измерва количеството флуид, което напуска/постъпва в областта, ограничена с контура $C$ ‍, във всяка точка от контура. Тази стойност е положителна, когато флуидът постъпва в областта, и е отрицателна, когато флуидът напуска областта, така че интегралът в крайна сметка ни дава общото количество маса на флуида, което напуска областта, оградена с контура $C$ ‍, за единица време.

По-прецизно това може да се представи по следния начин:

$\begin{array}{r} \underset{скоростта, с която масата напуска областта}{\underset{⏟}{- \frac{d (количество маса на флуида в областта)}{d t}}} = \oint_{C} \underset{\begin{array}{c} масата, напускаща \\ всяко малко парченце d s \end{array}}{\underset{⏟}{F \cdot \hat{n} d s}} \end{array}$ ‍

Определение: Скоростта на преминаване през контура се нарича поток. По-точно е да се каже, че компонентът на скоростта на изтичане, който е перпендикулярен на контура, се нарича поток.

Във физиката се разглежда, че "протичат" много други неща, освен флуидите, например топлината (общо казано) и електромагнитните полета, а терминът поток се използва в много широк смисъл за описване на тези явления. Много често понятието "поток" се тълкува като скоростта на протичане през някаква тримерна повърхнина. Ще разгледаме това по-късно при повърхностните интеграли. Засега можем да наричаме тази скорост на потока през контур "двумерен поток".

Интегралът

\oint_{C} F \cdot \hat{n} d s

понякога се нарича "интеграл на потока". Както при всички нови понятия най-добрият начин да разберем какво представлява е да решим конкретен пример.

Пример: Поток през окръжност

Дадено ни е векторното поле

$\begin{array}{r} F (x; y) = [\begin{array}{c} x^{2} \\ y \end{array}] \end{array}$ ‍

Ще начертаем окръжност с радиус

3

единици и център в началото на координатната система.

От този чертеж вероятно можеш да отгатнеш, че флуидът, който тече в това векторно поле, е склонен да напуска кръга. Но в каква степен? Можем да използваме интеграла от предишната точка, но първо трябва да направим две неща:

Да параметризираме окръжността.
Да намерим функцията за единичния нормален вектор $\hat{n}$ ‍ към окръжността.

Ще параметризираме окръжността по любимия ни начин с помощта на функциите косинус и синус:

$\begin{array}{r} r (t) = [\begin{array}{c} 3 \cos (t) \\ 3 \sin (t) \end{array}] \leftarrow Описва окръжност с радиус 3 единици \end{array}$ ‍

За да може тази параметризация да опише окръжността изцяло и само веднъж, стойностите на

t

трябва да принадлежат на интервала от

0

до

2 π

Коя от следните функции ни дава единичния нормален вектор?

Да разгледаме точката

(x; y)

, която е произволна точка от окръжността. Нормалният вектор в тази точка ще има същата посока като посоката на вектора

[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]

Но векторът

[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]

има дължина

3

единици, понеже по условие окръжността има радиус

3

единици, така че трябва да го разделим на

3

, за да получим единичния нормален вектор.

$\hat{n} (x; y) = \begin{array}{r} [\begin{array}{c} x / 3 \\ y / 3 \end{array}] \end{array}$ ‍

Сега можем да използваме получените резултати, за да намерим интеграла от последната точка. (Ако те притеснява изчисляването на криволинейни интеграли, направи преговор на статията за криволинеен интеграл върху скаларно поле).

$\begin{aligned} \oint_{C} F \cdot \hat{n} d s & = \int_{0}^{2 π} \underset{\begin{array}{c} Вектор на скоростта \\ в произволна точка \end{array}}{\underset{⏟}{F (r (t)) \cdot}} \overset{\begin{array}{c} Нормален вектор \\ в произволна точка \end{array}}{\overset{⏞}{\hat{n} (r (t))}} \underset{d s}{\underset{⏟}{| | r^{'} (t) | | d t}} \\ = \int_{0}^{2 π} ([\begin{array}{c} (3 \cos (t))^{2} \\ (3 \sin (t)) \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} (3 \cos (t)) / 3 \\ (3 \sin (t)) / 3 \end{array}]) | | [\begin{array}{c} \frac{d}{d t} (3 \cos (t)) \\ \frac{d}{d t} (3 \sin (t)) \end{array}] | | d t \\ = \int_{0}^{2 π} ([\begin{array}{c} 9 \cos^{2} (t) \\ 3 \sin (t) \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \end{array}]) | | [\begin{array}{c} - 3 \sin (t) \\ 3 \cos (t) \end{array}] | | d t \\ = \int_{0}^{2 π} (9 \cos^{3} (t) + 3 \sin^{2} (t)) \sqrt{3^{2} \sin^{2} (t) + 3^{2} \cos^{2} (t)} d t \\ = \int_{0}^{2 π} (9 \cos^{3} (t) + 3 \sin^{2} (t)) 3 \underset{= 1}{\underset{⏟}{\sqrt{\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)}}} d t \\ = \int_{0}^{2 π} (9 \cos^{3} (t) + 3 \sin^{2} (t)) 3 d t \\ = 9 \int_{0}^{2 π} (3 \cos^{3} (t) + \sin^{2} (t)) d t \end{aligned}$ ‍

След като сме получили интеграла в този вид, можем просто да го пресметнем с калкулатор (или онлайн калкулатор като сайта Wolfram Alpha), за да получим числовата му стойност:

$\begin{array}{r} 9 \int_{0}^{2 π} (3 \cos^{3} (t) + \sin^{2} (t)) d t = 9 π \approx 28,274 \end{array}$ ‍

Намиране на единичния нормален вектор

Може би се чудиш как можем да изчислим единичния нормален вектор

\hat{n} (x; y)

за произволната крива, която ни е дадена. Окръжността беше просто частен случай на произволна крива, нали? За наше щастие определянето на единичния нормален вектор е тема на следващата статия.

Да си признаем, че малко послъгахме, когато казахме, че единичният нормален вектор се дефинира като функцията

\hat{n} (x; y)

, чиито аргументи принадлежат на равнината

x y

. В практиката той обикновено се дефинира като параметричната функция

\hat{n} (t)

, която "се съгласува" с параметризацията на контура

C

, ако може така да се каже. По принцип пак ще си представяме, че функцията работи с точките в равнината

x y

, само че на практика ще я дефинираме само за точките от контура

C

, защото това е всичко, което ни е нужно. Не се притеснявай, ще видиш какво означава това в следващата статия.

Обобщение

Във всички случаи, когато можем да разглеждаме, че нещо тече, например някакъв флуид, двумерният поток е мярка за скоростта на преминаване на потока през някакъв контур. Потокът през границата на някаква област може да се използва за измерване на това дали потокът е насочен навътре в областта, или в посока навън от нея.

Потокът през контура $C$ ‍ може да се изчисли с помощта на криволинеен интеграл
$\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot \hat{n} d s \end{array}$ ‍

където

 - $\blueE{\textbf{F}(x; y)}$ дефинира векторното поле, което описва скоростта на потока.

$\hat{n}$ ‍ е функция, чиято изходна стойност е насоченият навън нормален вектор във всяка точка от контура $C$ ‍.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.