Интегриране чрез заместване с използване на тригонометрични тъждества и допирателна

Нека проверим дали можем да изчислим неопределен интеграл от 1 върху 9 плюс х на квадрат, dx. Когато имаме израз от вида а на квадрат минус х квадрат, може да е добра идея да направим заместването х е равно на а по синус от θ (тета). Но не откриваме този вид тук. Вместо това намираме вида а квадрат плюс х квадрат. Тогава се досещам за друга една идея, която не винаги ще се получи, но си струва да се опита. Това е малко импровизация и изкуство. Нека опитаме с х е равно на тангенс от θ. Може би ще попиташ "Защо да го правим?". Нека да направим това заместване и да видим как ще се опрости израза. Ще се получи а квадрат плюс а квадрат по тангенс квадрат от θ, т.е. а квадрат по 1 плюс тангенс квадрат θ. Това равенство тук може отново да го докажем. Нека го направя за теб. Тук ще се получи а на квадрат по следното. Това 1 може да се запише като косинус квадрат θ върху косинус квадрат θ. Тангенс квадрат е синус квадрат θ върху косинус квадрат θ. Ето защо избрах косинус квадрат да е в знаменател. Така мога да събера двете дроби. Получава се а квадрат по косинус квадрат θ плюс синус квадрат θ. Всичко това върху косинус квадрат θ. От определението за единична окръжност числителят ще бъде равен на 1. Следователно това е 1 върху косинус квадрат θ. Тогава всичко се опростява до а квадрат по секанс квадрат θ, което може да опрости задачата ни. Нека да разгледаме знаменателя в интеграла. Може да го представим по следния начин. 9 плюс х квадрат може да стане 3 квадрат плюс х квадрат. Тогава а ще бъде равно на 3. Искаме да направим заместването х е равно на 3 по тангенс θ. И ако искаме да изразим х, може да разделим двете страни на 3, защото по-късно ще трябва да заместим обратно. х върху 3 е равно на тангенс θ, т.е. θ е аркустангенс – или обратната функция на тангенс – от х върху 3. Сега следва да намерим на какво е равно dx. Тоест следва да използваме ето този израз. Нека намерим производната му, като го запишем в диференциална форма. dx е равно на 3 по производната на тангенс θ спрямо θ, т.е. секанс квадрат θ, dθ. Изглежда, че вече разполагаме с необходимото, за да преобразуваме целия интеграл. Получава се следният неопределен интеграл. Имаме dx ето тук, което е равно на 3 по секанс квадрат θ, dθ. Това е dx. Целият този израз ще бъде върху този израз ето тук, т.е. а квадрат плюс х квадрат. Вече знаем до какво се преобразува знаменателят. а квадрат плюс х квадрат е равно на следното. Направихме заместването х е равно на 3 по тангенс θ. Тогава знаменателят става а квадрат по секанс квадрат θ. Записваме 9 по секанс квадрат θ. Този резултат може да се проследи логично от тук. Ще се получи 9 плюс 9 по тангенс квадрат θ. Изнасяме 9 и става 9 по 1 плюс тангенс квадрат θ. Получава се 9 по секанс квадрат θ, т.е. точно това, което имаме тук. Имаме секанс квадрат в числител и знаменател. Тогава се съкращават. Секанс квадрат се съкращава. Остава само 3/9. Целият този интеграл записваме като 1/3 – т.е. 3/9 – по неопределен интеграл от dθ. А това е равно на 1/3 по θ плюс С. Сега просто следва да получим резултата като функция на х. Виждаме, че θ е равно на аркустангенс от х върху 3. Тогава получаваме 1/3 по аркустангенс от х върху 3 плюс С. И сме готови! Сега вече знаем как да решаваме интеграли, в които имаме израз, подобен на а квадрат минус х квадрат, или а квадрат плюс х квадрат. Не винаги ще се получи, но може да е полезно. Определено те насърчавам да го използваш. Може не винаги да доведе до решение на интеграла, но си струва да се опита. Когато изглежда, че интегрирането със заместване няма да сработи, можеш да използваш този модел тук, и да направиш заместване с тригонометрична функция.