Трансформация на Лаплас от функцията на Хевисайд

Целта на изучаването на диференциални уравнения е създаването на модели на реални физични системи. Знам, че всичко изучено дотук, са начини за решението им, но основната причина за това е, че с диференциалните уравнения могат да се опишат много системи, които да моделираме по този начин. Знаем, че в реалния свят не всичко се описва с тези приятни непрекъснати функции. Затова в следващите няколко урока ще говорим за функции, които са са прекъснати за разлика от разглежданите досега в традиционната висша математика, или в подготвителния клас по висша математика. Първо ще разгледаме функцията на Хевисайд. Нека я означим с u, като ще поставя един долен индекс c, u от t. Дефинирана е по следния начин. Равна е на 0, когато t е по-малко или равно на c, или какъвто индекс изберем, т.е. t е по-малко от с. Равна е на 1, когато t е по-голямо или равно на с, и затова се нарича още единична прагова функция или функция на единичния скок. Ще начертая графиката ѝ, което може да направиш и ти. Не е трудно да се начертае. Ще начертая оста х ето тук. Ще направя малко по-плътна линия. Това е оста х. А това тук е оста у. Когато говорим за интегрално преобразование или за трансформация на Лаплас, което след малко ще обясним, ни интересува само t по-голямо от 0. Видяхме, че при определението за трансформация на Лаплас винаги изчисляваме интеграл от 0 до безкрайност, така че работим само с положителната част на оста х. Според определението обаче функцията е равна на 0, докато аргументът не достигне стойност с. Тоест, при t > 0 функцията е равна на 0, докато не достигнем до с (виж чертежа). В точката с има "скок", а самата точка включва х равно на с. Щом я включва, ще поставя точка ето тук, защото условието е по-голямо или равно на с. Функцията е равна на 1. Ето това тук е 1. След това остава постоянна стойност през цялото време. Ще попиташ "Сал, току-що каза, че изчучаваме диференциалните уравнения, за да моделираме неща, тази функция къде може да ни е полезна? В реалния свят понякога имаме нещо, което разтърсва нещо друго и го премества от тази позиция до тази позиция. Очевидно нищо не може да бъде преместено точно по този начин, но може да имаш система, например електрическа или механична система, при която поведението изглежда като нещо подобно, т.е. премества се по подобен начин. И тази функция е едно добро аналитично приближение за вид поведение от реалния свят като това тук, при което нещо се премества. При решаването на диференциални уравнения аналитично искаме да получим идеален модел на нещо. Ще видим, че моделът не описва перфектно нещата, но помага описанието да е достатъчно точно, за да придобием представа какво се случва. Понякога ще описва точно дадено нещо, но за момента ще пренебрегнем това, така че аз ще изтрия тези неща ето тук. Първият въпрос е: какво би се случило, ако зависимостта не се променя рязко по този начин? Какво следва, ако искам да създам още такива странни функции, или такива стъпаловидни функции? Нека да кажем, че искам да създам модел, който изглежда ето така. Нека това е оста у. Това е оста х. Нека да кажем, че искам да създам следното нещо. Ще използвам различен цвят. Нека функцията да е равна на 2, докато не достигна до π (пи). След това от π до безкрайност просто остава 0. Как да опиша тази функция, като използвам функцията на Хевисайд? Какво ще стане, ако я запиша ето така? Функцията на Хевисайд започва от 0. Мога ли да я запиша като 2 минус функцията на Хевисайд, която започва от π? Ако дефинирам функцията по този начин, ще се получи ли? Ако е функция на Хевисайд, когато достигнем π, ще бъде равна на 1, а сега искаме тази функция да е равна на 0. Следователно трябва да бъде 2 минус 2 така, че ще поставя 2 тук. И следва да се получи. Когато е равна на стойност преди π, т.е. когато t е по-малко от π, тази част става 0 и тогава цялата функция ще бъде равна на 2, както е ето тук. Когато обаче х достигне до π, което сега е с в този пример, т.