Дълга задача с интегриране чрез заместване и тригонометрични тъждества

Нека е даден неопределен интеграл от квадратен корен от 6 по х квадрат минус 5. Очевидно това не е лесен интеграл. Имам този израз, но нямам производната му под интеграла, така че интегрирането чрез заместване няма да се получи. От заглавието на урока можеш да се досетиш, че ще направим нещо по-странно. Може би ще използваме някакъв вид заместване с тригонометрична функция. Даденият израз обаче на пръв поглед не изглежда подходящ за такъв вид заместване. Използваме заместване с тригонометрична функция, когато имаме 1 минус х квадрат под знака за радикал, или х квадрат минус 1 под знака за радикал, или може би х квадрат плюс 1. Това са видовете изрази, за които се досещам, когато мисля за заместване с тригонометрична функция, но даденият израз в момента не изглежда така. Тук имаме квадратен корен. Също и х квадрат, но не изглежда като един от изброените видове. Нека проверим дали можем да го приведем към този вид. Бързо изтривам тези изрази тук. Нека проверим дали можем да допълним израза до точен квадрат. Нека да видим. Нека запиша отново интеграла. Ако допълването до точен квадрат не ти е познато, има много видео уроци на тази тема. Нека го запиша като минус 5. Имам нужда от повече място тук. Минус 5 минус х квадрат, а сега следва плюс 6х, но тук пред скобите имам минус. Тогава записваме минус 6х, нали така? Минус и минус ще ни даде плюс 6х. Искам да допълня израза до точен квадрат. Кое число, прибавено към себе си, ще ни даде минус 6? Това е минус 3, т.е. ще имаме минус 3 квадрат. Следователно вземаме половината от това число, т.е. 3, и го повдигаме на квадрат. Тогава ще запишем 9 ето тук. Не мога произволно да прибавям деветки. Действително не съм прибавил 9 тук. Какво направих тогава? Извадих 9. Поставих 9 там, но действително е минус 9, защото извън скобите има знак минус. За да не се промени знака на числото 9, което току-що поставих тук, тук ще стане минус 9. Тогава следва да прибавя едно 9. Нека прибавя веднъж 9. Ето тук имам плюс 9. Може би не разбираш това, което току-що направих. Ето тук очевидно имаме dx. Умножи и разкрий скобите и ще получиш минус х квадрат плюс 6 по х, а тези два члена ето тук минус 9 и ето това плюс 9 ще се унищожат. Тогава ще получиш точно израза, който имахме преди. Искам да разбереш, че не съм променил уравнението. Тук е минус 9 поради следното. Прибавих един път 9, т.е. действително прибавих 0. Резултатът е, че получавам израза в удобен вид. Това тук ще стане 4, а какво ще стане с този израз тук? Това е х минус 3 на квадрат. х минус 3 на квадрат. Даденият неопределен интеграл придобива следния вид след малко алгебрични преобразувания. Интеграл от квадратен корен от 4 минус (х – 3)^2, dx. Сега вече прилича на нещо, което искаме, но искаме ето тук да е числото 1. Нека изнесем 4 извън радикала. Искам да сменям цветовете. Получава се следното. Интеграл от квадратен корен от 4, умножено по 1 – (х – 3)^2, върху 4. Просто изнесох 4 и от двата израза. Ако умножа и разкрия скобите, ще получа отново същия израз ето тук. Имаме dx. Изразът придобива подходящ вид. Нека го опростим дори повече. Равно е на интеграл от следното. Ако изнеса 4 извън радикала, ще стане 2 по квадратен корен от 1 минус... мога да запиша това като (х – 3), т.е. нека го запиша ето така. 1 минус ((х – 3)/2) на квадрат, dx. Откъде се появи това число 2? Ако повдигна числител и знаменател на квадрат, ще получа х минус 3 на квадрат, върху 2 на квадрат. Резултатът е х минус 3 на квадрат, върху 4. Дотук не съм използвал математически анализ, а просто преобразувах интеграла алгебрично, за да получа ето този неопределен интеграл. Те са еквивалентни. Сега обаче изразът има вид, който ми е познат. В предния урок ти показах, че косинус квадрат θ, е равно на 1 минус синус квадрат θ. Може да се представи и обратно. Синус квадрат θ е равно на 1 минус косинус квадрат θ. Няма разлика. И двете ще ни свършат работа. Този израз обаче много прилича на ето този. Действително прилича точно на него. Мога да избера този член да е равен на синус квадрат θ. Нека направя това заместване. Нека запиша х минус 3 върху 2, на квадрат, е равно на синус квадрат θ Ако вземем квадратен корен от двете страни от уравнението, получаваме х минус 3 върху 2, е равно на синус θ. Знаем какво