КПД на двигател на Карно

Ще ти представя идеята за ефективност на двигателя, или казано по друг начин: коефициент на полезно действие на двигателя. И тя се представя от гръцката буква ета (или ита). Изглежда като странно n. Гръцката буква ета – това е ефективност. И ефективността, когато се прилага към двигателите, е подобна на начина, по който използваме думата в ежедневието си. Ако питам колко ефективно използваш времето си, ме интересува какво правиш с този час, който ти дадох. Или ако питам колко ефективно управляваш парите си, ще питам колко неща успя да купиш с тези 100 долара, които ти дадох. Ефективността на един двигател е същото нещо. Какво успя да направиш с нещата, които ти дадох? В света на двигателите дефинираме ефективността като работата, която извърши, с енергията, която ти дадох, за да извършиш работата. И в нашата вселена на Карно, тук горе, всичко това съм правил преди – каква беше енергията, която ти дадох? Енергията, която ти дадох, беше енергията, която дойде от този първи резервоар тук. Спомни си, когато преместваме камъчета от А към В, ги преместваме, за да поддържаме това като квазистатичен процес, така че да можем да се върнем, ако трябваше, и така че системата да остане в равновесие през цялото време. Ако нямахме този резервоар ето тук, температурата щеше да спадне, понеже увеличавахме обема. Тоест трябваше да държим този резервоар тук. Добавената към системата топлина – намерихме това множество пъти – беше Q1. Беше равностойно на работата, която извършихме за този времеви период, така че щеше да е цялата защрихована площ, а не само това, което е вътре в окръжността. Но топлината, която ти дадох, беше Q1. По-късно ти върна някаква топлина, когато върху теб беше извършена някаква работа. Но нас ни интересува топлината, която ни беше дадена. В този случай това ще е Q1. И каква беше работата, която извърши? Сумарната работа, която извърши, беше защрихованата площ. Тя беше в нашия цикъл на Карно. Това е определението ни за ефективност. Това винаги ще е дробно число. Понякога е дадена като процент – например ако това е 0,56, ще кажеш, че това е ефективно на 56%. Което казва, че успя да прехвърлиш 56% от топлинната енергия, която ти беше дадена, и я превърна в полезна работа. И поне на мен ми изглежда логично, че това ще е определението за ефективност. Да видим дали можем да си поиграем с това и да видим как ефективността ще си взаимодейства с някои от променливите, с които работим в цикъла на Карно. Каква беше работата, която извършихме? Знаем определението за вътрешната енергия. Определението за вътрешна енергия е по-полезно, отколкото ще предположиш, за такова просто уравнение. Промяната във вътрешната енергия е реалното количество топлина, получено от системата, минус работата, извършена от системата. Нали така? Когато завършиш един цикъл на Карно, когато преминеш от А чак обратно до А – ще направя странична забележка. Можеше да преминеш и по обратната посока на цикъла. Но когато преминеш така, както преминахме първия път, когато се движиш по часовниковата стрелка, тогава си двигател на Карно. Извършваш работа и прехвърляш топлина от Т1 към Т2. Ако минеш по обратния път на цикъла, тогава ще си охладител на Карно, като работа ще е извършена върху теб – след малко ще засегна това – и ще прехвърляш енергия по обратния път. И това ще е важно за доказателството ни защо двигателят на Карно е най-добрият двигател, поне теоретично, от гледна точка на ефективността. Ако се интересуваш само за ефективността. Но както и да е. За това говорех. Ако измина пълен цикъл в тази диаграма PV и се върна обратно към А, каква е промяната ми във вътрешната енергия? Тя е 0. Вътрешната ми енергия е променлива на състоянието, промяната ми във вътрешната енергия е 0. Промяната ми в ентропията също ще е 0. Това е друга променлива на състоянието, когато се придвижа от А обратно до А. Знаем, че при този цикъл промяната ми във вътрешната енергия е 0. Какво е реалното количеството топлина, получено от системата? Приложихме Q1 към системата и после премахнахме Q2. Даваме това на втория резервоар. Даваме това тук долу на Т2, на този втори резервоар. А после минус работата – и всичко това е равно на 0. Искам да поясня – това е количеството топлина, получено от системата ни. Работата, извършена от системата – просто добавяме W към двете страни на уравнението, получаваме, че W е равно на Q1 - Q2. Готово. Нека заместим с това. И вместо W можем да запишем Q1 - Q2 като числител в определението ни за ефективност, а знаменателят ни все още е Q1. И сега можем да направим малко изчисления. Това се опростява – това е Q1. Това е топлината, която вкарваме. Това е количеството топлина, получено от системата, делено на топлината, която вкарахме в нея. Това е равно на – Q1/Q1 е 1, минус Q2/Q1. Отново това е друго интересно определение за ефективността. Всички тези са алгебрични действия с използването на определението за вътрешната енергия. Да видим дали можем да свържем някак ефективността с температурите. Това тук е Q1. Какви бяха Q2 и Q1? Какви бяха? Какви бяха абсолютните им стойности, като не гледаме знаците им? Знаем, че Q2 беше извадено от системата, тоест ако търсехме Q2 по отношение на енергията, приложена към системата, това ще е отрицателно число. Но ако просто искахме да знаем големината на Q2 и големината на Q1, какви ще са те? Големината на Q1 – нека начертая нов цикъл на Карно, за да е по-ясно. Ще начертая един малък такъв ето тук. Това е оста на обема. Това е оста на налягането. РV. Започнах тук в някакво състояние, после продължих изотермално. Кой цвят е