Оптимизация: сбор от квадрати

Питат ни: Коя е най-малката – тук има грешка – коя е най-малката възможна сума от квадратите на две числа, ако тяхното произведение е равно на минус 16? Нека да кажем, че тези две числа са х и у. Как може да дефинираме сумата от квадратите на тези две числа? Просто ще нарека сумата от квадратите на числата S – за сума от квадрати – и просто ще бъде равна на х на квадрат плюс у на квадрат. Това е, което искаме да минимизираме. Искаме да намерим минимума на сумата S. Сега S е изразена като функция на х и у. Не знаем как да минимизираме функция на две променливи. Следователно следва да изразим S като функция на една променлива. За щастие ни дават и допълнителна информация. Произведението на двете числа е равно на –16. Тоест х по у е равно на –16. Нека да кажем, че искаме да изразим този сбор ето тук само чрез променливата х. Тогава може да намерим на какво е равно у, изразено чрез х, и да го заместим. Нека да използваме този израз. Ако разделим двете страни на х, то получаваме у = –16/х. Нека да заместим у в първоначалната функция с получената стойност –16/х. Тогава ще получим сумата от квадратите като функция на х и ще бъде равна на х на квадрат плюс у на квадрат, което е равно на –16/х. Този израз сега ще бъде на квадрат. Получаваме, че това е равно на х на квадрат плюс... На какво е равно това? 256 върху х на квадрат. Или може да го запишем като 256 по х на степен –2. На това е равна сумата от квадратите, за която търсим минимума. За да намерим минимума на тази функция, трябва да намерим критичните точки, които са там, където производната или е равна на 0, или не е дефинирана. След това ще проверим дали тези критични точки са възможни точки на минимум или максимум. Не е задължително да бъдат, но ако функцията има точка на минимум или максимум, то това ще бъде в някоя от критичните точки. Нека да намерим производната. Производната е S' - нека да го запиша с различен цвят – S' от х. Всъщност ще го направя ето тук. Производната S' от х спрямо х, ще бъде равна на 2 по х минус 2 по х на степен (–2 –1), по 256. Това е равно на –512 по х на степен –3. Този израз не е дефиниран, когато х е равно на 0. Ако х е равно на 0, тогава у не е дефинирано. Следователно целият този израз не е дефиниран. Тогава това не е полезна критична точка, т.е. х равно на 0. Нека помислим за някакви други. Дефинирана е във всяка една друга точка. Нека да помислим къде производната е равна на 0. Кога този израз ще бъде равен на 0? Кога 2 по х – 512 по х на степен –3 ще бъде равно на 0? Може да прибавим 512 по х на степен –3 към двете страни на уравнението. Получава се 2х е равно на 512 по х на степен –3. Може да умножим двете страни по х на степен 3. Следователно всички хиксове се съкращават от дясната страна. Получава се 2 по х на степен 4 е равно на 512. Разделяме двете страни на 2 и получаваме х на четвърта степен е равно на 256. На какво е равно корен четвърти от 256? Е, може да намерим квадратен корен от двете страни, просто за да ни помогне в този случай. Нека да видим. Ще се получи х на квадрат е равно на...256 е равно на 16 на квадрат. Следователно е равно на 16. Получава се х на квадрат е равно на 16, или х е равно на 4. (Сал греши. Решенията са две: х = 4 и х = -4) Това е единствената критична точка, с която разполагаме. Вероятно това е стойността за х, при която сумата от квадратите на двете числа е минимална. Нека обаче да се уверим, че това е минимална стойност. За да го направим, може просто да изследваме втората производна. Нека да я намерим. Нека да намерим втората производна S'' от х и да проверим дали функцията е изпъкнала или вдлъбната при х = 4. S'' от х ще бъде равно на 2. След това имаме –3 по –512, което просто ще запиша като плюс 3 по 512. Това ще бъде равно на 1536, нали така? Да, 3 по 500 е равно на 1500, а 3 по 12 е равно на 36. Следва х на степен –4. Този израз, този израз ето тук, всъщност ще бъде положителен за всяка стойност на х. Този израз ще бъде положителен за всяка стойност на х. х на степен –4, дори и ако х е с отрицателна стойност, ще бъде равно на положително число. Всичко друго е положително. Този израз винаги ще бъде положителен. Следователно функцията винаги е изпъкнала. Изпъкнала функция означава, че графиката може да изглежда като нещо такова. Всъщност, не искам да я чертая прекалено малка. Може да изглежда като нещо такова. И виждаш, че има причина защо втората производна определя, че функцията е изпъкнала. Положителна втора производна означава, че първата производна постоянно нараства. Първата производна постоянно нараства. Отрицателна е, по-малко отрицателна, дори още по-малко отрицателна. Нека да го означа с различен цвят. Виждаш, че е отрицателна, по-малко отрицателна, дори още по-малко отрицателна. Става равна на 0, положителна, повече положителна. Нараства в рамките на целия интервал. Ако имаш критична точка там, където производната е равна на 0, т.е. наклонът е равен на 0, и функцията е изпъкнала, то особено ясно се вижда, че това е минимална стойност за функцията. А на какво ще бъде равно у? Всъщност дори не се налага да определяме на какво следва да бъде равно у, за да бъде минимална сумата от квадратите. Може просто да го заместим ето в този израз. Но, просто за удоволствие, виждаме, че у е равно на 16 върху х. Следователно у ще бъде равно на –4. (Сал греши. Решенията са две: у = 4 и у = -4) А сега може просто да намерим на какво е равна сумата от квадратите. Минималната сума от квадратите ще бъде равна на 4 на квадрат, което е равно на 16, плюс –4 на квадрат, което също е 16. Сборът им е равен на 32. Знам, че сега може би си мислиш, че дадената задача може да се реши без математически анализ. Може просто да опиташ с различни числа, които умножени дават резултат –16, и вероятно ще опиташ с 4 и –4. И не след дълго време щеще да разбереш, че сумата S e по-малка, отколкото, ако избереш 2 и –8, или –2 и 8, или 1 и 16. Това е вярно. Вероятно щеше да можеш да го направиш. Но все пак нямаше да разбереш, че това е минимална стойност, защото нямаше да опиташ с числа като 4,01 или 4,0011. Всъщност, можеше да опиташ с всички възможни стойности. Все пак не е казано в задачата, че търсим само цели числа. Просто в този пример се случи така, че стойностите, които намерихме, са цели числа. Може да си представиш какво щеше да се получи, ако задачата не беше, че произведението е равно на –16, а например е равно на –17. Ами ако беше равно на –16,5? Или ако беше равно на числото π на квадрат? То тогава нямаше да можеш да провериш с всички стойности, а щеше да прибегнеш до метода, който използвахме в настоящия урок.