Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 1

Урок 6: Графики на функции на много променливи (статии)

Векторни полета

Векторните полета са често използвани за описване на флуиди (и други неща, разбира се). Освен това чрез тях можем да визуализираме функции с аргументи и стойности от равна размерност.

Преговор

Означения за единични вектори:

$\hat{i}$ ‍ е единичният вектор на оста $x$ ‍
$\hat{j}$ ‍ е единичният вектор на оста $y$ ‍
$\hat{k}$ ‍ е единичният вектор на оста $z$ ‍

Основни идеи

Векторното поле съпоставя вектор на всяка точка в пространството.
Векторните полета и флуидите вървят ръка за ръка.
Можем да разглеждаме дадено векторно поле като функция с аргументи и стойности от равна размерност.
Дължината на векторите, чрез които изобразяваме векторно поле, обикновено не е равна на реалната им дължина, а е представена в мащаб. Понякога дължината се изобразява в различни цветове.

Загрявка: Движение и вектори на скоростта

Как можем да изобразим движещ се обект? Един от най-разпространените начини е да съпоставим вектор на скоростта към всяка точка от графиката.

Дължината на даден вектор описва скоростта.
Посоката на даден вектор от полето описва посоката на движение.

Например да си представим лисица и кит, движещи се наляво. Лисицата се движи (или по-скоро бива влачена от течението) със скорост

10

метра в секунда, а китът се движи със скорост

5

метра в секунда. Можем да изобразим движението им по следния начин:

Трябва да обърнем внимание на две основни правила при чертаене на такива графики:

За всеки вектор знаем дължината и посоката му (т.е. $10$ ‍ м/сек наляво), но не и къде да го начертаем. Разпространено правило е да чертаем векторите така, че началото им да е точката, чието движение описват.
Действителните дължини на векторите на графиката нямат значение, стига да е явно, че скоростта на лисицата е два пъти по-голяма от скоростта на кита. Можем просто да кажем "каквато дължина току-що начертах за скоростта на лисицата, това е $10$ ‍ метра в секунда".

Вдъхновяващ пример: Флуиди в две измерения

След като вече сме запознати с един въвеждащ пример, можем да започнем да разглеждаме по-сложни векторни полета. Даден е флуид, движещ се по определен начин. Например следната анимация изобразява това движение за няколко от частиците (сините точки) от флуида:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

За да опишем такъв вид движение, ни трябва много повече информация от просто една посока и скорост. Трябва да знаем скоростта на всяка частица от флуида.

Всъщност, ако става въпрос за графика на движението на флуида, можем да вземем малка извадка от частиците. Например, ако за всяка частица от видеото по-горе закачим по един вектор на скоростта ѝ, получаваме следната картинка:

От конфигурацията на начертаните стрелки придобиваме добра представа как се движи флуидът, който описват, въпреки че картинката не е анимация. Частиците, които са близо една до друга, се движат с близки скорости в почти еднакви посоки. Следователно всяка стрелка описва не само движението на съответната частица от флуида, но и на частиците в околността ѝ.

Подобна графика наричаме векторно поле.

Тук е моментът да отбележим, че в графиките на векторни полета векторите почти никога не са изобразени в реалната си дължина. Например, ако дадена частица се движи с

10

м/сек, би трябвало да начертаем вектор, дълъг

10

м. ед., но той би заел цялата графика! Ако от всяка точка от графиката начертаем много дълъг вектор, то графиката би изглеждала много объркващо.

Затова обикновено мащабираме всеки вектор, така че графиката да е чиста и ясна. Точната дължина на векторите не е толкова важна, колкото отношенията между отделните вектори.

Някои видове софтуер представят дължината на векторите с помощта на различни цветове. Например следващата графика представя същото векторно поле, но с помощта на цветове: тъмните стрелки са "къси", а светлите са "дълги", макар че всички са изобразени с една и съща дължина.

Нека за малко се върнем към математиката и разгледаме векторните полета като математически обекти. На всяка точка в двумерното пространство съответства двумерен вектор. Това е просто векторна функция на две променливи

(x; y)

, чиито стойности също са двумерни вектори.

Например функцията, описваща векторното поле, изобразено по-горе, е

\begin{aligned} f (x; y) & = [\begin{array}{c} \sin (x) + \sin (y) \\ \sin (x) - \sin (y) \end{array}] \\ = (\sin (x) + \sin (y)) \hat{i} + (\sin (x) - \sin (y)) \hat{j} \end{aligned}

Тъй като и аргументите, и стойностите, на тази функция са двумерни вектори, нормална графика на тази функция изисква четири измерения. Но ние успяхме да съберем графиката само в две измерения! Освен това, такъв вид графики ни дават много по-добра интуиция за движението на флуида от обикновена графика.