е. когато стигне дотук, функцията на Хевисайд става равна на 1. Умножаваме по 2 и се получава 2 минус 2, и достигаме дотук, което е 0. Всичко това е хубаво, но нека да кажем, че искаме отново да има скок във функцията. Тоест вместо да се движи по този начин – нека само да изтрия това, ще повторя оста х със синьо – искаме функцията отново да направи скок. Искаме отново да има скок. Нека да изберем стойност 2π, където функцията отново прави скок. Как да опишем тази функция? Може скокът да е до коя да е стойност, но нека изберем да скочи отново до 2. Може просто да прибавим още една функция на Хевисайд. Стойността е била 0 през цялото време, докато не достигне ето тази точка. При 2π обаче отново прави скок, т.е. сега с ще бъде 2π. Това е функция на Хевисайд и искаме да има скок до 2. Тази по дефиниция достига до 1, т.е. нека да я умножим по 2. Сега имаме цялата тази функция. Представи си, че можеш да създадеш произволна сложна функция от неща, които "скачат" нагоре и надолу до различни нива, чрез различни комбинации от единични стъпаловидни функции. А какво ще стане, ако искам да направя нещо още по-странно? Например такова. Нека имам дадена някаква функция, която изглежда ето така. Ще начертая някаква функция. Линията трябва да е по-права от това. Трябва да прилича на нещо. Нека функцията да е както обикновено f от t. Нека това е оста х. Всъщност защо означавам ос х? Това следва да е оста t. Създаваме областта на времето. Можеше да бъде и х. А тази ос ще бъде f от t. Ще начертая произволна функция f от t. Нека функцията изглежда като ето такова щуро нещо. Това е моята функция f от t. Какво ще стане, ако моделирам физична система, която не се държи по този начин? Достига до дадена точка – или нека да приемем, че остава на 0. Остава 0, докато достигне дадена стойност. Нека остава 0 до някаква стойност. Отново избираме да е с. f от t се издига след точката с. f започва да се издига след точката с, така че изглежда по ето този начин. Следователно имаме комбинация от 0 през цялото време и след това преместване с f от t. В точката с има преместване с f от t ето така. Как да опишем тази жълта функция, която е като преместена версия на тази зелена функция, но преди с е равна на 0? Зелената функция може да продължава. Може да е нещо ето такова. Може да е нещо щуро, ето така, но това, което направихме, е да е преместим от тук ето тук, като е равна на 0 преди с. Как може да опишем това? За да преместим функцията, както сме учили в Алгебра II, или в подготвителния курс по висша математика, за да преместим надясно графиката на функцията със стойност с, просто трябва да заместим t с (t – с). Тогава тази функция тук е f от (t минус с). За да съм сигурен, че е правилно, си задавам въпроса, какво ще се случи, когато t е равно на с? Когато t е равно на с, ще имаш с минус с, което ще ти даде f от 0. f от 0 следва да е една и съща стойност. Когато t е равно на с, то тази стойност на функцията следва да е равна на стойността на първоначалната зелена функция за 0. Тоест равна е на тази стойност, което е логично. Ако достигнем стойност с 1 повече от с, нека това е тя, то тази стойност е равна на с плюс 1. Когато заместим t със с плюс 1 минус с, получаваме само f от 1, а f от 1 действително е тази точка ето тук. Тогава ще бъде равно на f от 1 и има смисъл. Следователно след преместване с единица напред действително имаме същата стойност на функцията, както f от 1, т.