Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 1

Урок 6: Графики на функции на много променливи (статии)

Параметрично представяне на функции, два параметъра

За да опишем дадена повърхност в тримерното пространство, можем да използваме функции на два аргумента, чиито стойности са тримерни вектори.

Преговор

Основни идеи

Можем да изобразим дадена функция на два параметъра, чиито стойности са тримерни вектори, като начертаем всички стойности, съответстващи на даден регион от дефиниционната област на функцията. Резултатът от това е повърхнина, която наричаме параметрична повърхнина.
Обратният процес, при който започваме с дадена повърхнина и търсим функция, която я описва, се нарича параметризация на повърхнината. В общия случай тази задача не е лесна.

Кратък преговор на функции на един параметър

В предишната статия разгледахме графики на функции на един аргумент, чиито стойности са двумерни вектори. Например:

$f (t) = [\begin{matrix} t \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

Когато стойностите на функцията имат повече измерения от аргументите, то често намираме за по-удобно да изобразим само стойностите на функцията в рамките на възможните стойности на аргумента

t

Когато разглеждаме дадена функция по този начин, я наричаме параметрична функция, а аргументът

t

се нарича параметър.

Два параметъра

Можем да следваме аналогична процедура, за да начертаем графика на дадена функция на две променливи, чиито стойности са тримерни вектори.

$f (s; t) = [\begin{matrix} t^{3} - s t \\ s - t \\ s + t \end{matrix}]$ ‍

Аргументите

s

t

ще наричаме параметри, и след малко ще видим как различни стойности на тези параметри описват повърхнина в тримерното пространство.

Същата идея понякога се описва като система от "параметрични уравнения"

\begin{aligned} x (s; t) & = t^{3} - s t \\ y (s; t) & = s - t \\ z (s; t) & = s + t \end{aligned}

Това е просто представяне на векторната функция чрез различните ѝ компоненти. В света на функциите координатите на векторната функция винаги са скаларни функции.

Лично аз предпочитам да мисля за функции, които приемат точки в двумерното пространство като аргумент и дават точки в тримерното пространство като стойности.

Първата ни стъпка е да изберем интервали за аргументите, например

\begin{aligned} 0 < & s < 3 \\ - 2 < & t < 2 \end{aligned}

Ето как изглежда областта в дефиниционната област, описана от тези две неравенства.

След това разглеждаме всички възможни стойности на функцията в дадената област.

Аргументи $(s; t)$ ‍	Стойности $(t^{3} - s t; s - t; s + t)$ ‍
$(0; 0)$ ‍	$(0; 0; 0)$ ‍
$(1; 0)$ ‍	$(1; 1; 1)$ ‍
$(2; 1)$ ‍	$(6; 1; 3)$ ‍
$⋮$ ‍	$⋮$ ‍

Добре де, не пресмятаме буквално всички възможни стойности на функцията, понеже те са безкрайно много. Но основната ни цел е да представим достатъчно от тези стойности, за да придобием представа за формата на повърхнината.

Следната анимация показва как множеството от разглежданите двойки

(s; t)

се превръща в повърхнината, описана от функцията

f (s; t)

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Получената повърхнина наричаме параметрична повърхнина.

Внимание: Подобни повърхнини могат лесно да бъдат объркани с графиките на скаларни функции на два аргумента, тъй като те също обикновено се изобразяват като повърхнини в тримерното пространство. Обаче тези два вида графики са много различни. Параметричните повърхнини изобразяват два аргумента и три стойности, което на обикновена графика би заело пет измерения!

Параметризиране на дадена повърхнина

Един от най-добрите начини да се запознаеш с параметричните функции е да започнеш с дадена повърхнина и да се опиташ да намериш функцията, която я описва. Параметризирането на повърхнини е полезно при пресмятането на повърхностни интеграли, за които ще говорим в по-късните уроци.

Имай предвид, че параметризирането на повърхнини не е лесно. В следващия пример ще параметризираме тор, официалното име на повърхнината на геврек. От широко разпространените повърхнини торът е сравнително познат пример, но въпреки това, за да го параметризираме, трябва да положим известно усилие.

Пример: Параметризиране на тор (геврек)

Нека разгледаме повърхнината, показана по-горе. Тя представлява геврек, или по-точно, само повърхността на геврека, без вътрешността. Целта ни е да намерим функция на два параметъра, даваща тримерни стойности, такава че параметричната ѝ графика е даденият геврек.

Първо ще си представим как бихме "начертали" повърхнината, макар че всички знаем, че не може просто да се начертае повърхнина.

Вместо това ще начертаем всяко кръгло сечение на тора отделно. Ето как изглеждат тези сечения (отбелязани в синьо):

Освен това на графиката е отбелязана червена окръжност в равнината

x y

, минаваща през центровете на всички сечения. Тя не е част от тора, но ще ни бъде полезна при събирането на всички сечения заедно.

В някоя задача може би радиусът на червената окръжност ще ни е даден, както и радиусът на сините окръжности. Но засега ще ги изберем произволно, например

3

за радиуса на червената окръжност и

1

за сините.