Упражнение: Използвайки формулата за

f

, какъв е векторът, съответстващ на точката

(π; \frac{π}{2})

в равнината

x y

$x$ ‍-координатата е
(също $\hat{i}$ ‍ компонента)

$y$ ‍-координатата е
(също $\hat{j}$ ‍ компонента)

Следователно векторът сочи

Векторите във всяка точка $(x; y)$ ‍ са стойностите на $f (x; y)$ ‍, така че пресмятаме $f (π; \frac{π}{2})$ ‍:
$\begin{aligned} f (π; \frac{π}{2}) & = (\sin (π) + \sin (\frac{π}{2})) \hat{i} + (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2})) \hat{j} \\ = (0 + 1) \hat{i} + (0 - 1) \hat{j} \\ = \hat{i} - \hat{j} \end{aligned}$ ‍
Следователно координатата $x$ ‍ на вектора е равна на $1$ ‍, тоест сочи надясно, а координатата $y$ ‍ е $- 1$ ‍, тоест сочи надолу. Общо сочи надолу и надясно.

Пример 1: Тъждествената функция

Нека разгледаме следната функция:

\begin{array}{r} f (x; y) = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] \end{array}

Тя съпоставя на дадена точка в двумерното пространство, например

(3; 4)

, вектор със същите координати. Например ето как изглежда векторът в точката

(3; 4)

Ако направим същото за няколко точки в равнината и мащабираме всички вектори, получаваме:

Пример 2: Само вертикална посока

Нека разгледаме функцията

\begin{array}{r} f (x; y) = [\begin{array}{c} 0 \\ y \sin (x) \end{array}] \end{array}

x

-координатата на тази функция е винаги

0

, така че всички вектори във векторното поле сочат нагоре или надолу.

Втората координата на функцията ни казва колко дълъг е всеки един вектор. Тъй като имаме множител

y

, векторите стават все по-дълги, когато се отдалечим от оста

x

и по-къси, когато се приближим към нея (защо?). Имаме също и множител

\sin (x)

, който ни казва, че от ляво надясно дължината на векторите ще осцилира нагоре-надолу.

Пример 3: Помощни графики

Нека разгледаме една малко по-сложна векторна функция в две измерения и нека се опитаме да начертаем векторното поле, което описва.

\begin{array}{r} f (x; y) = [\begin{array}{c} 1 \\ y^{2} - y \end{array}] \end{array}

Тъй като стойността на функцията не зависи от

x

, векторното поле не се променя при движение наляво и надясно (защо?).

Първата координата на всички вектори е

1

, така че всички вектори сочат една единица надясно. Втората координата е

y^{2} - y

, но как изглежда тази функция?

Нека отстъпим малко настрани от векторното поле и нека обърнем специално внимание на израза

y^{2} - y

. Ще начертаем графиката на функцията

g (y) = y^{2} - y

. Изразът се разлага на

y (y - 1)

, така че корените на тази функция са

0

1

. Освен това знаем, че това е парабола, сочеща нагоре:

Функцията е отрицателна в интервала

[0; 1]

и положителна извън него.

Вече може да се върнем към векторното поле.

$\begin{array}{r} f (x; y) = [\begin{array}{c} 1 \\ y^{2} - y \end{array}] \end{array}$ ‍

y

-координатата на всеки един вектор е отрицателна (т.е. надолу) за

y

между

0

1

. Когато

y

се отдалечава от този интервал,

y

-координатите на векторите стават все по-големи. Ето как изглежда накрая даденото ни векторно поле:

Векторни полета в три измерения

Подобни разсъждения ни позволяват да работим с векторни полета в три измерения, например описващи въздушни течения. Аналогично на двумерния случай, на всяка частица в тримерното пространство съпоставяме тримерен вектор и изобразяваме само малка извадка от тези вектори.

Следното видео показва цветна графика на тримерно векторно поле, като червените вектори са по-дълги, а сините са по-къси.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Този път векторното поле изобразява функция на

3

променливи, чиито стойности са тримерни вектори, така че нормална графика на функцията би изисквала

6

измерения! Функцията в този пример е

\begin{array}{r} f (x; y; z) = [\begin{array}{c} y + z \\ x + z \\ x + y \end{array}] \end{array}

Графиките на тримерни векторни полета са трудни за изобразяване и разбиране, дори и ако са генерирани от математически софтуер. Затова е добре да знаем, че подобни графики съществуват, но те са рядко от полза, когато работим с тримерни функции.

Обобщение

Векторното поле съпоставя вектор на всяка точка в пространството.
Векторните полета и флуидите вървят ръка за ръка.
Можем да разглеждаме дадено векторно поле като функция с аргументи и стойности от равна размерност.
Дължината на векторите, чрез които изобразяваме векторно поле, обикновено не е равна на реалната им дължина, а е представена в мащаб. Понякога дължината се изобразява в различни цветове.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.