По-формално разбиране на функции

Мисля, че си срещал/а понятието функция в някакъв момент в твоята математическа практика. Но в този клип искам да го обясня малко по-формално, отколкото сме свикнали, и след това да го свържа с някои от концепциите, свързани с вектори и линейна алгебра, които сме виждали досега. Функция наистина е просто връзката между членовете на едно множество и членовете на някакви други множества. Нека вземем едно множество Х и всеки член на това множество Х ще го свържа или ще го съединя с някакъв член на множеството Y. Ако си представим, че това е множеството X, а това е множеството Y... Y не трябва да бъде по-малко, това е просто начинът, по който го нарисувах – функцията е просто връзка. Ако взема член от моето множество Х, нека видим, ето члена, който взимам, който съм изобразил като точка – тази функция ще каже: "Добре, ти ми даде член на Х, тогава аз ще ти дам член на Y, свързан с този член на Х." Функцията ще каже: "Ти ми даваш това, тогава аз ще го изобразя в този член ето там." И това наистина означава свързано със, или съответстващо на някакъв член на Y. И ако ми дадеш някоя друга точка тук, аз ще я свържа с друг член на Y. Дори мога да го свържа със същия член на Y. И така, този начин на записване просто показва, че това е изобразяване на членовете на едно множество Х, говоря в най-общ смисъл, в членовете на друго множество Y. И така, най-вероятно си казваш: "Хей, Сал, това е много абстрактно, как се отнася това към функциите, които сме виждали досега?" Нека просто запишем функция, която вероятно ти е добре позната вече. Разглеждали сме функцията f(x) = х^2. Как бихме записали това в този урок? Това е функция – ако приемем, че това е вариант на традиционния начин, който познаваш – тази функция... Всъщност просто ще използвам f... можех да напиша g от х, просто не е задължително винаги да бъде f, но мисля, че схващаш идеята. В този случай f е изобразяване на реалните числа – реални числа числа са всичко, което мога да сложа тук – всъщност това е част от дефиницията за функция. Мога да огранича това само до целите числа, или само четни числа, или само четни цели числа. Но това е част от дефиницията на функцията, аз дефинирам функцията като изобразяване на реалните числа. Искам да кажа, че можеш да сложиш произволно реално число тук и функцията ще го изобрази в множеството на реалните числа. Така в този случай, ако x е реално число, то ще се изобрази в себе си, което е напълно легитимно. Така че, ако това са реални числа – и очевидно реалните числа продължават във всяка посока безкрайно, но ако това са реални числа, тази функция просто взима всяка точка в R и я изобразява в друга точка в R. Това е за всяка точка и свързването ѝ с нейния идеален квадрат. Искам да отбележа нещо, поне аз, първия път, когато се срещнах с функции, си мислех, че като ми дадат х и аз го повдигна на квадрат, и ти давам квадрата на х. И това е вярно, ние правим това. Но поне начинът, по който мозъкът ми работи, аз един вид си мислех за него като за промяна на моето x в друго число. Може би и ти го виждаш по този начин, и това може действително да е най-добрият начин да го разглеждаш. Но математическата дефиниция, която съм въвел тук, е повече от свързване на x с x на квадрат. Това е друг начин за записване на функциите, за записване на съвсем същото нещо. Тези две твърдения тук, това твърдение и това твърдение са идентични. Това твърдение вероятно не си виждал/а досега, но на мен ми харесва, защото показва повече изобразяване или свързване, докато при тази връзка си представяме един вид, че слагаме x в малка мелачка за месо или някаква машина, която ще смели x или x на квадрат, или ще извърши необходимото действие върху х. Този начин на записване за мен означава действително изобразяване. Ако ми дадеш x, аз ще го свържа с друго число от множеството на реалните числа, което се нарича x на квадрат. Така че това ще бъде просто една друга точка. И само да видим още малко терминология, мисля, че това вече ти е познато – множеството, от което изобразяваме, се нарича множество на първообразите, и то е част от определението за функция. Аз, създателят на функцията, трябва да ти кажа, че всяка валидна стойност тук трябва да принадлежи на множеството на реалните числа. Множеството, в което изобразявам, е т.