искаме да получим накрая. Ще трябва да заместим обратно за θ. Тогава нека изразим θ чрез х. За целта можем просто да вземем аркуссинус от двете страни на уравнението. Получава се θ е равно на следното. Аркуссинус от синус θ е просто θ. θ е равно на аркуссинус от х минус 3, върху 2. Дотук добре. Преди да направим заместването, следва да намерим на какво е равно dx. Следва да го изразим като функция на θ. Нека го направим. Ако умножим двете страни на уравнението по 2, получаваме х минус 3 е равно на 2 по синус θ. Тоест х е равно на 2 по синус θ плюс 3. Ако сега намерим производната от двете страни спрямо θ, ще получим dx/dθ е равно на 2 по косинус θ. Производната на тази константа е просто 0. Може да умножим двете страни по dθ и получаваме, че dx е равно на 2 по косинус θ, dθ. Готови сме да направим заместване обратно в първоначалния неопределен интеграл. Тогава може да го запишем като интеграл от 2 по квадратен корен от 1 минус следното. Замествам този израз със синус квадрат θ. Синус квадрат θ Всичко това е по dx. Току-що намерихме, че dx е равно на този израз тук. Тоест dx е равно на 2 по косинус θ, dθ. А този израз как ще се опрости? Този израз ето тук е равен на косинус квадрат θ. И търсим квадратен корен от косинус квадрат θ. Тогава този член тук става квадратен корен от θ. от косинус квадрат θ, нали така? Получава се квадратен корен от косинус квадрат θ, което е равно на косинус θ. Следователно интегралът става 2 по квадратен корен от косинус квадрат θ, което е равно на 2 по косинус θ, по 2, по косинус θ. Последното е този член тук. Този израз е този ето тук, а изразът със синус под радикала, е ето този израз тук. 1 минус синус квадрат е равно на косинус квадрат. Корен квадратен от него и се получава косинус. И всичко това умножаваме по dθ. След като умножим, получаваме 4 по косинус квадрат θ, dθ. Този интеграл сам по себе си все още не е лесен за решение. Знаеш, че не можем да приложим интегриране чрез заместване или нещо подобно тук. Тогава какво да направим? Ще се обърнем към познатите ни тригонометрични тъждества. Не знам дали знаеш наизуст това, което ще използваме. Има го в повечето учебници по анализ или такива по тригонометрия. Косинус квадрат θ може да се представи като 1/2 по 1 плюс косинус от 2 по θ. Доказали сме го в много уроци. Нека просто да направим това заместване. Нека просто заместя този израз с ето този. Интегралът е равен на 4 по косинус квадрат θ, но косинус квадрат θ е равно на този израз. 4 по 1/2, по 1 плюс косинус от 2 по θ, dθ. Този изглежда по-лесен за решаване. Какво имаме сега? 4 по 1/2 е равно на 2. Получава се интеграл от 2 по израза в скобите. 2 плюс 2 по косинус от 2 по θ, всичко по dθ. Тази примитивна функция е сравнително лесна. Този израз на какво е равен? На производната спрямо θ от синус от 2 по θ. Нали така? Целият този израз. Каква е производната от синус от 2 по θ? На производната от вътрешната функция, т.е. 2, по производната от външната функция, т.е. косинус от 2θ. А това число 2 е производната на 2θ. Тогава получаваме следното: примитивната функция на 2 спрямо θ, е равна на 2θ. Следва плюс примитивната функция на този израз, която е просто синус от 2 по θ, и следва да прибавим С. Тук следва да си припомним, че дефинирахме θ в дадения интеграл като функция на х. Не може да оставим израза като функция на θ. Ще трябва да заместим обратно. Нека си припомним, че θ е равно на аркуссинус от х минус 3, върху 2. Нека да запиша това ето тук отстрани. θ е равно на аркуссинус от х минус 3, върху 2. Ако сега просто заместя този израз за θ в получения резултат, ще имам синус от 2 по аркуссинус от х минус 3, върху 2, което ще бъде правилно. Ще имам и 2 по аркуссинус от х минус 3, върху 2. Това ще бъде правилно и ще сме решили задачата. Не е задоволително обаче. Не сме достигнали до опростен и изчистен отговор. Нека видим дали може да опростим резултата така, че да е функция само на синус θ. Тогава, когато вземем синус от аркуссинус, просто ще получим х минус 3, върху 2. Нека да изясня това. Искам да представя този израз като функция на синус θ, защото синус θ е равно на синус от аркуссинус от х минус 3, върху 2. Което е равно просто на х минус 3, върху 2. Ако мога да представя израза като функция на синус θ, то мога да направя това заместване. Синус θ е равно на ето този израз, и всичко се опростява. Нека проверим дали можем да го направим. Може и да не познаваш другото тригонометрично тъждество – а сме го доказвали в предни уроци – че синус от 2 по θ е равно на синус от θ плюс θ, което е равно на синус θ по косинус θ плюс синус θ по косинус θ, което е равно на същото като 2 по синус θ, по косинус θ Някои ученици запомнят това тъждество наизуст, когато имат изпит по тригонометрия. Не пречи да го запаметиш предварително. Нека сега запишем изрази по този начин. Неопределеният интеграл, изразен чрез θ, т.