е. преместването е вярно. Ако просто преместя функцията, то и цялата останала част се премества, защото тя е била там и при първоначалната позиция на функцията. Ще скицирам функцията съвсем леко. Тя продължава тук. Искахме стойността на функцията да е равна на нула преди да достигне до с. Тогава как да я направим нула? Мисля, че за теб е очевидно вече. Започнахме урока с функцията на Хевисайд. Какво ще се получи, ако умножа функцията на Хевисайд по f от (t – с)? Какво ще се получи? Новата функция ще означа като функция на Хевисайд от t, до с, умножено по f от (t – с). Какво ще се получи? Докато достигнем до с, функцията на Хевисайд е нула. Докато достигне до с. Следователно ще имаме нула по тази стойност, без значение каква е, защото всичко, умножено по нула, дава нула. Тогава тази функция е нула. Когато достигне до с, функцията на Хевисайд става 1. Когато достигне до с тази функция става 1 и просто следва да умножим функцията с 1. Следователно функцията приема същия вид и действително е преместена. Това (t – с) е всъщност стойността, с която преместваме зелената функция надясно. Това действително ще бъде една много полезна функция. След момент ще намерим интегралната трансформация на Лаплас за тази функция, и мисля, че ще разбереш, защо тази функция е полезна. Сега обаче разбираш какво представлява тя и защо функцията се премества и защо е равна на нула преди тази точка. Споменах, че това е полезна функция, така че нека прибавим нейната трансформация на Лаплас към колекцията ни от интегрални трансформации на Лаплас. Нека го направим. Търсим интегралната трансформация на Лаплас за тази функция. Имаме функция на Хевисайд до с. Ще го направя за общия случай, а в следващия урок ще разгледаме повече примери за това къде намира приложение. Трябва обаче поне да си обясним какво означава трансформация на Лаплас за тази функция. Трансформацията на Лаплас за произволна функция, или определението за нея, което имаме дотук, е интеграл от 0 до безкрайност, от е на степен минус s по t, умножено по дадената функция. Последната сега е функцията на Хевисайд u с индекс c, от t, умножено по f от t минус с, dt. Така изглежда много общо. На пръв поглед изглежда труден за изчисление интеграл, но може би можем да използваме някакво заместване, за да го приведем във вид, който ни е познат. Нека да направим заместване. Ще използвам подходяща променлива, с която да работим. Никъде досега не използвахме х. Може да изберем да е х. Това е най-подходящата променлива, с която да работим. Понякога ще видиш в много курсове по математика да въвеждат странни латински означения, а това само по себе прави задачата трудна за разбиране. Аз предпочитам да не използвам тези щури латински означения, така че ще използваме познатата ни х. Нека направим заместване. Нека х да е равно на t минус с. А ако прибавим t към двете страни, може да кажем, че t е равно на х плюс с. Нека видим какво се получава след заместването. Ако намерим производната от двете страни на тези изрази, т.е. диференциалите, ще се получи dx е равно на dt. Имам предвид, че ако намерим dx спрямо dt, ще се получи равно на 1, защото с е просто константа. Тогава, ако умножим двете страни по dt, получаваме dx е равно на dt, и това е много удобно заместване. Как ще се промени интеграла след това заместване? Интегралът имаше граници от t равно на нула до t равно на безкрайност. На какво е равно х, когато t е равно на 0? х ще бъде равно на минус с. Нека преди тази стъпка всъщност да се върна стъпка назад, защото можем да продължим с решението и в тази посока, но можем обаче и да опростим повече задачата предварително. Нека се върнем към първоначалния интеграл преди дори да направим заместването. Търсим интеграл от нула до безкрайност от този израз, нека помислим – как изглежда този интеграл? Как изглежда тази функция? Имаме тази функция на Хевисайд ето тук. Имаме тази функция на Хевисайд ето тук. (подчертава u в интеграла) Следователно целият този израз е равен на нула преди t да достигне стойност с. От определението следва, че тази функция на Хевисайд е нула докато достигне стойност с. Следователно всичко това е равно на нула преди да достигне стойност с. Действително не е необходимо да намираме интеграл от t равно на нула до t равно на безкрайност. Може да намерим следния интеграл. Нека го запиша ето тук. Ще използвам стария знак за интеграл. Може просто да намерим интеграл от t равно на с до t равно на безкрайност от 'e' на степен минус s по t, по функцията на Хевисайд uc от t, по f от (t минус с), dt. На тази стъпка функцията на Хевисайд вече не е необходима. Преди t да стане равно на с, функцията е 0. Нас ни интересуват само стойности по-големи от с, т.