Приложение на теоремата за крайните нараствания

Може би мислиш, че Теоремата на Лагранж за крайните нараствания е просто мистериозна теорема, която се среща в часовете по анализ. Но това, което ще видим в настоящия урок, е че тя действително се използва – поне неявно се прилага, за да се изпращат на шофьорите глоби за превишена скорост. Нека да разгледаме подобен пример. Да кажем, че това е будка за събиране на такси. Намираш се на магистралата и това е будка за събиране на такси в точка А. Получаваш своя билет. Стигаш до будката точно в 13:00 ч. Тогава компютрите на магистралата регистрират това. Нека да кажем, че има едно от онези устройства, с които, когато платиш билета, то разпознава потребителя, т.е. теб, и те регистрира, след което извлича пари от сметката ти. Приложението регистрира, че си платил билета точно в 13:00 ч. Нека след това да кажем, че напускаш будката и самата магистрала. Нека да кажем, че напускаш в точка B и стигаш там точно в 14:00 ч. Избирам числата, така че да може лесно да се работи с тях. Нека да кажем, че разстоянието между двете точки е равно на 80 мили. Това разстояние ето тук, е равно на 80 мили. 80 мили И нека да кажем, че ограничението на скоростта на тази отсечка от магистралата е 55 мили/час. Ограничението на скоростта е 55 мили/час. Въпросът в задачата е: могат ли властите да докажат, че скоростта е превишена. Е, нека просто да го изобразим. Предполагам, че усещаш за какво става дума. Нека да го начертаем. Нека да кажем, че това ето тук, е нашата позиция. Ще нарека тази ос s, s за позиция. С мерни единици "мили". Очевидно s е...Тоест, s действително не означава позиция. Ако изберем обаче p изглежда, сякаш означава плътност. А d използваме за диференциали, разстояние или преместване. Следователно s е това, което много често се използва за позиция. Нека да кажем, че s е нашата позиция. Нека да видим. Тази ос ще бъде t, за време. t, за време. С мерни единици "часове". Нека да видим. Интересува ни интервалът от време, който се намира от t1 до t2. Няма да чертая осите в мащаб. Нека просто да предположим, че тук има празно място, защото не искам действително да си мислиш, че правя чертежа абсолютно в мащаб. Причината е, че искам да се фокусирам върху тази част от интервала. Това е времето, което е равно на 2 часа. В момента от време, равно на 1, се намираш ето тук. И нека да кажем, че тази позиция е, т.е. просто ще я наречем s от 1. В момент от време 2 се намираш на ето това място. Намираш се ето тук. Следователно твоята позиция е s от 2. Намираш се на ето тези координати тук. И това е всичко, което знаем, Това е всичко, което знаем. Е, знаем и още някои неща. Знаем на какво е равно изменението във времето. Равно е на 2 – 1. Знаем и на какво е равно изменението в позицията. Знаем, че изменението в позицията, което е равно на s от 2 минус s от 1, е равно на 80 мили. Изменението в позицията е равно на 80 мили. Нека да го запиша и просто за по-лесно ще предположим, че участъкът от магистралата е бил права отсечка. Изменението в разстоянието е същото като изменението в позицията, т.е. като изменението в преместването. Това е равно на 80 мили. 80 мили Тогава на какво е равно изменението във времето? Изменението във времето ще бъде равно на 2 минус 1. Което просто е равно на 1 час. Или може да кажем, че наклонът на правата, която свързва тези две точки...Нека да я начертая с друг цвят. Този е същият цвят. Наклонът на тази права ето тук е 80 мили/час. Наклонът е равен на 80 мили/час. Или може да кажеш, че средната ти скорост през този 1 час е била 80 мили/час. И какво могат да направят властите... Аз никога не съм чувал за математическа теорема, цитирана по този начин, но могат да я използват. Спомням си, че четох за това преди 10 години и беше много противоречиво. Властите казаха, виж, в този интервал средната ти скорост категорично е била 80 мили/час. Следователно в някакъв момент от време през този един час... и можеха да цитират теоремата за крайните нараствания – в някакъв момент през този един час, трябва да си карал с точно 80 мили/час, поне 80 мили в час. И би било много трудно да опровергаеш това твърдение, защото твоята позиция като функция от времето определено е непрекъсната и диференцируема, в рамките на дадения интервал. Непрекъсната е, защото не можеш просто да се телепортираш от едно място на друго. Това би била доста невероятна кола! Също така е диференцируема. Винаги си имал ясно дефинирана скорост. Предизвиквам те да се опиташ да свържеш тези две точки с непрекъсната и диференцируема крива, за която в дадена точка моментната скорост, т.е. наклонът на допирателната, не е равна на същото нещо като наклона тази права. Невъзможно е. Теоремата за крайните нараствания ни казва, че е невъзможно. Нека просто да го начертая. Може да си представим. Да кажем, че е трябвало да спреш, за да платиш, за да се регистрираш къде се намираш на магистралата. После започваш да ускоряваш постепенно. Точно в този момент, моментната ти скорост е по-малка от средната скорост. Ускоряваш. Наклонът на допирателната. Но ако искаш да стигнеш в тази точка по това време, и особено защото трябва да намалиш, когато наближиш, когато наближиш будката за билети. Единственият начин, по който мога да свържа тези две точки... е, нека да видим, ще трябва в даден момент, в ето тази точка, ще трябва да се движиш по-бързо от 80 мили/час. А Теоремата за крайните нараствания просто ни казва, че тази функция е непрекъсната и диференцируема в рамките на този интервал. Непрекъсната в рамките на затворения интервал. Диференцируема в рамките на отворения интервал. Теоремата гласи, че поне една точка от този отворен интервал, която ще наречем с, то поне в тази точка, моментната ти скорост, т.е. наклонът на допирателната, е равен на наклона на секущата. Така че тази точка ето тук, тази точка изглежда, че се намира ето тук. Ако това е същата точка с, която изглежда всъщност, че е тя, то се намира около 13:15 ч, Теоремата за крайните нараствания гласи, че в някаква точка съществува момент от времето, в който s' от с е равно на тази средна скорост, т.е. е равно на 80 мили/час. И изглежда, че това не е единствената точка. Изглежда сякаш тази точно ето тук, също може да е кандидат за стойността с.