Транспониране на сума на матрици и на обратни матрици

Да видим дали можем да докажем по-убедително някои интересни свойства на транспонирането. Да дефинираме матрица С, която е равна на сумата на две други матрици А и В. Произволен елемент на С ще дефинирам с малко cij. Значи в i-ия ред и j-ия стълб ще имаме елемента cij, като всеки елемент е сумата от съответните елементи на тези матрици А и В. Значи елементът ij на С ще бъде равен на елемента ij в матрицата А плюс елемента ij в матрицата В. Това е определението за събиране на матрици. Взимаме съответните елементи в даден ред и стълб, събираме ги и получаваме елемент в същия ред и стълб и новата матрица е сума от другите две матрици. Сега да разгледаме транспонираните матрици на тези матрици тук. Ако матрицата А изглежда ето така, няма да записвам всичките ѝ елементи. Ще ми отнеме цяла вечност. Но всеки елемент е ij, ето така. Транспонираната матрица на матрицата А изглежда ето така. Всеки елемент – ще го наречем – ако вземем същия елемент, ще го наречем a'ij. Тези вероятно няма да са същите. Има вероятност да са, но по-скоро няма да са еднакви. Това е ij-ият елемент. Той е в ред i, стълб j. Транспонираната матрица на А, A транспонирана. Фактът, че това е транспонираната версия на това означава, че всички елементи на даден ред и стълб тук ще бъдат в този стълб и ред ето тук, че редовете и стълбовете са разменени. Сега знаем, че можем да запишем, че a'ij е същият елемент като aji. Може би аji е ето тук. Значи този елемент тук, който е на същото място като този тук, ще бъде равен на този елемент ето тук, ако превърнем стълбовете в редове. Мисля, че приемаш това. Можем да направим същото твърдение за матрицата В. Всъщност ще го начертая. Ако вземем транспонираната версия на матрицата В. Елементът в i-тия ред и j-тия стълб ще означим като b'ij. Ето така. Точно както за матрицата А. Можем да кажем, че b'ij е равен на – взимаме матрицата В, и какъв елемент ще имаме в j-тия ред и i-тия стълб. Това е, можем да кажем, определението за транспониране. Ако сме в третия ред и втория стълб, това е елементът от втория ред и третия стълб. Добре. Вече знаем на какво е равен cij. На какво ще е равен тронспонираният елемент на cij? Ще го запиша. Значи С транспонирана – ще го запиша тук. На какво е равна C транспонирана? Ще използвам същия начин на записване. Прим означава, че това са елементите на транспонираната матрица. Значи С транспонирана ще има куп елементи, ij. Тук ще сложа знак прим, който показва, че това са елементите на транспонираната матрица, а не на самата матрица С. Знаем, че с'ij е равно на cji. Няма нищо ново тук. Просто изразяваме определението за транспониране на тези три матрици. И на какво е равно cji? Да се съсредоточим върху това за малко. На какво е равно cji? Знаем, че cij е равно на аij плюс bij, така че ако ги разменим, това ще бъде равно на... просто разменяме i и j. а с индекс ji плюс b с индекс ji. Аз използвах тази информация тук – можеш да го разглеждаш като допускане или като това определение – за да стигнем от тук до тук. Ако тук имах х и у, щях да имам х и у тук, и х и у тук. Тук имам j и i, значи имам j и i тук, и j и i ето тук. Какво представляват тези? На какво са равни те? Това е равно на... Този елемент тук е равен на... ще използвам зелено – на същия елемент на транспонираната матрица на А за мястото ij. А това е равно на съответния елемент на транспонираната матрица на B на мястото ij. Какво означава това? Това означава, че C транспонирана, която е равна на А транспонирано плюс В транспонирано, означава, че транспонираната матрица от сбора на матриците А и В е равна на транспонираната С, или на C транспонирано. Ще го запиша. C транспонирано е равна на (А + В) транспонирано. Това тук са съответните елементи в матрицата (А + В) транспонирана. А какво е това тук? Какво представляват тези? Тези елементи ето тук? Поставям знак за равенство. Какви са тези? Това са съответните елементи на транспонираната матрица на А плюс транспонираната матрица на В. Нали? Това са същите елементи като на транспонираната матрица А. Това са елементите на транспонираната матрица В. Ако ги съберем, просто трябва да съберем съответните елементи. Значи това директно показва, че ако съберем двете матрици и после транспонираме резултата, това е същото ако първо транспонираме и после съберем матриците. Което е много хубав резултат. Да разгледаме още един пример, с което ще завършим основните свойства на транспонирането. Да кажем, че обратната матрица А – това ще бъде малко по-различен поглед към нещата. Отново ще транспонираме. Ако знаем, че А^(–1) е обратна на матрицата А, това означава, че А по А^(–1) е равно на единичната матрица, ако приемем, че това са матрици n x n. Значи имаме n-мерна единична матрица и А^(–1) по А е равно на единичната матрица. Сега да транспонираме двете страни на равенството. Ще го направя едновременно. Ако транспонирам двете страни на равенството, получаваме, че транспонираната А по A^(–1) е равна на транспонираната единична матрица. А коя е транспонираната единична матрица? Да я напишем. Единичната матрица изглежда ето така. Имаме само единици надолу по диагонала и всичко останало са нули. Добре, можем да разглеждаме това като i11, i22 и така нататък до inn. Всичко друго са нули. Когато я транспонираме, просто разменяме нули, нали? Тези тук не се променят. Елементите по диагонала не се променят при транспониране. Значи транспонираната матрица на единичната матрица е равна на единичната матрица. Можем да използваме това ето тук. Да транспонираме това равенство. Знаeм, че транспонираната матрица (A^(–1) по А) е равна на транспонираната единична матрица, която е равна на единичната матрица. Освен това знаем какво се случва, когато транспонираме произведение на матрици. То е равно на произведението на транспонираните матрици на множителите в обратен ред. Значи това тук можем да представим като транспонираната A^(–1) по транспонираната А, което е равно на единичната матрица. Можем да направим същото и тук. Това ще е равно на А транспонирана по A^(–1) транспонирана, което също е равно на единичната матрица. Това е интересно твърдение. Значи ако имам това тук, умножено по транспонираната матрица на А то е равно на единичната матрица, и транспонираната матрица на А, умножена по това нещо също е равно на единичната матрица, което означава, че транспонираната матрица на А^(–1) е обратна на A транспонирана. Друг начин да го запишем е, че ако вземем A транспонирана, и ако намерим нейната обратна матрица, това ще е равно на това, ще е равно на транспонираната матрица на А^(–1). Още едно хубаво свойство на транспонирането. Ако намерим обратната матрица на една транспонирана матрица, тя е равна на транспонираната матрица на обратната матрица.