е. когато е равна на 1. Следователно в този контекст е равна на 1. Искам много добре да изясня това за теб. Какво направих току-що? Смених нашата долна граница от 0 на с. Мисля, че разбираш защо го направих, когато приложих заместването. Това би опростило нещата, ако се направи предварително. Имаме тази функция на Хевисайд, която ще направи равен на нула целия този интеграл преди да достигне до с. Спомни си, че този определен интеграл е просто площта под кривата на цялата тази функция, т.е. на функцията на Хевисайд по ето този израз. Целият този израз, когато го умножим, ще бъде равен на нула, докато достигнем стойност с. След стойност с ще бъде равен на 'е' на степен минус s по t, по f от t, минус с. Тогава започва да се държи по ето този странен начин. Ако искаме да намерим площта под тази крива, можем да пренебрегнем всичко, което се случва преди с. Тогава вместо границата да е от t равно на 0 до безкрайност, може да използваме от t равно на с до t равно на безкрайност, защото преди t равно на с няма площ. Това е всичко, което направих тук. Другото нещо, което казахме, е, че функцията на Хевисайд ще бъде равна на 1 върху целия този интервал от потенциални стойности t. Тогава може просто да я пренебрегнем. Ще бъде равно на 1 през цялото това време, така че интегралът се опростява до интеграл от t равно на с до t равно на безкрайност, от е на степен минус s по t, по f от (t – с), dt. Това значително опростява задачата. Бях поел в друга посока, когато приложих заместването първоначално. Това би проработило, но мисля, че причината да сменя границите, е достатъчна, за да го направя. След като вече имаме това, нека се върнем назад и направим заместването х равно на t минус с. Получава се следното за интеграла. Ще го запиша със зелено. Когато t е равно на с, на какво е равно х? Тогава х е 0, нали така? с минус с е равно на 0. А колко е х, когато t е равно на безкрайност? Безкрайност минус коя да е константа отново е безкрайност. Границата е t клони към безкрайност, т.е. х също ще клони към безкрайност. Имаме интеграл от 'е' на степен минус s, но сега вместо t имаме заместване. Знаем, че х е равно на t минус с и тогава можем просто да прибавим с към двете страни и да получим t равно на х плюс с. Получава се х плюс с тук. Следва умножено по f от t минус с, но казахме, че t минус с е равно на х. А dt е същото нещо като dx. Показахме го ето тук така, че може да запишем това като dx. Това започва да изглежда интересно. И на какво е равен този израз? Равен е на интеграл от 0 до безкрайност. Нека разкрия скобите. Следва 'е' на степен минус s по x, минус s по с, по f от х, dx. А това на какво е равно? Може да изнесем 'e' на степен минус s по c пред интеграла, защото не е свързано с променливата, спрямо която интегрираме. Нека го направим. Ще изнеса този член, и за да не те обърквам, ще запиша отново целия израз. От нула до безкрайност. Мога да запиша този член ето така. Нека да е по следния начин. Ще запиша това, което вече е в зелено, като 'e' на степен минус s по x, по 'е' на степен минус s по c. Основата е една и съща. Ако трябва да умножа тези два члена, просто ще събера степенните показатели. И умножено по f от x, dx. Този член е константа спрямо х, така че можем просто да го изнесем пред интеграла. Просто изнасяме този член пред интеграла, за да получим 'е' на степен минус s по с, по интеграл от 0 до безкрайност от 'е' на степен минус s по x, по f от x, dx. Какво направихме дотук? Намерихме интегралната трансформация на Лаплас от функцията на Хевисайд, която достига до с, като стойността ѝ е 0 преди с, а след това е 1, от t по някаква изместена функция f от (t – с). Получаваме, че този израз е равен на ето този и сме направили заместване. Направихме малко опростяване. 