нар. множество на образите на функцията. Очевидният въпрос, който вероятно искаш да зададеш, е: "Сал, когато учих всички тези функции в часовете по алгебра, или когато за пръв път се учи това, ние никога не сме ползвали този термин – множество на образите на функцията. Знам какво е множество на стойностите на функцията, учи се в 9-и или 10-и клас. Каква е връзката на това множество на образите с множеството на стойностите?" Тук има една много тънка граница. Множеството на образите е множество, в което изобразяваме, и в този пример ето това тук е множеството на образите. В този пример реалните числа са множество на първообразите и множество на образите на функцията. Но каква е връзката между множеството на стойностите и множеството на образите? Множеството на образите е такова множество, към което можем евентуално да се свържем. Не е задължително да има изобразяване във всяка точка от множеството на образите. Просто казвам, че тази функция принципно е изобразяване на членовете на това множество в това множество. Множеството на стойностите е подмножество – ще го запиша по следния начин – то може да е равно на множеството на образите, но то е някакво негово подмножество. Едно множество е подмножество само на себе си и всеки член на множеството е също член на себе си, един вид е подмножество на себе си. Множеството на стойностите е подмножество на множеството на образите, в което функцията реално се изобразява. Ще дам един пример. Да речем, че дефинирам функцията g и тя представлява изобразяване от множеството на реалните числа. Това е изобразяване от R2 в R. На практика взимам наредени двойки и ги изобразявам в R. Ще дефинирам функцията g, ще я напиша по няколко различни начина. Сега ще взема g от две стойности, мога да кажа (x; y), или (х1; х2). Ще го направя по този начин. g от (x 1; x 2) е винаги равно на 2. Това е изобразяване от R2 към R, но то винаги е равно на 2. Всъщност ще покажа и другите начини на записване, само защото вероятно си виждал/а това често. Мога да напиша, че функцията g изобразява всички точки (x 1; x 2) в точката 2. Това прави изобразяването малко по-ясно. Но само за да разбереш начина на записване, кое е нашето множество на първообразите? Това са са реалните числа. Това беше част от моята дефиниция за функция, казах, че ние изобразяваме от R2, така че нашето множество на първообразите е R2. А кое е нашето множество на образите? Множеството на образите е множество, в което потенциално изобразявам, и то е част от дефиницията на функцията. Това по дефиниция е множеството на образите. Значи множеството на образите е R. А кое е множеството от стойностите на функцията? Множеството от стойностите е набор от стойности, в които функцията реално изобразява. В този случай ние винаги изобразяваме в стойността 2, така че множеството на стойностите всъщност е само стойността 2. И ако решим да визуализираме това – R2 е всъщност – не трябва да го рисувам като балонче, би трябвало да го нарисувам като цялото декартово пространство, но сега просто ти давам абстрактната представа. Това е R2. Ако искам да нарисувам R, ще го нарисувам като някаква числова ос. Всъщност ще го направя в този вид просто за забавление, обикновено няма да го видиш написано по този начин. Но мога само да нарисувам R като... това е R2 и мога просто да нарисувам R като някаква права линия. Така че това е множеството R. Можех да го нарисувам така също, но нека просто кажем, че това е множеството R. Моята функция g на практика изобразява всяка точка от тук точно в точка 2. 2 е само една малка точка в R. Моята функция g взема всяка произволна точка от R2 с някакви координати – например това може да е точката (3; –5), някаква произволна точка. Тя винаги се изобразява в точка 2 в R. Така че, ако вземем тази точка, тя се изобразява в точка 2, това е, което функцията g прави винаги. Значи множеството на образите на функцията g – можеш да кажеш, че това са всички реални числа, но нейното множество на стойностите всъщност е само числото 2. Ако взема друг пример... Нека да разгледаме друг пример, който може да бъде интересен. Ако е дадено, че h е функция, която изобразява от R2 в R3, трябва да внимавам тук, функцията h изобразява от R2 в R3. Ще напиша, че h от (x1; x2) е равно на – сега изобразяваме в пространство с по-висока размерност, така че ще кажа, че това ще бъде равно на... нека