Анализ на задачи, съдържащи функционално зависими скорости: уравнения (тригонометрия)

"20-метрова стълба е облегната на стена. Разстоянието x(t) между долния край на стъблата и стената нараства със скорост 3 метра в минута. В даден момент t нулево върхът на стълбата е на разстояние y(t нулево) от 15 m от земята. Каква е скоростта на изменение на ъгъла θ(t) (тита) между земята и стълбата в този момент?" Сега искам да направя един чертеж. И наистина първата стъпка, върху която да помислим, е какво уравнение ще ни е необходимо, за да решим задачата. Тогава може просто да продължим напред и действително да я решим. 20-метрова стълба е облегната на стена. Нека да начертаем стена тук. Това е моята стена. Сега нека да начертая нашата 20-метрова стълба. Може би изглежда ето така. Това са 20 метра. Дават ни разстоянието x(t) между долния край на стълбата и стената. Ето това разстояние тук. Това е... разстоянието ето тук е x(t). Казват, че нараства със скорост 3 метра в минута. Значи знаем, че може да кажем, че x'(t), което е същото нещо като dx/dt, е равно на 3 метра. Ще го запиша, защото е трудно, ако кажа m върху m, и може да не е толкова ясно. Метра на минута, така че ни дават тази информация. Това е скоростта на изменение на x спрямо времето, което са ни дали. В даден момент t нулево върхът на стълбата е на разстояние 15 метра от земята. Нека да изясним това с върха на стълбата. И така, това разстояние точно ето тук e y(t). y(t) И ни казват, че в момент t нулево y(t) = 15 m. Нека да го запиша тук, y(t нулево) = 15 m. Ще запиша това ето тук. Това е y(t нулево). Нека да предположим, че чертаем в момент от време t нулево, защото смятам, че това ще бъде важно. y(t нулево) = 15 m Искат да знаят, каква е скоростта на изменение на ъгъла θ между земята и стълбата. Това означава, че θ също се изменя спрямо времето. Следователно това ще е функция на времето между земята и стълбата в дадения момент. Нека за θ да избера друг цвят. θ е този ъгъл ето тук, това е θ. И той също ще бъде функция на времето. Всичко, което винаги искаме да направим в тези задачи със свързани скорости, е, да съставим уравнение. Наистина алгебрично уравнение, като може да има и малко тригонометрия. То свързва нещата в задачата, които имат значение. Тогава искаме да намерим производните на двете страни, за да направим връзка между скоростите. Нека да видим. Искаме да знаем скоростта на изменение на ъгъла между земята и стълбата в този момент. Следователно това, което трябва да намерим, е θ' в момента t нулево. Това е, което искаме да намерим. В задачата ни дават някои интересни неща. Предполагам, че дадената скорост на изменение на x спрямо времето е постоянна и е 3 m/min. Искаме и да знаем колко е y в този момент. Нека да видим, дали можем да създадем връзка. Защото са ни дали dx/dt и действително ще бъде по-полезно да намерим връзка между x и θ, след което да намерим производната на двете страни. Тогава вероятно ще използваме тази информация, за да намерим подходящата стойност на x или θ в този момент. Нека да го направим. Как x е свързано с θ? Е, тук използваме малко тригонометрия. Ако вземеш хипотенузата умножена по cosθ ще получиш x. Нека го запиша ето тук. x(t) е равно на хипотенузата, т.е. 20 метра, защото толкова е дълга стълбата, умножено по косинус от тета. Казвам косинус от θ(t), само за да стане ясно, че е функция на времето. Това идва директно от тригонометрията. Всъщност това са определенията на основни тригонометрични функции. Защо това е полезно? Защо смятам, че е полезно? Нека да помислим какво се получава, когато намеря производната на двете страни, като приложа верижното правило. От лявата страна ще получа x'(t). А на какво ще е равно? Какво ще получа от дясната страна? Като приложи верижното правило първо намирам производната спрямо θ. Това просто ще бъде –20 по синус от θ(t). Сега трябва да го умножа по θ'(t). Така че мога да кажа, че знам колко е x'(t) в момент t нулево. Мога да опитам да намеря колко е sin(θ(t)) и тогава просто да намеря това тук. Нека го направим. В момент t нулево, т.е. за t е равно на t нулево. Какво ще имаме за x'(t)? Във всеки момент е 3 m/min, като вземем предвид, че скоростите са в m/min. Тоест стойностите са в метри, когато става дума за разстояние, а ъглите са в rad (радиани). Тогава за това се получава 3 е равно на –20 по sin(θ(t)), по производната на θ спрямо времето. Как да намерим на какво е равно sin(θ(t))? Нека просто да използваме информацията, която са ни дали. Преминавам малко надолу, за да имам повече място. И така, нека да запиша синус от тета ето тук. Синус от тета в момент t нулево, защото това е, което ни интересува, т.е. t = t нулево. Какво ще бъде това? Синусът е срещулежащ катет върху хипотенузата. Тогава това ще бъде y(t нулево). върху хипотенузата от 20 m. Това е равно, доколкото ни казват, y(t) е равно на 15 m върху 20 m. Което е равно на 3/4. Следователно с тази информация в жълто всъщност ни казват, че ето това тук ще бъде равно на 3/4. Това умножено по 3/4, по скоростта на изменение на тета спрямо t. Сега просто трябва да го намерим и сме готови. Колко е –20 по 3/4? Това е –15. Това е –15. Ако разделим и двете страни на –15, получаваме, че θ'(t) е равно на –3/15. Което е същото нещо като да бъде равно на –1/5. Мерните единици за това тук ще бъдат rad/min (радиани на минута). Защото всичките ни скорости са за минута. Ако исках, можех да запиша радиани на минута. Бих го записал точно тук. Ето, готови сме! Успяхме да го решим и това е много интересно, защото са ти дали тази информация за y, но действително я използваш, за да намериш на какво е равно sinθ. Но уравнението, което състави, включва x и θ.