е. примитивната функция става 2 по θ плюс 2 по синус θ, по косинус θ, и разбира се прибавяме С. Искам да представя всичко като функция на синус θ, но тук имам косинус θ. Тогава какво да направим? Знаем, че косинус квадрат θ е равно на 1 минус синус квадрат θ, т.е. косинус θ е равно на квадратен корен от 1 минус синус квадрат θ. Изглежда сякаш усложняваме израза, но полезното тук, е, че се преобразува като функция на θ. Нека го направим. Нека направим заместването. Тогава примитивната функция е равна на 2 по θ плюс 2 по синус θ, по косинус θ, а последното е равно на квадратен корен от 1 минус синус квадрат θ. Към всичко това прибавяме С. Вече сме в края на задачата. Тази задача вероятно беше по-трудна, отколкото очакваше. Знаем, че синус θ е равно на х минус 3 върху 2. Нека тогава направим това заместване. Имаме 2 по θ. Този първи член е просто 2 по θ ето тук. Не можем да избегнем аркуссинус функцията. Ако имаме само θ, следва да кажем, че θ е равно на аркуссинус от х минус 3, върху 2. Нека сменя цветовете. След това имаме плюс 2 по синус θ. Тоест плюс 2 по синус θ, което е равно на х минус 3 върху 2. 2 по х минус 3 върху 2 и всичко това е умножено по квадратен корен от 1 минус синус квадрат θ. На какво е равно синус θ? На х минус 3 върху 2, на квадрат. Разбира се имаме и плюс С. Нека видим дали можем да опростим този израз още. Вече сме в края на задачата. Получава се 2 по аркуссинус от х минус 3, върху 2, плюс тези два члена. Това 2 и това 2 се съкращават. Следва плюс х минус 3, умножено по квадратен корен от следното. Какво ще стане, ако умножим всичко тук по нещо? Имаме 1 минус х минус 3, върху 4. х минус 3 е на квадрат. Това опростяване ще отнеме повече преобразувания, отколкото си мислех. Нека проверим обаче дали можем да го опростим още. Нека се фокусираме върху израза пред радикала. Ако го умножа по нещо, или нека да умножа и разделя на 2. Ще го запиша ето така. Нека го умножа по 2 върху 2. Може би ще попиташ: "Сал, защо правиш това?" Поради следното. Нека първо запиша целия израз тук долу. Имам 2 по аркуссинус от х минус 3 върху 2, а след това мога да запиша този знаменател 2 тук. Получава се х минус 3 върху 2. Това 2 е числото 2 ето тук. След това мога да запиша това 2 ето тук като квадратен корен от 4. Умножаваме по квадратен корен от 4, по квадратен корен от целия този израз. 1 минус х минус 3, на квадрат, върху 4. Мисля, че предполагаш какъв ще е резултата. Правя обратни замествания и преобразувания на тези в началото на задачата. Искам да опростя максимално този израз и вече съм близко, така че нека да завърша. Получава се 2 по аркуссинус от х минус 3 върху 2, плюс х минус 3 върху 2. Ако внесем това 4 под радикала, тогава става квадратен корен от 4 по целия този израз. А той е 4 минус х минус 3 на квадрат. И всичко това плюс С. В края на задачата сме. Това е равно на 2 по аркуссинус от х минус 3 върху 2, плюс х минус 3 върху 2. И умножено по квадратен корен от 4 минус х квадрат минус 6 по х плюс 9. Този израз тук се опростява да следното. 6 по х минус х квадрат, плюс 4 минус 9, т.е. минус 5. Това е първоначалната примитивна функция. Ето, че сме почти на края. Получаваме примитивната функция 2 по аркуссинус от х минус 3, върху 2, плюс х минус 3, върху 2 по квадратен корен от 6 по х минус х квадрат минус 5. Този израз тук е примитивната функция от това, което е записано в началото на моята малка черна дъска. Намира се точно ето тук. Следователно това е равно на примитивната функция от квадратен корен от 6 по х минус х квадрат, минус 5, dx. Предполагам, че вече усещаш умора, колкото и аз. Ръката вече ме боли. Надявам се, че намираш тази задача за удовлетворяваща. Понякога получавам оплаквания, че решавам само лесни задачи. Е, това беше доста сложна и не чак толкова лесна задача.