Доказателство: детерминантата на матрицата дава площта на единичен квадрат след изобразяването му

Целта на това видео е да докажем връзката, която разгледахме, между абсолютната стойност на детерминатата на матрица 2 по 2 и площта на успоредника, който е дефиниран от двата вектор-стълба на тази матрица. Например, имаме следния вектор-стълб ето тук, [а; с], който е представен със синия вектор. Така че това разстояние ето тук е "а" в посока х. Това разстояние ето тук е "а", а разстоянието спрямо посоката у е "с". Значи това разстояние ето тук е равно на с. Това разстояние тук горе също е равно на а, а това разстояние тук е с. Имаме този вектор, а после имаме вектора [b; d], за който в посока х разстоянието ето тук е b. Ако го начертаем ето тук, това разстояние е b. Във вертикална посока разстоянието е d. Това разстояние тук е d, и това разстояние тук е d. Виждаме, че полученият успоредник, или успоредникът, дефиниран от тези два вектора, има ето тази площ. (защрихова площта в бяло) Сега да видим дали можем да свържем това с детерминантата, или с абсолютната стойност на детерминантата на тази матрица. За простота ще приемем, че а, b, c и d са положителни стойности, въпреки, че може в бъдеще да направим същото доказателство, когато имаме някаква комбинация, когато някои от тези стойности не са положителни. Но това вероятно ще ти подскаже как можем да го докажем. Как можем да намерим площта на този успоредник? Единият начин е да намерим площта на този по-голям правоъгълник ето тук, (очертава го с оранжев цвят) а после от намерената площ да извадим частите, които са извън успоредника. Да го направим. Колко е площта на този по-голям правоъгълник? Да видим какви са размерите му – тази дължина тук е а, (повтаря дължината със син цвят) а тази дължина тук е b. (показва я на чертежа) Значи дължината на тази страна е (а + b). Тази страна тук вертикално нагоре – тази част е d, а тази част тук е с. (поставя означения на частите) Значи това е (d + c). Площта на цялата фигура е (а + b) по (d + с), което е равно на – просто ще разкрием скобите. Това е равно на a по d, плюс а по с, плюс b по d, плюс b по c. Сега от това трябва да извадим всички тези части, които не принадлежат на успоредника. Да го направим. Имаме този триъгълник ето тук, (защрихова го със син цвят) чиято площ е а по с, върху 2. Имаме и този триъгълник, който е със същата площ. (защрихова го отново със синьо) Значи изваждаме площите на тези два триъгълника, или изваждаме общо (а по с). Всеки от тези триъгълници е с площ а по с, върху 2. Когато изваждаме двата, изваждаме общо а по с. След това да видим площите на тези два триъгълника. (защрихова ги с червен цвят) Площта на всеки от тях е равна на b по d, върху 2. Когато съберем площите, получаваме общо b по d. Да извадим тези площи – изваждаме b по d. Колко е площта на този квадрат? (защрихова го с лилав цвят) Тя е равна на b по с, значи изваждаме b по с. Но това е и площта на тази част ето тук. (отново защрихова с лилаво) Отново изваждаме b по с, значи минус 2 пъти (b по с). Да видим какво се получава. Ако извадим тези, те се унищожават, унищожаваме и тези, и ако вземем b по с, минус 2 пъти b по с, ни остава само минус b по с. Всичко това е равно на а по d, което имаме ето тук. b по с минус 2 по (b по с) дава минус b по с. Това е равно на детерминантата на нашата матрица: а по d, минус b по с. Това не е доказателство, че за всички произволни а, b, c, d абсолютната стойност на детерминантата е равна на тази площ, защото това е пример, в който имаме положителна детерминанта и всички тези стойности са положителни. Надявам се, че това ти се струва убедително. Можеш да опиташ, ако желаеш, да докажеш пример, в който детерминантата не е положителна, или някаква комбинация на тези стойности, когато някои от тях са отрицателни.