подходящ за изотермално увеличение? Може би лилаво. Това е – да видим. Изотермално увеличение. Тук съм на изотерма. Слизам тук долу и преминавам към състояние В. Това е А към В. Знаем, че сме в изотерма. Това е когато беше добавена Q1. Това е изотерма. Ако температурата ти не се промени, вътрешната ти енергия не се променя. И както казах преди, ако вътрешната ти енергия е 0, топлината, приложена към системата, е същата като работата, която извърши. Те се съкращават. Затова стигаш до 0. Това Q1, което прилагаме към системата, трябва да е равно на работата, която извършихме. А работата, която извършихме, е просто площта под тази крива. Направихме това много пъти. И защо е площта под кривата? Понеже е няколко правоъгълници за налягането по обема. И после просто събираш правоъгълниците, безкраен брой безкрайно тесни правоъгълници, и получаваш площта. И какво е това? Просто преговор – налягането по обема е работата. Понеже разширяваме съда. Придвижваме това бутало. Прилагаме сила по разстоянието. Количеството Q1 е равно на този интеграл – също и количеството работа, която извършихме – е равно на интеграла от V крайна – не трябва да казвам V крайна. От Vb, от обема при В – ох, извинявай. От обема при А до обема при В. Започваме тук и стигаме до обема при В. Взимаме интеграла на налягането – правили сме това много пъти, но ще го направя отново. Налягането – височината, по промяната в обема, dv. Връщаме се към формулата за идеалния газ – PV е равно на nRT, делим двете страни на V и получаваме, че Р е равно на nRT/V. И имаш: Q1 е равно на интеграла на VA от VA до VB от това малко нещо тук. (nRT/v)dv. Всичко това тук са константи. Помни, това е изотерма. Температурата ни не се променя. Можем да запишем Т1 тук, понеже това е температурата ни. Ние сме при Т1. Ние сме при Т1 изотерма тук, понеже докосваме Т1 резервоара. Но всичко това е константа, така че го изнасяме от уравнението. И сме изчислявали това множество пъти, така че няма да навлизам в механиката на интеграла. Но това е Q1, равно на константите, nRT1 по този определен интеграл. Всичко, което ни остава в интеграла, е 1/V. Първообразът на това е естествен логаритъм. А после изчислихме двете граници. Получаваш естествен логаритъм от VB - VA, което е същото нещо като естествен логаритъм от VB/VA. Добре. Това тук е Q1. Добре. Какво е Q2? Q2 беше тази част от цикъла на Карно. Q2 е когато преминахме от C към D. Големината на Q2 е площта под тази крива. Това е работата, извършена върху системата, затова я извадихме, когато искахме да знаем общата работа, извършена от системата. И получаваме тази площ ето тук, когато извадим и това, ето тук от тази страна. Но ако искахме да знаем големината на Q2, просто взимаме интеграла под тази крива. И какъв е интегралът под тази крива? Това е топлината, излизаща от системата – топлината, която трябваше да бъде изкарана от системата, докато върху нея се извършваше работа. Този интеграл – мога да кажа просто големината на Q2, ще го направя ето тук, е равен на – прилага се същата логика, само границите са различни. Сега преминаваме от – и спомни си, когато ни интересуваше посоката, казвах, че преминавам от VC към VD. Но ако просто исках да знам абсолютната стойност на тази площ, понеже искам да знам големината, мога да премина от VC към VD и просто да взема абсолютната стойност или да премина от VD към VC и ще получа положителна площ. Нека направя това. Това е интегралът от VD към VC. Спомни си, цикълът премина от VC към VD, но искам просто абсолютната стойност. Искам това да е положително. Така че го обръщам наобратно. От Pdv. И правим точно същите изчисления. Получавам, че Q2 е равно на nR – този път температурата е Т2. Ние сме на резервоар Т2. По естествения логаритъм – и този път колко ще е той? По естествения логаритъм от – вместо VB/VA, това ще е VC/VD. Сега нека използваме тези неща и да ги заместим в тези резултати за ефективността, които точно получихме. Научихме, че можеш също да запишеш ефективността на двигателя като равна на 1 - Q – нека погледнем. 1 - Q2/Q1. Нека заместим Q2 тук и Q1 тук. И какво получаваш? Получаваш, че ефективността на двигателя ти е равна на 1 минус – Q2 е този израз тук – nRT2 по естествения логаритъм от VC/VD, всичко това делено на Q1, което е това тук. nRT1 по естествен логаритъм от VB/VA. Сега можем малко да съкратим. Очевидно n и r се съкращават. И имаме тези естествени логаритми. Но имам цяло видео, което показва, че VC/VD е равно на VB/VA. Ако знаем, че тези са равни, тогава това е равно на това. Естествените им логаритми са равни, така че просто можем да делим. И какво ни остава? Остава ни, че ефективността може също да бъде записана като 1 - Т2/Т1 за един двигател на Карно. Помни, този път това, което направихме тук, това е приложено към всеки двигател. Това бяха просто малко изчисления и определението за работа – няма да навлизам твърде много в това сега. Но това е за един двигател на Карно. Понеже тук извършихме малко работа, която включваше цикъла на Карно. Но това е важен резултат, понеже – в следващото видео ще покажем, че двигателят на Карно всъщност е най-ефективният двигател, който може да бъде постигнат. Трябва да внимаваш с това – когато казваме "ефективен", имаме предвид, че между два източника на температура не можеш да получиш по-ефективен двигател от двигателя на Карно. Не казвам, че е най-добрият двигател или че е практичен двигател, или че ще искаш с него да захранваш косачката или самолета си. Просто казвам, че това е най-ефективният двигател между тези два температурни резервоара. И ще ти покажа това в следващото видео.