Работа с матриците като трансформации в равнината

В предишно видео ти показах как матрица с размери 2 х 2 може да се използва за дефиниране на трансформация на цялата координатна равнина. В настоящето видео ще експериментираме малко с това и ще видим дали можем да създаваме матрици 2 х 2, с които да осъществяваме някои трансформации, които вероятно познаваш – например ротация, хомотетия и осева симетрия. Това е уеб сайт, управляван от Университета в Тексас, web.ma.utexas.edu. Можеш да последваш този URL и ти препоръчвам да отидеш на него и да експериментираш самостоятелно. Тук имаме два вектора, чрез които можем да дефинираме всяка точка от координатната система като някаква комбинация от тези два вектора. Червеният вектор тук е [1; 0]. Той изминава разстояние 1 в посока х и разстояние 0 в посока у, което виждаме в този първия стълб ето тук, в тази единична матрица. Този син вектор ето тук, е векторът [0; 1], който представлява втория стълб в нашата единична матрица. Той се простира на разстояние 0 в посока х и после на разстояние 1 в посока у. Начинът, по който ще конструираме трансформация, е да се запитаме какво ще направи тази трансформация с тези два вектора и да променим числата по съответния начин. Например, ако кажем, че искаме да имаме осева симетрия спрямо оста х. Ако имаме осева симетрия спрямо оста х, тогава червеният вектор няма да се промени. Той си остава [1; 0]. Но какво ще се случи със синия вектор? Вместо да е [0; 1], той ще стане [0; -1]. Значи матрицата на трансформацията, ако тръгнем от единичната матрица, вместо нула, едно – знаем, че новата матрица няма да е единичната матрица, ако тук поставим минус 1. Когато натисна бутона "Enter", това ще изобрази този син вектор симетрично спрямо оста х, като по същество ще изобрази по същия начин и всичко останало. Да опитаме. Натискам "Enter" и виждаш какво се случва. Този симпатичен голдън ретрийвър сега е обърнат наобратно, точно както очаквах да се случи. Да се върнем към това, което разглеждахме. Това е осева симетрия, като можеш да помислиш какво трябва да направим, ако искаме да изобразим симетрично спрямо оста у. А какво да кажем за хомотетията? Ако искам да намаля всичко с коефициент 2? Как можем да променим тази матрица, за да го постигнем? Постави видеото на пауза и помисли върху това. Ако искаме да смалим всичко, това, което искаме да направим, е всички тези вектори, особено ако искаме да ги смалим двойно, искаме всеки от тези вектори да стане наполовина по-къс. Вместо векторите [1; 0] и [0; 1], ще имаме векторите [0,5; 0] и [0; 0,5]. Ще натисна "Enter", за да видим какво ще се случи. Ето така. Това проработи. Това наистина показва как червеният вектор става по-малък, както и синият вектор става по-малък. Надявам се, че разбираш идеята. Ето така. Може би това винаги подсказва как бихме могли да ги наречем – единични вектори. Но да се върнем към оригинала. Сега да разгледаме ротация. Това е интересен случай. Постави видеото на пауза и помисли как бихме могли да завъртим това, ако искаме ротация на 90 градуса по посока на часовниковата стрелка. Добре. Ако завъртим на 90 градуса по посока на часовниковата стрелка, този червен вектор вече няма да е [1; 0]. Той ще стане [0; -1]. Ще го запиша. Вектор [0; -1]. Синият вектор ще отиде там, където беше червеният вектор, така че става [1; 0]. Да видим дали го правим по правилния начин. Ще натисна "Enter". Ето така. Получихме ротация на 90 градуса. Показах ти няколко примера за чиста ротация, чиста хомотетия и чиста осева симетрия. Но вероятно се досещаш, че можем да имаме комбинации от тях, когато променим матрицата по съответния начин. Препоръчвам ти да пробваш това самостоятелно. Можеш да направиш някои "екзотични" трансформации. Да видим какво се случва, ако променя това на единица. Натискам "Enter". О, това е интересно. А какво ще стане, ако променя това на 2? О, и това е интересно. Обърни внимание, че мога да правя всякакви наистина интересни линейни трансформации. Само да припомня, че линейна трансформация е тази, при която началото на координатната система се изобразява в себе си, а всички прави се изобразяват в други прави. Не е задължително да са същите прави, но все пак винаги се изобразяват в други прави.