Доказателство: U = (3/2)PV или U = (3/2)nRT

Вече ти казах, че голямото, главно U е вътрешната енергия на една система. И то е наистина всичко, включено там. Това е кинетичната енергия на молекулите. Това е и потенциалната енергия, ако молекулите вибрират. Включва и химичната енергия на връзките. Включва потенциалната енергия на електроните, които искат да стигнат някъде. Но за нашите цели – и особено, ако се занимаваме с курс по въвеждаща химия, физика или термодинамика – нека приемем, че говорим за една система, която е идеален газ. И, още по-добре, това е един вид едноатомен идеален газ. Всичко в системата ми са просто отделни атоми. В този случай единствената енергия в системата ми ще е кинетичната енергия на всяка от тези частици. В това видео искам – тук ще направим малко изчисления, но мисля, че ще е удовлетворително за тези, които останат с мен – да свържем колко вътрешна енергия има в една система с определено налягане, обем или температура. Искаме да свържем налягане, обем или температура с вътрешната енергия. Забележи, че във всички видеа, които сме направили досега, просто казвах каква е промяната във вътрешната енергия. И свързахме това с топлината, поставена в или взета от системата, или работата, извършена върху или от системата. Но сега да кажем, че преди да извършим работа или да има топлина, откъде знаем колко вътрешна енергия имаме в една система? И за да направим това, нека направим един мисловен експеримент. Има едно опростяване, което ще направя тук. Но мисля, че ще го сметнеш за разумно удовлетворяващо. Да кажем – и нека начертая това – че имам един куб. И нещо ми казва, че вече може би направих това псевдо доказателство в плейлистата по физика. Въпреки че не мисля, че го свързах точно с вътрешната енергия. Ще направя това тук. Да кажем, че системата ми е този куб. И да кажем, че измеренията на куба са х във всяка посока. Той е висок х, широк х и дълбок х. Неговият обем е, разбира се, х на трета степен. И да кажем, че в системата си имам N частици. Можех да запиша малко n молове, но нека оставим нещата лесни. Имам N частици. Те правят каквото си правят. Тук ще направя едно грубо опростяване. Но мисля, че е разумно. В една нормална система, всяка частица – и сме правили това преди – просто отскача навсякъде, във всяка възможна случайна посока. И когато те рикошират от всяка страна това причинява налягането. И те винаги се блъскат една в друга, и така нататък, и така нататък – във всички случайни посоки. За да направим изчисленията си по-лесни и да можем да ги направим в разумно количество време, ще направя едно предположение. Ще приема, че 1/3 от частиците ще – 1/3 от частиците се движат успоредно на всяка от осите. 1/3 от частиците се движат в тази посока, предполагам, че можем да кажем отляво надясно. 1/3 от частиците се движат нагоре-надолу. И 1/3 от частиците се движат напред-назад. Знаем, че всъщност не се получава точно това, но така ще опростим изчисленията си. И ако се занимаеш със статистическата механика зад всички частици, които се движат във всяка посока, ще получиш същия резултат. Като казахме това, ще кажа, че това е грубо свръхопростяване. Има някакъв безкрайно малък шанс да попаднем на система, в която това наистина е така. И малко по-късно ще говорим за ентропията и защо това е толкова малка вероятност. Но това може да е нашата система. И тази система ще генерира налягане. Това опростява изчисленията ни. Като казахме това, нека проучим тази система. Да вземем един страничен изглед. Нека вземем един страничен изглед тук. И нека проучим само една частица. Може би трябваше да я направя в зелено. Но да кажем, че имам една частица. Тя има някаква маса, m, и някаква скорост, v. И това е една от частиците с главно N в системата ми. Но съм любопитен колко налягане прилага тази частица върху тази стена тук. Знаем каква е площта на тази стена. Площта на тази страна е х по х. Тоест площта е х^2. Колко сила бива прилагана от тази частица? Нека помислим така. Тя се движи направо или отляво надясно, ето така. И силата ще бъде приложена, когато тя промени импулса си. Тук ще направя малък преговор на кинетиката. Знаем, че силата е равна на масата по ускорението. Знаем, че ускорението може да бъде записано като – което е равно на масата по промяната в скоростта върху промяната във времето. И, разбира се, знаем, че това може да се запише като това е равно на – масата