Трансформация на вектори

В последното видео видяхме, малко по-формално, отколкото може би си виждал/а преди, че една функция е просто изображение на членовете на едно множество в членове на друго множество. Нека това е първото множество, Х. Ще го наречем множество на първообразите. Множеството, в което го изобразяваме, множеството Y в този случай, се нарича множество на образите. Функцията просто изобразява всеки отделен член на множеството Х в член на множеството Y. Когато казвам изобразява, всъщност имам предвид, че просто съществува връзка. Ако си представим това в по-малко абстрактни понятия, което в известен смисъл е по-абстрактно, можем д а разглеждаме Х като кошница с банани, и Y като кошница с ябълки. На всеки банан съответства точно една от ябълките. Изображението е съпоставяне на всеки един от тези банани по една ябълка, което представлява една функция. Не знам дали това сравнение ти помага, или не, но просто искам да разширя представата ти за това какво е функция. Имам предвид, че вероятно всичко, което си виждал/а досега, вероятно е имало такъв вид, f(x) = x1 когато казваме, че една функция е – когато ми дадеш едно число, аз ще ти дам друго число или аз ще направя нещо с това число. Докато това може да е много по-общо от това. Това е връзка между всеки член на едно множество и друг член от някакво друго множество. Знаем, че векторите принадлежат на множества. Нали така? По-точно, ако кажем, че някакъв вектор х е член на някакво множество... нека да принадлежи на множеството Rn, защото с това сме работили – това означава, че това е просто конкретен пример за една наредена n-торка. Спомни си какво означава Rn. Rn дефинирахме още в началото на курса по линейна алгебра. Дефинирахме го като множеството от всички наредени n-торки – (х1; х2;...хn), като х1, х2 и така чак до xn принадлежат на множеството на реалните числа. Така че Rn определено е множество. Това може да е Rn. Очевидно буквата n тук е произволно избрана. Може да бъде Rm или да бъде Rs. n е просто показател за това колко наредени числа имаме. Може да е R5, тогава ще са наредени петорки. Когато казваме, че вектор х принадлежи на множеството Rn, това означава, че това е друг начин на записване на една от тези наредени n-торки. Досега всичките ни вектори са вектор-стълбове – това е единственият вид, който досега сме дефинирали, и казваме, че той е този нареден списък, в който всеки компонент на вектора принадлежи на множеството на реалните числа R. Това е нареден списък от n на брой компоненти – х1, х2 и така нататък до xn, като всеки от тези компоненти, всяко едно от тези х1, х2, чак до xn принадлежат на множеството на реалните числа. Това е по определение какво имаме предвид, когато казваме, че х принадлежи на Rn. Ако х принадлежи на Rn – ще начертая две множества ето тук – да кажем, че това е множеството Rn, но ще го променя, за да бъде общият случай, ще създам друго множество ето тук и ще го нарека Rm. Просто различно число. Може да е същото като n, може да е различно. Това са m-торки, това са n-торки. Дефинирахме, че векторите може да принадлежат на Rn. Ако тук имаме някакъв вектор, и после, ако свържем този вектор в Rn с някакъв вектор в Rm, ако го свържем с вектор... да го наречем вектор у, ако създадем такава връзка, тогава това също е функция. Това може би вече беше очевидно за теб, и това е функция, която изобразява множеството Rn в множеството Rm. Тук всъщност искам да направя една специална забележка. Когато чертая подобна стрелка, това показва, че има изобразяване между две множества. Взимам елементите от едното множество и ги свързвам с елементите в другото множество. В последното видео може би забеляза това. Но исках да направя това странично пояснение, защото разбрах, че може би е много обръкващо. Показах ти друг начин за записване на функция ето така, когато казвам, че f може да се дефинира като изображение на всяко дадено х в х на квадрат. Искам да поясня този начин на записване. Когато имаме обикновена стрелка, аз преминавам между множествата. Но когато имам тази малка вертикална чертичка в основата на стрелката, това е един вид дефиниране на функцията. Това ми казва, че за всяко х, което ми е дадено в първото множество, във второто множество на това х ще съответства, в този случай, х^2. Само исках да поясня това. Но като цяло целта ми е да покажа, че векторите са валидни елементи на множества, функциите са изображения на елементите на множествата, така че можеш да имаш векторни функции. Аз даже засегнах това малко в последното видео, когато говорихме за векторни функции. Ако твоето множество на образите е подмножество на Rm, като m > 1, тогава казваме, че функцията е векторна. Това не е просто изобразяване в множеството на реалните числа. Това е изображение като наредена m-торка в множеството на реалните числа. Така че ако изобразяваш двумерно пространство, тогава имаш векторна функция. Това дотук беше много абстрактно и общо, така че нека сега да вземем няколко вектора и всичко ще стане много по-конкретно. Нека да дефинирам функцията f като f от (х1; х2; х3), която е равна на х1 плюс 2 по х2, а втората координата е просто 3 по х3. Всъщност още не съм дефинирал формално какво са координати, но мисля, че го знаеш от часовете по геометрия. Нека това да е определението на моята функция чрез начина на записване, който познаваме. Можем да кажем, че f е изображение на – нейното множество на първообразите е R3, и тя изобразява R3, или тя свързва всяка стойност в R3 с някаква стойност в R2. Това е наредена двойка. Нали? Значи това е в R2. А това тук е наредена тройка. Нали? Друг начин, по който можем да направим това, ако искаме да го изразим чрез вектори, мога да напиша, че f... ако вкарам във функцията f някакъв вектор [х1; х2; х3], мога да кажа, че това ще е равно на вектор... и сега ще получим двукомпонентен вектор. Това ще бъде вектор в R2, където първият компонент е х1, плюс 2 по х2, и вторият компонент е 3 по х3. Да си поиграем малко с това. Да видим какво ще се случи с тези вектори. Колко е f от вектор [1; 1; 1]? Получавам 1 плюс (2 по 1), получавам 3, и вторият му компонент е просто 3 по 1, така че получавам вектора [3; 3]. Добре, да вземем друг вектор. Просто да се упражним с това изобразяване. Ако взема f от вектора в R3 [2; 4; 1], какво ще получа? Първият компонент е 2 плюс (2 по 4). Това става 10. 