първата ми координата или първият ми компонент в R3 е (x1 + x 2). Нека втората ми координата е (x2 – x1). Нека третата ми координата е x2 по х1. Кои са множеството на първообразите, множеството на образите и множеството на стойностите? Множеството на първообразите по дефиниция е това ето тук, той е R2.. Множеството на образите по дефиниция е R3. И забележи, че идвам от пространство, което има две измерения, към място с три измерения, или три компоненти. Но винаги мога да свържа една точка с координати (x1; x2) с някоя точка в R3. Малко по-триков въпрос тук е какво е множеството на стойностите. Винаги ли мога да асоциирам всяка точка – може би това не е най-добрият пример, защото това не е достатъчно просто – но мога ли да свържа всяка точка в R3, това е моето множество на образите, множеството на първообразите беше R2, и моята функция отива от R2 в R3, това е функцията h. И така множеството на стойностите, както можеш да видиш, не е като всяка координата, която можем да изразим някак по този начин. Нека ти дам един пример. Например мога да заместя с някакви стойности на x1 и x2 тук и да го установя. Да направим това. Нека вземем нашето h от... Но ще използвам другия начин на записване. Дадена е функцията h и искам да намеря изобразяването от точка в R2, нека да е точка (2; 3). И после моята функция ми казва, че тази точка ще се изобрази в точка от R3. Събирам двата компонента, 2 плюс 3, това е 5. Ще намеря разликата между x2 и x1 – 3 минус 2 е 1, и след това умножавам двете, 3 по 2 е 6. Очевидно е , че тази точка ще бъде в множеството на стойностите на функцията, тя очевидно принадлежи на множеството на стойностите на функцията. Например точка (2; 3), която може да бъде точно там, ще бъде изобразена в триизмерна точка, тук просто съм нарисувал един двумерен балон, но мисля, че можеш да си представиш, че ще бъде изобразена в триизмерната точка (5; 1; 6). Тази точка определено принадлежи на множеството на стойностите на функцията. Сега въпросът ми към теб е: ако имаме някаква точка в R3 – ще сменя цвета. Да кажем, че това е точка (5; 1; 0). Тази точка принадлежи ли на множеството на стойностите на функцията? Тя определено принадлежи на множеството на образите, тя е в R3. Определено е тук и това по дефиниция е множеството на образите на функцията. Но дали тази точка е в множеството на стойностите на функцията? 5 трябва да бъде сумата на две числа, 1 трябва да бъде разликата на две числа и след това 0 би трябвало да бъде произведението на две числа. Очевидно, щом 5 е сумата, а 1 е разликата, това може да са числата 2 и 3, но няма начин да получим произведението на тези числа да е равно на 0. Така че тази точка не е в множеството на стойностите на функцията. Множеството на стойностите на функцията е подмножество на всички тези точки в R3, в R3 има огромен брой точки, които не са в множеството на стойностите, но има по-малко подмножество от R3, което е в множеството от стойностите на функцията. Сега искам да те запозная с още един елемент от терминологията, когато става въпрос за функции. Тези функции тук горе, тази функция, която изобразява от R2 в R, нейното множество на образите е R, тази функция тук е може би най-често срещаната от теб в математиката, това също е изобразяване в R. Тези функции, които изобразяват в R, се наричат скаларна стойност или реална стойност, в зависимост от това как искаш да ги разглеждаш, но ако те изобразяват в някакво едномерно пространство, ги наричаме функция на скаларна стойностна или функция на реалната стойност. Такива са почти всички функции, които вероятно си срещал/а до този момент в твоята математическа практика, освен ако не си изучавал/а векторен анализ. Функциите, които изобразяват в пространства или подпространства, които имат повече от едно измерение – ако изобразяваме в R или друго подмножество на R, имаме функция на реалната стойност или функция на скаларната стойност. Ако изобразяваме в Rn, когато n е по-голямо от 1, т.е. ако изобразяваме в R2, R3, R4, R100, тогава имаме функция на векторната стойност. Последната функция, която дефинирах тук, функцията h, е функция на векторната стойност. Във всеки случай мисля, че сега имаш поне разбирането за начина на записване, за да разбереш това, което ще разглеждаме в останалата част от тези видеа, и се надявам това наистина да ти е от полза.