е константа и за физиката, с която работим, не трябва да се промени – това е делта. Можем да поставим това вътре в промяната. Това е делта mv върху промяната във времето. И това е просто промяната в импулса. Това е равно на промяната в импулса върху промяната във времето. Това е друг начин да запишем силата. Каква ще е промяната в импулса за тази частица? Това ще се блъсне в тази стена. Сега в тази посока има някакъв импулс. Нейният импулс е равен на mv. И това ще се блъсне в тази страна, а после ще рикошира право назад. И какъв ще е нейният импулс? Ще имаме същата маса и същата скорост. Ще приемем, че това е напълно възстановителен сблъсък. Нищо не е загубено към топлина или нещо такова. Но скоростта е в другата посока. Новият импулс ще е минус mv, понеже скоростта е променила посоката си. Сега, ако дойда с импулс mv и рикоширам с импулс от -mv, каква ще е промяната в импулса? Промяната в импулса от този рикошет е равна на – това е разликата между тези двете, което е просто 2mv. Това не ми дава силата. Трябва да знам промяната в импулса за единица време. Колко често се случва това? Колко често? Това ще се случи всеки път, когато дойдем тук. Ще ударим тази страна. Тогава частицата ще трябва да се движи насам, да отскочи от тази страна, да се върне тук и да я удари отново. Толкова често ще се случи това. Колко дълъг интервал ще трябва да измине между сблъскванията? Частицата трябва да измине х наобратно. Ще се сблъска. Ще трябва да измине х наляво. Това разстояние е х. Нека направя това в различен цвят. Това разстояние тук е х. Ще трябва да измине х, за да се върне обратно. После ще трябва да измине х на обратно. Ще трябва да измине разстояние 2х. И колко време ще е нужно, за да измине разстояние 2х? Времето, делта Т, е равно на – знаем това. Разстоянието е равно на скоростта по времето. Или ако разделим разстоянието на скоростта, ще намерим необходимото време. Това е просто основната формула за движение. Нашето делта Т, разстоянието, което трябва да изминем, е напред-назад, това е 2х, делено на – каква е скоростта ни? Това е нашата скорост. Делено на v. Ето. Това тук е нашето делта Т. Промяната в импулса през времето е равно на 2 по моментния импулс. Понеже рикоширахме обратно със същата големина, но отрицателен импулс. Това е промяната ни в импулса. А промяната ни във времето е тази стойност тук. Това е общото разстояние, което трябва да изминем между сблъсъците с тази стена, делено на скоростта ни. Тоест това е 2х, делено на v, което е равно на 2mv по реципрочното на това – това са изчисления с дроби – v/2x. И на какво е равно това? Двойките се съкращават. Това е равно на mv^2/x. Интересно. Вървим към нещо интересно. И ако не изглежда твърде интересно, остани с мен замалко. Това е силата, приложена от една частица – силата от една частица върху тази стена. Каква беше площта? Интересува ни налягането. Налягането. Записахме го тук горе. Налягането е равно на силата върху площта. Това е силата на тази частица. Това е mv^2/x, делено на площта на стената. Каква е площта на стената? Площта на стената тук, всяка страна е х. И ако начертаем стената тук, това е х по х. Това е х^2. Делено на площта на стената, това е х^2. И на какво е равно това? Това е равно на mv^2/x^3. Това е по 1/х^2, когато всичко това става х^3. Това са изчисления с дроби. Сега имаме нещо интересно. Налягането поради тази една частица – да кажем, от тази частица – е равно на mv^2/x^3. Какво е х^3? Това е обемът на нашия съд. Върху обема. Ще направя това с голямо V. Да видим дали можем да свържем това с нещо друго, което е интересно. Това означава, че налягането, приложено от тази една частица – нека направя още една стъпка. Това е една частица на тази стена, нали? Това е една частица на тази стена. Сега от всички частици – имаме N частици в куба си – каква част от тях ще отскачат от стената, които ще правят точно същото нещо като тази частица? Току-що го казах. 1/3 ще се движат в тази посока. 