Доказателство на теоремата на Стокс - част 1

В това видео ще опитам да докажа, или по-точно в следващите няколко видеа, ще опитам да докажа един специален случай на теоремата на Стокс, или по-точно теоремата на Стокс за един частен случай. Ще направя това, защото доказателството ще е по-просто, но в същото време е много убедително. В този частен случай ще приемем, че повърхнината, която разглеждаме, е функция от х и от у. Ако ми дадеш някакви стойности на х и на у, те определят някаква точка в тази повърхнина. Значи нашият случай е една такава повърхнина. Това е един вид изобразяване на тази област в равнината ху, в три измерения. Значи за всяка произволна двойка (х; у) можем да намерим височината. Това означава, че z е функция от (х; у) и можем да получим точка от повърхнината. Това доказателство не се отнася за повърхнини като сфера или други подобни, където всяка точка от равнината ху определя две точки от повърхнината, но този случай е чудесен за начало. Още едно нещо, което трябва да приемем, е че, z, което е функция от х и у, че тази функция от х и от у има непрекъснати производни от втори ред, значи непрекъснати втори производни. Причината, поради която правя това допускане, е защото то ще ни помогне за доказателството по-късно. То ще ни позволи да кажем, че частната производна на нашата повърхнина или частната производна на z относно х и после частната производна на полученото относно у, е равна на частната производна на z първо относно у, а после производната на това относно х. За да можем да направим такова твърдение, трябва да допуснем, че z, е функция от х и от у, която има непрекъснати производни от втори ред. Ето тук току-що записах нашето векторно поле F, което ще разглеждаме, когато се опитваме да използваме теоремата на Стокс, и ще допуснем, че то има непрекъснати производни от първи ред. След като изяснихме това, да помислим какво ни казва теоремата на Стокс. После ще помислим за този частен случай, как можем да го запишем, и после, надявам се, ще видим, че тези две неща са равни. Ще запиша това. Теоремата на Стокс ни казва, че ако скаларното произведение на F и dr по някаква крива, която разглеждаме – като ние в случая разглеждаме ето тази крива ето тук. Ще я оцветя в синьо. Това е тази крива ето тук. Това е границата на нашата повърхнина. Значи това тук е 'c'. Теоремата на Стокс ни казва, че това трябва да е равно, това трябва да еквивалентно на повърхностния интеграл по повърхнината от скаларното произведение на ротацията на F и dS, скаларното произведение със самата повърхнина. В това видео искам да се фокусирам, или може би в следващото видео, искам да се фокусираме върху втората част. (огражда я) Върху това. Искам да видя как можем да изразим това, като имаме предвид допусканията, които направихме. След това ще видим как можем да изразим това при съвсем същите допускания. (огражда го) След което, надявам се, ще видим, че ще получим, че те са равни помежду си. Сега да започнем, като определим на какво е равна ротацията на F. Ротацията на F е равна на – можеш да разглеждаш това като оператора del, неговото векторно произведение с векторното поле F, което е равно – ще запиша компонентите. Значи i – ще ги напиша с различни цветове – i, j и k компонентите, а после записвам нашия оператор del, или нашия частен оператор, ако мога да се изразя така. Значи частно относно х, частно относно у и частно относно z. След това записвам компонентите i, j, k на векторното поле F. Ще ги направя със зелено, или не, в синьо. Значи имаме Р, което е функция от х, у и z; Q, което е функция от х, у и z, и накрая R, което е функция от х, у и z. Това ни дава – това е i по – зачерквам този стълб и този ред, това ще бъде частно R относно у, минус частно Q относно z, После използваме шахматното правило, минус j, само да направя тази шапка малко по-хубава – минус j и после по частно R относно х, минус частно Р относно z. Накрая имаме плюс k умножено по частно от х... извинявам се, частно от Q относно х, минус частно от Р относно у. Намерихме ротацията на F и ще спра дотук. Опитвам се да правя по-кратки видео клипове. В следващото видео ще видим как можем да изразим dS, а после ще изчислим това, цялата тази операция. Ще намерим векторното произведение.