Основна идея: Ще опишем всяка точка върху тора като сума от два вектора:

Вектор $\vec{c}$ ‍ от началото на координатната система до червената окръжност. За да обходим всички точки върху червената окръжност, този вектор трябва да е функция на даден параметър $t$ ‍. Когато меним стойността на $t$ ‍, стойността на $\vec{c} (t)$ ‍ ще обхожда окръжността.
Вектор $\vec{d}$ ‍ от някоя точка върху червената окръжност до точките от съответстващото ѝ сечение от тора. Тъй като посоката на този вектор зависи и от позицията на сечението спрямо червената окръжност, то $\vec{d}$ ‍ също зависи от параметъра $t$ ‍. Освен това ще използваме втори параметър $u$ ‍, който позволява на $\vec{d}$ ‍ да обходи всяка точка от съответната синя окръжност.

Тогава всяка точка от тора ще бъде сума от тези два вектора.

$\vec{c} (t) + \vec{d} (u; t)$ ‍

(Ако не си сигурен/на как се събират два вектора, преговори материала от това видео).

Защо тази стратегия?

Макар че не знаем какви са координатите на точките върху тор, знаем какви са координатите на точките върху окръжност.

Червената окръжност лежи в равнината

x y

и има радиус

3

, така че знаем как да я параметризираме:

\begin{array}{r} \vec{c} (t) = 3 [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{array}] = 3 \cos (t) \hat{i} + 3 \sin (t) \hat{j} + 0 \hat{k} \end{array}

Сега функцията

\vec{d} (u; t)

също описва окръжност, но с нея задачата е малко по-сложна. Всяко (синьо) сечение на тора е под различен ъгъл, така че формулата за

\vec{d} (u; t)

трябва да изчертава окръжности под ъгъл. Как можем да начертаем една такава окръжност?

Нека започнем с това, което знаем. Знаем, че в две измерения единичната окръжност има следната параметризация:

\begin{array}{r} g (u) = [\begin{matrix} \cos (u) \\ \sin (u) \end{matrix}] = \cos (u) \hat{i} + \sin (u) \hat{j} \end{array}

За да опишем едно от кръглите сечения на тора, правим нещо подобно, но заместваме

\hat{i}

\hat{j}

с различни единични вектори. Разгледай внимателно следната картинка:

За стойността на

\hat{i}

вместо единичния вектор на оста

x

избираме единичен вектор

\hat{v}

, който е ортогонален на червената окръжност. Тъй като този вектор зависи от точката от червената окръжност, която разглеждаме,

\hat{v}

е функция на параметъра

t

, т.е.

\hat{v} (t)

Аналогично заместваме вектора

\hat{j}

с единичния вектор

\hat{k}

на оста

z

. Следователно параметричното уравнение на една от сините окръжности изглежда така:

\begin{array}{r} \vec{d} (u; t) = \cos (u) \hat{v} (t) + \sin (u) \hat{k} \end{array}

Остава да намерим формулата за

\hat{v} (t)

Посоката на търсения вектор е същата като

\vec{c} (t)

, така че

\hat{v} (t)

е единичен вектор в посоката на

\vec{c} (t)

\begin{aligned} \vec{c} (t) = 3 & [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{array}] \leftarrow не е единичен вектор \\ ⇓ \\ \hat{v} (t) = & [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{array}] \leftarrow единичен вектор \end{aligned}

Тогава, функцията

\vec{d} (u; t)

\begin{aligned} \vec{d} (u, t) & = \cos (u) \hat{v} (t) + \sin (u) \hat{k} \\ = \cos (u) [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{array}] + \sin (u) [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} \cos (u) \cos (t) \\ \cos (u) \sin (t) \\ \sin (u) \end{array}] \end{aligned}

Последни стъпки

Нека не забравяме, че дефинирахме

\vec{d} (u; t)

\vec{c} (t)

, за да опишем точките върху тора като сума

\vec{c} (t) + \vec{d} (u; t)

. Вече знаейки тези две функции, получаваме:

\begin{aligned} \vec{f} (u; t) & = \vec{c} (t) + \vec{d} (u; t) \\ = 3 [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \cos (u) \cos (t) \\ \cos (u) \sin (t) \\ \sin (u) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 3 \cos (t) + \cos (u) \cos (t) \\ 3 \sin (t) + \cos (u) \sin (t) \\ \sin (u) \end{array}] \end{aligned}

Когато

u

се мени от

0

до

2 π

, стойностите на функцията

\vec{f} (u; t)

описват едно синьо сечение, а когато

t

се мени от

0

до

2 π

, сеченията обхождат целия тор.

Ето как изглежда параметричната повърхност, описана от

\vec{f} (u; t)

за всички стойности на параметрите

0 \leq u \leq 2 π

0 \leq t \leq 2 π

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Обобщение

Можем да изобразим дадена функция на два параметъра, чиито стойности са тримерни вектори, като начертаем всички стойности, съответстващи на даден регион от дефиниционната област на функцията. Резултатът от това е повърхнина, която наричаме параметрична повърхнина.
Обратният процес, при който започваме с дадена повърхнина и търсим функция, която я описва, се нарича параметризация на повърхнината. В общия случай тази задача не е лесна.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.