Разработен пример: Диференциране на свързани функции

Диференцируемите функции X и Y са свързани чрез следното уравнение. sinX + cosY е равно на sqrt(2) или корен квадратен от 2. Казват ни също, че производната на X спрямо t, е равна на 5. Искат от нас да намерим производната на Y спрямо t, когато Y = π/4 и 0 < X < π/2. Като вземем предвид, че ни дават производната на X спрямо t, а искат от нас да намерим производната на Y спрямо t, можем да предположим, че и двете функции, X и Y, са функция на t. Дори може да запишеш това уравнение ето тук. Може да го запишеш като sinX, което е функция на t, плюс cosY, което също е функция на t. Цялото е равно на sqrt(2). Може да те обърка малко, ако нямаш навика да виждаш X като функция на трета променлива или Y като функция на нещо, различно от X. Но запомни, че X и Y са просто променливи. Това може да е F(t), а това би могло да е G(t), вместо X(t) и Y(t). Това може да ти се струва по-естествено. Няма нужда да го казваме, но ако искаме да намерим dY/dt, това, което искаме да направим, е да намерим производната спрямо t и на двете страни на уравнението. Нека го направим. Ще го направя с лявата страна, т.е. вземам това спрямо t или производната на това спрямо t. Търсим производната на това спрямо t. След това намираме производната на дясната страна, която е константа, спрямо t. Нека помислим за всяко едно от тези неща. Какво е това? Нека го означа с друг цвят. Нещото, което правя с този синкав цвят тук, как може да го запиша? Намирам производната спрямо t. Имам синус от нещо, което е функция на t. Следователно просто ще приложа верижното правило. Първо ще намеря производната спрямо X на sinX. Мога да запиша като sin(X(t)), но просто ще се придържам към sinX тук, за да е по-ясно. Тогава ще умножа това по производната на вътрешната функция спрямо t, умножено по производната на X спрямо t. Това може да ти изглежда нелогично, т.е. как прилагаш верижното правило преди, когато имахме само X и Y. Всичко, което се случва обаче, е да намеря производната на външната функция, на синус от нещо, спрямо нещото, което в този случай е X. Тогава търся производната на нещото, което в случая, е, X спрямо t. Mоже да направим същото нещо за втория член ето тук. Тогава искам да намеря производната спрямо Y, като може да я наречеш външната функция, на cosY. Тогава ще умножиш това по производната на Y спрямо t. Тогава всичко това на какво ще бъде равно? Производната на константа спрямо t, защото sqrt(2) е константа, няма да се промени, когато t се променя. Така че производната ѝ, скоростта ѝ на изменение, е нула. Добре, сега просто трябва да намерим всички тези неща. Първо, производната на X спрямо t, от sinX, е cosX, умножено по производната на X спрямо t. Ще го запиша ето тук. Производната на X спрямо t. Това, което ще получим... тук има плюс... е производната на Y спрямо t. Така че плюс производната на Y спрямо t. Просто разменям реда тук, така че това минава отпред. Каква е производната на cosY спрямо Y? Това е –sinY. Нека просто поставя sinY тук, тогава ще имам минус. Изтривам това и поставям минус тук. И всичко това ще бъде равно на нула. Какво може да намерим сега? Казали са ни, че производната на X спрямо t, е равна на 5 ето тук. Следователно това е равно на 5. Искаме да намерим производната на Y спрямо t. Казват ни, че Y = π/4. Това тук Y, т.е. π/4, така че знаем, че това е π/4. Нека да видим какво трябва да намерим. Тук все още имаме две неизвестни. Не знаем какво е X и не знаем, каква е производната на Y спрямо t. Това е, което трябва да намерим. Какво ще бъде X? Какво ще бъде X, когато Y = π/4? За да намерим това, може да се върнем към първоначалното уравнение тук. Когато Y = π/4, нека да запиша какво се получава. Синус от X плюс косинус от π върху четири е равно на квадратен корен от две. За cos(π/4), се връщаме към единичната окръжност. Намираме се в първи крадрант. Ако изберем градуси, този ъгъл е 45 градуса. Това означава sqrt(2)/2. Следователно може да извадим sqrt(2)/2 от двете страни, което ще ни даде sinX е равно на... е, ако извадим sqrt(2)/2 от sqrt(2), изваждаш половината от него, така че ще остане половината от него. Следователно sqrt(2)/2. Каква стойност се получава за X, когато извадя този синус от него? Спомни си, че мислим къде е ъгълът, като си представяме единичната окръжност. В този случай X e ъгъл в първи квадрант ето тук. Тогава това отново ще бъде π/4. Това ни казва, че X = π/4, когато Y = π/4. И така знаем, че това също е π/4. Нека да запиша това отново, защото става малко претрупано. Знаем, че 5 пъти по cos(π/4) минус dY/dT, т.е. производната на Y спрямо t, което всъщност искаме да намерим, умножено по sin(π/4), е равно на нула. Равно е на нула и го слагаме в скоби, за да изясним малко нещата. Добре, нека да видим. Сега малко алгебра. cos(π/4) вече знаем, че е sqrt(2)/2. sin(π/4) също е sqrt(2)/2. Какво става ако разделим двете страни на уравнението на sqrt(2)/2? Какво ще ни даде това? Е, тогава това sqrt(2)/2, разделено на sqrt(2)/2 Тоест sqrt(2)/2, разделено на sqrt(2)/2 ще бъде единица. sqrt(2)/2, разделено на sqrt(2)/2 ще бъде едно. Тогава нула, разделено на sqrt(2)/2 просто ще бъде нула. Цялото това нещо се опростява до пет пъти по едно, което е просто пет минус производната на Y спрямо t, цялото равно на нула. Ето това се получава. Прибавяш производната на Y спрямо t към двете страни и получаваме, че производната на Y спрямо t е равна на пет, когато всичко дотук е вярно. Или когато производната на X спрямо t е пет, и производната... всъщност при Y = π/4 и производната на Y спрямо t е пет.