'е' на степен s по c, умножено по интеграл от 0 до безкрайност, от 'е' на степен минус s по x, f от x, dx. О, нещо на таблета не работи както трябва в този момент. Но това би трябвало да ти се струва интересно. Какво е това? Това е интегралната трансформация на Лаплас за f от х. Нека го запиша. Какво се получава за трансформацията? Мога да го запиша като f от t или f от х. Интегралната трансформация на Лаплас за f от t е равно на интеграл от 0 до безкрайност, от 'е' на степен минус s по t, по f от t, dt. Този и този израз са едно и също нещо. Просто ето тук използваме t, а тук използваме х. Няма разлика. Просто буквени означения. Това е f от t. 'е' на степен минус s по t, по f от t, dt. Можех да го запиша и като трансформация на Лаплас за f от t. Можех да запиша това като интеграл от 0 до безкрайност, от 'е' на степен минус s по у, f от y, dy. Можех да го запиша и така, защото това е определен интеграл. y ще изчезне и вече го видяхме. Остава само функция от s. Резултатът ще означим с главна буква като функция от s. Това е интересно. Това е трансформация на Лаплас от f от t, умножено по някакъв мащабиращ коефициент, именно което искахме да покажем. Сега можем да покажем, че интегралната трансформация на Лаплас от функцията на Хевисайд, умножена по някаква функция от (t – с), е равно на тази функция ето тук: 'е' на степен минус s по c, където това с е същото с ето тук, умножено по интегралната трансформация на Лаплас за f от t. Трансформация на Лаплас – не знам какво се случва с таблета в този момент – от f от t. Нека го запиша. Равно е на следното. Изглежда смешно ето тук. 'е' на степен минус s по c, по интегралната трансформация на Лаплас от f от t. Следователно това е крайният резултат. А какво означава това? О, изглежда, че се върнахме назад по някакъв начин. Какво означава това? Какво можем да направим с това? Ако искаме да намерим интегралната трансформация на Лаплас за функцията на Хевисайд от t, която започва в π. Нека да кажем, че имаме нещо, което познаваме добре. Синус от (t – π). Функцията е изместена, нали така? Таблетът ми наистина има проблем точно в този момент. Ще направя пауза. Току-що направих пауза. Извинявай, ако това беше малко смущаващо. Просто спрях видеото, защото имах проблем да записвам върху дъската в някакъв момент. Нека отново запиша резултата, който току-що доказахме. Интегралната трансформация на Лаплас за функцията на Хевисайд от t, която достига до 1 за някаква стойност с – умножена по друга функция, която е отместена на с единици вдясно, е равно на 'е' на степен минус s по c, по трансформацията на Лаплас за не-отместената функция. Това е нашият резултат. Това е големият извод от настоящия урок. И ако това ти изглежда труден за разбиране резултат, можем да го приложим на практика. Търсим трансформация на Лаплас. Това беше нещото, което правех, преди писалката на таблета да спре да работи. Искаме да намерим интегралната трансформация на Лаплас за функцията на Хевисайд, която достига 1 в точката π, умножена по функцията синус, отместена с π надясно. Знаем, че това ще бъде равно на 'е' на степен минус s по с. В този случай с е π, т.е. имаме минус π по s, умножено по трансформацията на Лаплас за не-отместената функция. В дадения случай това е интегралната трансформация на Лаплас за функцията синус от t. А ние знаем, че трансформацията на Лаплас за синус от t, е просто равна на 1 върху s на квадрат, плюс 1. Тогава интегралната трансформация на Лаплас на този израз тук, който преди този урок изглеждаше като нещо много странно, знаем вече, че е равно на това, умножено по това. Тоест равно е на 'е' на степен минус π по s, по този израз. А можем да запишем и 'е' на степен минус π по s, върху s квадрат плюс 1. Ще решим още няколко такива примера в следващия урок, където ще се движим напред и назад между света на Лаплас и стойността t, т.е. между множеството на s и множеството на времето t. Ще ти покажа, че това е много полезен резултат за намиране трансформация на Лаплас и за решаване на обратната задача.