2 плюс (2 по 4) и после 3 по третия компонент ето тук. Получаваме вектор [10; 3]. Как да визуализираме това? Тримерните вектори или векторите в R3... това не винаги е лесно да се визуализира, но мисля, че можем да опитаме да представим графично тези два вектора. Да кажем, че това е оста х1, това е оста х2, а това е оста х3. Първият вектор ето тук, този жълт вектор [1; 1; 1], той ще изглежда ето така – едно, едно, едно. Ако трябва да дойда ето тук, после отивам ето тук, после едно нагоре, точката ще бъде точно ето тук, ако трябва да я начертая в стандартна позиция, ще започна от началото на координатната система, векторът ще изглежда като нещо подобно на това. Сега вторият вектор, [2; 4; 1], той ще изглежда ето така. Насам 2 единици, после 4 в тази посока, едно, две, три, четири. И после едно нагоре. Ще изглежда ето така. Вектор [2; 4; 1]. Мисля, че разбираш идеята. Начертах тези два вектора, които принципно принадлежат на множеството на първообразите. Множеството на първообразите е R3. Това е нашето R3 ето тук. Да видим как ще изобрази тези вектори нашата функция. Кое е нашето множество на образите? Нашето множество на образите е R2, така че сега е много по-лесно да се представят графично. Трябват ни само две координатни оси. Нека това да е оста х1, а това е оста х2. Кой е образът на вектор [1; 1; 1] – този жълтият вектор става вектор [3; 3]. Ако го направя в жълто, 1, 2, 3, 1, 2, 3. Получавам ето това. Ако го начертая в стандартна позиция, векторът изглежда ето така. Буквално нашата функция изобрази този вектор от R3 в този вектор в R2. Ето това направи нашата функция. По същия начин, ако вземем друг вектор, ако тръгнем от вектор [2; 4; 1] до вектор [10; 3]. Значи 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Ще изглежда горе-долу така. Това е 3 нагоре, така че ще изглежда ето така. Този вектор ето тук, който нашата функция f изобрази – ще използвам различен цвят – изобрази в този вектор. Този вектор в R3 беше изобразен в този вектор в R2 от нашата функция. Това е просто смяна на терминологията Когато говорим за векторни функции, терминът, който се използва обикновено, е понятието трансформация или преобразуване. Но това означава съвсем същото като термина функция. Не искам да те обърквам, защото, ако гледаш уроците за диференциално смятане, там ще срещнеш понятието трансформация на Лаплас, което действително е операция, която взима една функция като аргумент. Но в този случай, когато работим в света на линейната алгебра, трансформацията наистина е просто една функция, която работи с вектори – или както ние сме свикнали – просто функция, която работи с вектори. Общоприетият начин за записване, вместо да използваме малка буква f за означаване на функция, хората използват голяма буква Т, за да кажат, че това е трансформация. (У нас също трансформация се отбелязва с Т) Макар че не е задължително да бъде главна буква Т. Но това е най-често използваният начин. Точно както може да се използва g или h, вместо малко f. По същия начин можехме да запишем това, можеше да го наречем трансформация. Моето обяснение защо в света на линейната алгебра използват това, е понеже си представяме един вид, че този вектор се трансформира, се преобразува в този вектор. Или че този вектор се трансформира, преобразува се в този вектор. Смятам, че това е причината да се нарича трансформация вместо функция. И наистина изглежда много по-логично, когато започнеш да програмираш видео игри например. Много от това, което ще учим за трансформациите, е ключово за програмирането на видео игри. В игрите може да се каже, че се трансформира едно изображение в друго изображение, ако го гледаш под различен ъгъл, или каквото друго там ти е нужно. Ще говорим по-подробно за това в бъдеще. Но просто исках да те запозная с този начин на записване. Така че в тези твърдения мога да заменя всички f с Т, и така ще дефинирам някакви трансформации. Просто искам да си наясно с начина на записване. Можех по подобен начин да дефинирам трансформация от R3 в R2 и можех да кажа, че Т от (х1;х2; х3) е равно на наредената двойка (х1 плюс 2 по х1; 3 по х3). Можех подобно на това да сложа Т тук горе, защото съм го дефинирал по същия начин. Можех да кажа, че Т от вектор [1; 1; 1] е равно на [3;3]. Сега може да попиташ: "Хей, Сал, защо си правиш целия този труд да заместваш f с Т?" Правя го, за да не се объркваш. За да може, когато видиш това в учебника по линейна алгебра, когато видиш задачи от линейна алгебра, когато срещнеш голямо Т, да не си кажеш, че ни си виждал това никога по-рано, и че се използва този засукан термин "трансформация". Това е напълно идентично на нашето понятие за функция. Това е функция. В следващото видео ще говоря за линейни преобразувания. Това са просто линейни функции. Ще ги дефинирам малко по-прецизно, отколкото в това видео. Но се надявам, че след като гледа това видео, получи представа за това, че можеш да използваш функции с вектори и че в света на линейната алгебра обичайно ги наричаме трансформации. Надявам се, че този пример ето тук ти дава най-малкото графично представяне защо се наричат трансформации. Трансформираме един вектор в друг в ектор.