1/3 ще се движат нагоре-надолу. И 1/3 ще се движат навътре-навън. Ако имам общо N частици, N/3 ще правят точно същото нещо, което ще прави тази частица. Това е налягането от една частица. Ако исках налягането от всички частици на тази стена – общото налягане на тази стена ще е от N/3 от частиците. Другите частици не отскачат от тази стена. Не трябва да се тревожим за това. Ако искаме общото налягане на тази стена – просто ще запиша налягане с индекс "на стената". Общото налягане на стената ще е налягането от една частица, mv^2, върху обема ни по общия брой частици, които удрят стената. Общият брой частици е N/3, понеже само 1/3 ще се движат в тази посока. Общото налягане на тази стена е равно на mv^2, върху нашия обем на съда, по общите частици, делено на 3. Да видим дали можем да преработим малко това. Ако умножим двете страни по – да видим какво можем да направим. Ако умножим двете страни по 3v, получаваме pv по 3 е равно на mv^2 по N, където N е броят частици. Нека разделим двете страни на N. Получаваме 3pv върху – не, нека оставя N тук. Нека разделим двете страни на това уравнение на 2. Какво получаваме? Получаваме 3/2 по pv е равно на – това е интересно. Това е равно на N, броя частици, които имаме, по (mv^2)/2. Помни, просто разделих това уравнение на 2, за да получа това. И направих това по определена причина. Колко е (mv^2)/2? (mv^2)/2 е кинетичната енергия на тази малка частица, с която започнахме. Това е формулата за кинетичната енергия. Кинетичната енергия е равна на (mv^2)/2. Това е кинетичната енергия на една частица. Умножаваме това по общия брой частици, които имаме, по N. N по кинетичната енергия на една частица ще е кинетичната енергия на всички частици. И, разбира се, направихме и друго предположение. Трябва да кажа, че приех, че всички частици се движат с еднаква скорост и имат еднаква маса. В една реална ситуация частиците може да имат много различни скорости. Но това беше едно от нашите опростяващи предположения. Просто предположихме, че всички имат това. Тоест ако умножа N по това тук – това е кинетичната енергия на системата. Почти сме готови. Всъщност, ето. Установихме, че кинетичната енергия на системата е равна на 3/2 по налягането по обема на системата. Каква е кинетичната енергия на системата? Това е нейната вътрешна енергия. Понеже казахме, че цялата енергия в системата, понеже това е прост идеален едноатомен газ, цялата енергия в системата е кинетична енергия. И можем да кажем, че вътрешната енергия на системата е равна на – това е просто общата кинетична енергия на системата – равна е на 3/2 по общото ни налягане по общия ни обем. Сега може да кажеш: "Хей, Сал, намери само налягането на тази страна. Ами налягането на тази страна и тази страна, и тази страна или на всяка страна на куба?" Налягането на всяка страна от куба е една и съща стойност. Всичко, което трябва да направим, е да намерим налягането от едната страна и това всъщност е налягането на системата. Какво друго можем да направим с това? Знаем, че pv е равно на nRT, формулата ни за идеален газ. pv е равно на nRT, където това е броят молове газ. И това е универсалната газова константа. Това е температурата ни в келвини. Ако направим това заместване, ще кажем, че вътрешната енергия може също да бъде записана като 3/2 по броя молове, които имаме, по константата на идеалния газ по температурата ни. Направих много неща и това са доста изчисления. Но тези резултати са интересни. Понеже сега имаш директна зависимост. Ако знаеш налягането и обема, знаеш каква е реалната вътрешна енергия, или общата кинетична енергия, на системата. Или ако знаеш температурата и броя молекули, които имаш, знаеш и каква ще е вътрешната енергия на системата. И има няколко важни неща, които трябва да запомниш. Ако температурата не се промени в нашата идеална ситуация тук – ако делта Т е равно на 0 – ако това не се промени, броят частици няма да се промени. Тогава вътрешната ни енергия също не се променя. Ако кажем, че има някаква промяна във вътрешната енергия – и ще използвам това в бъдещи доказателства – можем да кажем, че това е равно на 3/2 по nR по – единственото нещо, което може да се промени, не броят молекули или универсалната газова константа – по промяната в Т. Или може също да бъде записано като 3/2 по промяната в PV. Не знаем дали някое от тези е константа. Трябва да кажем "промяната в произведението". Както и да е, тук имаме доста изчисления. И се извинявам за това. Но се надявам, че това ти дава представа, че това всъщност е просто сборът на цялата кинетична енергия. Свързахме това с някои от тези променливи на макросъстоянието, като налягане, обем и време. И сега, след като направих видео за това, можем да използваме този резултат в бъдещи доказателства. Или поне няма да се оплакваш много, ако го използвам. Ще се видим в следващото видео.