Решен пример: диференциране на ln(√x) като сложна функция

Дадена е функцията f(x), която е равна на натурален логаритъм от квадратен корен от x. В този урок искаме да намерим производната на функцията f(x). Тук ключово е да забележиш, че функцията f(x) всъщност може да се разглежда като съставена от две функции. Можем да онагледим това. Какво се случва тук? Ако зададем число x за нашата функция f(x), кое е първото нещо, което правиш? Намираш квадратен корен от числото. Ако започнем с дадено число x, заместваш го във функцията, и първото нещо, което правиш, е да намериш квадратен корен от него. Ще намериш квадратен корен от избраното число x. Ще получиш на колко е равен квадратен корен от x. А след това какво ще направиш? Намираш квадратния корен, а след това намираш натурален логаритъм от него. Така че намираш натурален логаритъм от това и може да разглеждаш това като заместване на числото x в друга функция, която намира натурален логаритъм от това, което е въведено, т.е. числото x. Чертая тези малки квадрати, за да покажа какво става с числото, което сме заместили. И какво се получава тогава? Ами получаваш натурален логаритъм от квадратен корен от x. Натурален логаритъм от квадратен корен от x. Което е равно на функцията f(x). Може да разглеждаш f(x) като целия този набор от функции или тази комбинация от функции точно ето тук. Това е функцията f(x), която всъщност е съставена от две функции. Заместваш в една функция, след това вземаш резултата и го заместваш в друга функция. Можеше да е дадена функция u ето тук, която изчислява квадратен корен от въведеното число, така че u(x) е равна на квадратен корен от x. След това вземаш този резултат, и го заместваш в друга функция, която можем да наречем v. А на какво е равно v? Изчислява натурален логаритъм от това, което зададем. В този случай функцията f, или начина, по който направих схемата, v изчислява натурален логаритъм, като зададената стойност е квадратен корен от x. Следователно ни дава стойността на натурален логаритъм от квадратен корен от x. Ако искахме да запишем v с числото x като зададена стойност, просто щяхме да кажем, че това е натурален логаритъм, т.е. просто натурален логаритъм от x. Както можеш да видиш тук, функцията f(x), направих я с друг цвят предварително, е равна на... Функцията f(x) е равна на натурален логаритъм от квадратен корен от x. Тогава това е равно на v от квадратен корен от x, или е равно на v(u(x)). Следователно това е съставна функция, което означава следното. Ако се опитвам да намеря производната на тази функция, то верижното правило ще бъде много, много полезно. А верижното правило ни казва, че f'(x) ще бъде равно на производната на това, което може да наречем външна функция, спрямо това, което може да наречем вътрешна функция. Тоест ще бъде v'(u(x)). v'(u(x)) Умножено по производната на вътрешната функция спрямо x, което е равно просто на u'(x). А как ще изчислим тези неща? Е, знаем как да намерим производната на u(x) и v(x). u'(x) ще бъде равно на ... ако си спомняш, квадратен корен от x, е същото нещо като x на степен 1/2, така че може да използваме правилото за намиране производна на степен. Записваме 1/2 отпред, т.е. става 1/2 по x, а тук изваждаме една единица от степенния показател. Следователно това е равно на 1/2 – 1, което е равно на степен –1/2. А какво е v(x)? Извинявам се! Какво е v'(x)? Производната на натурален логаритъм от x e 1/x, което ни е известно от предишни уроци. Следователно знаем на какво е равно u'(x). Знаем на какво е равно и v'(x). A на какво е равно v'(u(x))? За v'(u(x)) там, където виждаме x, просто ще го заместим. Ще го запиша малко по-ясно. Заместваме това с u(x), така че v'(u(x)) ще бъде равно на 1/u(x). 1 върху u(x), което е равно на... Това е равно на 1 върху u(x), а u(x) е равно на квадратен корен от x. Тоест получаваме 1 върху квадратен корен от x. И така, намерихме, че това нещо, ето тук, е равно на едно върху квадратен корен от x. Следователно тази производна, ето тук, т.е. u'(x), намерихме, че е равна на 1/2 по x на степен –1/2. x на степен –1/2 мога да го запиша като 1/2 по 1 върху x на степен 1/2, което е същото нещо като 1/2 по 1 върху квадратен корен от x. Или мога да запиша това като 1 върху 2 по квадратен корен от x. А на какво ще е равно това произведение? Ще бъде равно... в зелен цвят - на... v'(u(x)) е равно на 1 върху квадратен корен от x умножено по u'(x), което е 1 върху 2 по квадратен корен от x. А сега този резултат на какво ще е равен? Ще бъде равен на... В този момент тук просто използваме алгебра. 1 върху...Тук имаме 2 и квадратен корен от x по квадратен корен от x, което е равно на x. Тогава резултатът се опростява до 1 върху 2 по x. Надявам се, че разбираш какво направихме. Умишлено го направих като схема, за да може да тренираш съзнанието си да разпознава съставни функции. И така по-добре да разбереш някои от тези изрази от верижното правило, които може би познаваш от часовете по анализ. Или от учебника по анализ. Но с повече упражнения ще можеш да го правиш без да се налага да записваш всичко това. Може би ще кажеш: виж, имам съставна функция. Това е натурален логаритъм от квадратен корен от x. Това равно на v(u(x)). Тогава това, което искам да направя, е да намеря производната на външната функция спрямо тази вътрешна функция. А производната на натурален логаритъм от нещо, спрямо това нещо, е равна на 1 върху това нещо. Тоест производната е равна на 1 върху това нещо. Производната на натурален логаритъм от нещо, спрямо това нещо, е равна на 1 върху това нещо. Това, което току-що направихме, е същото. Един възможен начин да мислиш за това е като си зададеш следния въпрос: На какво ще бъде равно натурален логаритъм от x? Това ще бъде 1 върху x, но сега ни е дадено натурален логаритъм не от x, а от квадратен корен от x. Следователно производната ще бъде равна на 1 върху квадратен корен от x. И така, намираш производната на външната функция спрямо вътрешната, и просто умножаваш резултата по производната на вътрешната функция спрямо x. И сме готови.