Достигната височина при зададено време

Да кажем, че ти и аз играем игра, в която искаме да намерим колко нависоко е хвърлена една топка във въздуха или колко бързо хвърляме тази топка във въздуха. И един от нас има топка, а другият има хронометър. Това е най-доброто, което мога. Изглежда повече като котка, отколкото като хронометър, но мисля, че схващаш идеята. И един от нас хвърля топката, а другият засича колко дълго топката е във въздуха. И после ще използваме това време във въздуха, за да намерим колко бързо топката е била хвърлена право нагоре и колко нависоко е стигнала. И тук ще направя едно предположение – и, честно казано, това е предположение, което ще правим при всички тези задачи с движение на тяло – че въздушното съпротивление е незначително. И за нещо като – ако това е бейзболна топка, ето така, това е добро предположение. Няма да получим точния отговор. Окуражавам те да експериментираш самостоятелно, за да видиш до какво води въздушното съпротивление при изчисленията ти. Но за тази задача ще приемем – както и за бъдещите задачи, поне в плейлистата за основи на физиката – ще приемем, че въздушното съпротивление е незначително. И благодарение на това можем да приемем, че времето, нужно на топката да достигне максималната си височина, е същото като времето, нужно ѝ да падне. Ако погледнеш предишното видео, където направихме графика на преместването спрямо времето, виждаш, че след 2 секунди топката се е издигнала от Земята – или от ръката на хвърлящия я – и е стигнала чак до максималната си височина. И в следващите 2 секунди – нужно е било същото време, за да се върне до Земята, което е логично. Каквато е началната скорост, нужно е половината време, за да стигне до 0. И е нужно същото време, за да ускорява в посока надолу, обратно до същата големина на скоростта, но сега в посока надолу. Нека си поиграем с няколко числа, за да направим нещата по-конкретни. Да кажем, че хвърлям една топка във въздуха. И измерваш, като използваш хронометъра, че топката е във въздуха за 5 секунди. Как да намерим колко бързо съм хвърлил топката? Първото нещо, което можем да направим, е да кажем, че ако общото време във въздуха е било 5 секунди, това означава, че времето – нека запиша това. Това означава, че промяната във времето, за да отиде нагоре през първата половина на времето на топката във въздуха ще е 2,5 секунди. Което ни казва, че за тези 2,5 секунди, сме преминали от началната скорост, каквато и да е била тя, към крайната скорост, което е скорост от 0 метра в секунда за 2 цяло и 1/2 секунди. И това не е графиката за този пример. Това е графиката за предишния пример, при който знаехме началната скорост. Но каквото и да е това време, преминаваш от началната скорост до неподвижност на върха. Точно когато топката е неподвижна, тогава започва да получава увеличаваща се скорост в посока надолу. Нужни са 2,5 секунди, за да преминем от начална скорост до 0 секунди. Знаем какво е ускорението от гравитацията. Знаем, че ускорението от гравитацията тук – приемаме, че е константа, въпреки че не е точно константа. Но ще приемем, че е константа, ако работим само близо до повърхността на Земята – е -9,8 метра в секунда на квадрат. Нека помислим за това. Промяната в скоростта е крайната скорост минус началната скорост, което е същото като 0 минус началната скорост, което е отрицателната стойност на началната скорост. Какъв е другият начин да мислим за промяната в скоростта? Просто от определението за ускорение, промяната в скоростта е равна на ускорението – -9,8 метра в секунда на квадрат – по времето, или по промяната във времето. Говорим само за първата половина от времето на топката във въздуха. Тоест промяната във времето е 2,5 секунди – по 2,5 секунди. Каква е промяната в скоростта, което е същото нещо като отрицателната стойност на началната ни скорост? Нека извадя калкулатора си. Това е -9,8 метра в секунда по 2,5 секунди. Това ще ни даде -24,5. Това ни дава – нека го запиша в нов цвят. Това ни дава -24,5 метра в секунда. Това секунда се съкращава с едно от тези секунди в знаменателя, така че само имаме секунди в знаменателя, тоест сега е метри в секунда. И това е същото нещо като отрицателната стойност на началната скорост. Това е същото нещо като промяната в скоростта. И умножаваш двете страни по отрицателна стойност. Получаваме началната скорост. Толкова просто успяхме да намерим каква е скоростта ни. Буквално взимаш общото време във въздуха и го делиш на 2, а после го умножаваш по ускорението от гравитацията. Предполагам, че можеш да вземеш абсолютната му стойност или да вземеш положителната му стойност. И това ти дава началната скорост. Началната ти скорост тук е буквално 24,5 метра в секунда. И след като това е положителна величина, в този пример е нагоре. Това е началната ми скорост. Вече намерихме тази част от тази игра, началната скорост, с която я хвърлих нагоре. И това също ще е – ще имаме същата големина на скоростта, когато топката е близо до Земята, въпреки че ще е в другата посока. Какво е разстоянието – нека поясня. Какво е преместването на топката от най-ниската точка – точно, когато напуска ръката ти – чак до върха? Просто трябва да помним – и, отново, това произлиза от много прости идеи, промяната в скоростта е равна на ускорението по промяната във времето. И другата проста идея е, че преместването е равно на средната скорост по промяната във времето. Каква е средната ни скорост? Средната скорост е началната скорост плюс крайната скорост, делено на 2, ако приемем, че ускорението е постоянно. Това буквално е просто аритметичната средна стойност на началната и крайната скорост. Какво е това? Това ще е 24,5 метра в секунда плюс – каква е крайната скорост? Помни, в тази ситуация гледаме само първите 2,5 секунди. Крайната скорост отново е 0 метра в секунда. Говорим само за когато стигнем до тази точка ето тук. Крайната скорост е просто 0 метра в секунда. И просто ще разделим това на 2. Това ще ни даде средната скорост. И после искаме да умножим това по 2,5 секунди. Получаваме – тази част ето тук – 24,5, делено на 2. Можем да игнорираме нулата. Това все още е 24,5 – това ни дава 12,25 по 2,5. И, помни, това тук все още е в секунди. Нека запиша мерните единици. Това е 12,25 метра в секунда по 2,5 секунди. И, просто за да си припомним, изчисляваме преместването за първите 2,5 секунди. Това ни дава – отново ще извадя калкулатора. Имаме 12,25 по 2,5 секунди и това ни дава 30,625. Това ни дава – тоест преместването е 30,625 метра – тези секунди се съкращават – метра. Това всъщност е много. Това ни дава приблизително около 90 фута хвърляне във въздуха. Това ще е като девететажна сграда. Честно казано, не мога да направя това. Но ако някой може да хвърли топката за 5 секунди във въздуха, той я е хвърлил на 30 метра във въздуха. Надявам се, че това ти беше интересно. В следващото видео ще генерализирам това. Може би можем да намерим някаква формула, така че да е валидно за повече ситуации. Без значение от времето, можеш да получиш преместването във въздуха. Или, още по-добре, опитай да я намериш самостоятелно и виж как ще се справя с това в следващото видео.